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Miguel Tasiguano S. Xavier Camacho M. Oswaldo Aldaz P. Patricio Vallejo A. ----------------------------------~- P OFESORES DE LA "' TECNICA NACIO AL · -Ec ador QUINTA .EDICIÓN Corregida ..: y aumentada '\ Reservados todos los derechos.Queda terminantemente prohibida la reproducción tota...

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Libro del Buho Eugee Rivera

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Miguel Tasiguano S. Xavier Camacho M. Oswaldo Aldaz P. Patricio Vallejo A.

----------------------------------~P OFESORES DE LA "' TECNICA NACIO AL · -Ec ador

QUINTA .EDICIÓN Corregida y aumentada ..: '\

Reservados todos los derechos.Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial sin autorización previa del autor.

.

.

..

,

~ ,

,

VECTORES r

'

•

~

6

-

1.- Un vector

A 1(mili

línea de acción de

ti _O" on el eje (x). Su proyección sobre la

1111

'{ 1

10 unidades. Determinar:

)J

a)

La direc ión del {' '(01 I

b)

La

pI' 'sióll

ti,·)

-

- -

a.- S i.l )M~.I t TI i I i, I.n pro

en

A

('('ti

función del

-

t r A

y

J

y

obre esta línea es igual a 10

.'.' ......'

M

D.···· .~ ..

..··············.A

...' .. ...' .' '

....

'

'

e 10

cos 15°

= 10.33u

A = 10.33 sen 30° = 5,165 u !I

= o.

46 i + .l

---

A = ( . 4 )~ I

OA

=-

... ~i

( .) 6.

8.

- ------:;_

DA

b.-

OA = J 0.33 UOA

anterior

incide con la línea de acción del vector

,

unidad ·s. -) án ult a zud B A e igual a 15°.

DA =

unitario

'

10.

f(

x

·.

- -

_ Dos fuerzas FJ y F] actúan sobre un cuerpo de tal manera que la fuerza resultante

-

-

tiene un módulo igual al de FI y es perpendicular a ella. Si F I es

igual a 10 unidades. Determinar el valor y la dirección de la fuerza F] ,con respecto a la fuerza FI'

A

R

Si FI= R el triángulo formado es is s '01

'S

por 1< ItI '1

II\~ 1110

()A H .,"

F22 = F,2 + R2

F2

=

14.14 unidades

tan 8 =

R -

=

1

F2 (J = 45°

l.

- - -

Una persona hala de un objeto con una fuerza dada por el vector FJ = 4i + 3) unidades. Determinar vectorialmente la mínima fuerza F] que debe hacer otra persona para que el objeto se mueva únicamente en la dirección Este..

y

o p'

p

p"

x

8

Toda partícula: n u n la dirección de la fuerza resultante. Si al vector inicial se le lima 1r vector de .manera que la resultante coincida con la dirección E t '; C m pudiera ser OP', OP u OP" . Pero para que esta sea mínima s d escoger la que sea perp dicular ya que es la menor .

...

Por lo tanto F2

=

3 j unidades

Dando un sistema de coordenadas Determinar en términos de i, j.

--

a)

b) e) J)

e)

r

y 1 puntos A( 5 ; - 3) u , B( -7 ; 4 ) u

La po ición de A h-a posición de La distancia ntr A y I La posici n d /\ n r p cto a B El v ctor unitario de B hacia A

y

x

-

...... ...... b) OB = -7 i + 4 j

a) OA = 5 i -3 j u

- --

---

c) OB + BA= OA

- --

BA= OA- OB

BA=12 i -7 j u

+ (_7)2

BA=J(12)2

--

HA =13.89

--

II

d)fBtA=OH-OA

-

--

rS/A = -12 i + 7 j

-

u

e) ti = AB AB AB

= 12i - 7 j 13.89 = O.864i

- 0.504j

Dados los puntos A (2 ; 4 ) u; B ( -2 ; 2) u y C ( 1 ; 5 ) u Expresar sus radios vectores. Demostrar que la suma de los vectores dados por los lados del triángulo es igual a cero Encontrar el vector que coincida con la mediana trazada desde -1 punt B. y

- 21... ...... - ......

a. - OA= OB

+ 4j u

= -2i + 2j

oc = i + 5j

u

u

b.- Si se determina los vectores que van desde A hasta B, de B hasta C. y de C hasta A se tiene que:

- -...... + - -BC ~

= OC

Be = 3i

- OB

3j u

A=OA- OC

-+

....

CA=i-ju --+

AB= -+

A -+

c.-

A

_.

= - 4i

AS

--

-

+

_.

- 2j

--

+

A

A= O

- - ---

La mediana divide al lad en dos partes iguales CM = MA= A/2

-

BM=BC+

-

BM

6.-

LI

CM

... + 3j..+ 0.5i...- 0.5 j... u

= 3i

...

_.

BM = 3.5i + 2.5) u La posición de P con respecto a Q esta dada por S 60° E ; 80 Km . Otra ciudad R se halJa localizada respecto a P en la posición N 10° O ; 120 Km . ¿Cuál es la posición de Q con respecto a R?

~

rY

N

t O

············f········ ....~

E

S :········································ ..···~x

¡ ---+

---+

p

.......

...

Determinamos QP y PR en función de lo unitarios i, j y k QP y QP y QP,

=

80 co 60° u

= 40 =

Ll

80 sen 60° u

QP, = 69.28

Ll

PI y= 120 cos 10°

PRy= 118.18 u P~

120 sen 10° u PRx = 20.84 u =

-+

..

..

PR = -20.84 i + 118.18 j u

-

1a p ición de Q con respecto a R esta dada por el vector RQ

--

luego será el vector negativo de la suma QP + PR

- --+ - .. RQ= - (QP

PR)

..

RQ= -48.45 i-78.17 j

7 h 1)

Km.

s los puntosA( 3,4,-5) u y B( 1, -3, -2) u. Determinar: Los radios vectores o vectores de posición de los puntos anteriores La distancia entre esos puntos. El ángulo que forman los radios vectores. los cosenos directores del vector (OA - 20B)

--

A

Por la correspondencia entre las coord na las d un punto y los módulos de las componentes de un vector posición ~ pLI . 1, s ribir:

---+

:1

....

......

-.

OA = 3 i + 4 j - 5 k u

-

-

b) La distancia entre A y B será el módulo del vector AB

AB= OB-OA

JilJ- -2( - 7 i AB =

3-u

.J(- 2i + (-7y + (3)2

AB = 7.87 u e) Para encontrar el ángulo se aplica la ley de los cosenos.

cos8= (7.07)2 + (3.74)2 - (7.87)2 2(7.07)(3.74)

----.

_.,......

d) El vector OA - 20B

=

por lo tanto, el módulo

~

e

---+

-t

i + 10j - k

a este vector se le denomina

ees igual a 10.099 ....

I -

u( -

lO} - k

10.099

Uc = 0.099 T + 0.99J - 0.099k cosa = 0.099

a = 84.32°

cos P = 0.99 P = 8.07° cosy = - 0.099 Y = 95.68°

8.- Un . .tor in el espacio forma un ángulo de 300 con el eje (x) y tiene una mu ,nitud de 16 unidades. Su proyección en el plano YZ forma un ángulo de 45° con los j 's mencionados. Determinar: a) I~Ive ror proyección en el plano XY b) :1 ve 'Ior unitario paralelo al vector en el espacio e) El valor de l s ángulos directores

y

x

z ea el prisma rectangular que contiene el ve t r.

11

T=QP --+

--+

--+

OQ+QP= OP OQ= 16 cos30° OQ= 13.85 u PQ= ~(l6)l ~ (1 .8 )l OT=PQ=8 u OR= 8 cos 45° OR= 5.65 u OR = RT por ser un ángulo de 45°,

ti n que

--+

13.85? + 5.65 J + 5.65k u a proyección del vector en el plano XY será:

OP

=

= 13.85i+ 5.65/ u

PX_l'

= 13.857+ 5.65/ + 5.65k uQ/I

uOP

16 = 0.866 ¡+ 5.65/+ 5.65 k~

a = 0.866 . ). tJ = 0.35 I 1

."Y

=

0.35

a = 30° tJ = 69.29° Y = 69.29°

.ión de un vector en el plano YZ es: aJ + ale el vector forma un 11I1"d" O .on el eje X y tien un módulo igual a 2a. Calcule: 1) I I \ l' I Ir n términos de I "unitarios normalizados.

I

I

I

I I

.'

J

b) e)

El vect r unirari I oral I Los c s n . dirc tore .

a) Ayz= El

la royección del vector en el plano XZ

r ak

i I ángul que forma el vector con el eje X, se denomina y el módulo del vector A = 2a

ex

.....

......

A=Ax + aj + ak

I

2

2

2a =\j (Ax) + a + a

2

de donde se obtiene:

af2

Ax =

r;:::"

A=avLi

..

+aj+ak

..

A,.z = aE T + a k

b)

J 2a2 + / u A . = A z= .fiar + ak =

Axz =

Axz

xz

) cosa:

=

/Ja

~ .. +

(1k

v"3 f'3 1

ha Ji.

--=-

2a a

os 3= 2a

1

=-

a

2 1

2a

2

7=-=-

2

... r:>

..

+

10.- l ad el siguiente vector en el espacio A=i 3a1 + 2aj - 3ak. Determinar:

L s cosenos directores '1 ángulo que forma el vector con su proyección en el plano XZ ,

'1

l vector unitario paralelo al vector proyección en el plano XZ El ángulo que forma el vector con su proyección en el eje y. -<

El módulo del vector es:

j?

?

?

A = 3a- + 4a- + 9a-

= 4a

l'

s:

13

4a 2a

4

2

4a

4

scx= --=-

')s13=-=- 3a

3

s-Y=4a=-¡-

s trián ruk s le In, que f nna parte

h E 1 vector es la hipotenusa de todo I otro del prisma --2

J

'----'-2

os8= Axz= Ax A ) Axz

j

2

2

Az = 38 + 9a A

2

4a

=5ai - 3ak ...

..

Axz

=_=

uA

xz

A.

r::; .... -.J

3ai - 3ak.

J 3a

2 =0.51

2

+ 9a

~

.. -0.866k

J) Es el ángulo director 13 cos

2a

13=- =0.5 4a

8

= 60°

S i el cos ex de un vector en el espacio es

f2

y

1 v 't r f rma un ángulo de

4

5(1con el eje Y. Determinar: 11) Los cosenos directores I Si el módulo del vector es de 5 unidades, en' ntrur '1 . 'Lor n función de los unitarios normalizados. a proyección del vector en el plano YZ 1) hl ángulo que forma la proyección del vector en vi I lano XY con el eje Z. ¡' 1. )s ángulos directores.

o

cos IJ == {i 2

cos

2

(X

+ cos2 pti + cos2 y == 1

reemplazando los valores anteriores se obtiene:

..[2

a) cosa =

4

cosfJ

=!i2

cosy=E 4 b)

ÜA =cos a T+ cos{Jj +

...

cosyk y además se tiene que 1 == AUA

..[2 -.i +-j ..[2.. + -..[6 ..k) unidades

A =5(-

424

-

..[2..

..[6 ..

= 5- i +5-k unidades c) Av, . 2 4 d) Todas las líneas del plano XY son perpendiculares al eje Z; por lo tanto el ángulo será de 90° e) a = 69,3° : fJ = 45°. y= 52.2°

-

12.- La proyección de un vector en el plano XZ es

47 l· ik

mismo vector en el eje Y es - 6 j . Determinar. a) El vector en función de los unitarios nonnalizados. b) Los cosenos directores. e) El vector proyección en el plano XY. d) El vector unitario en el plano XY.

'.

y la proyección de este

..I + Tk..

,

.. - 11 ..1-»+7ku .. ..

)

11)

"

~ 4 +62 +72

r<

(X -

_

4

=

10.05 -6

'o'p =_

10.05

=10.05

U

0.398

= - 0597

7

· )sy = 10.05 =0.696 u'

I}

.. ..

= 4i - 6j u

A _../42+6'2=7.21 t

ti"

y

u

4:* 6; =7.211 -7.21}

-: -:' =O.551-0.83}

ticn n los puntos A (3,-1,4) m y B (2,2,2) m. Determinar 11)

I~Ivector posición de B con respecto a A.

1I

I~Iángulo que forma el vector con el eje Z.

Yt

~~.

..

:

: 1.."",-

:

¡ / ~

.

B

.......k:::·:::::::~~·",,:::::~~·":

x

o;

--

_--

i AB = DB - DA

A=3i-J+ikm -t

-+

--t

t1 t

=

,ti I

= - i + 3j - 2k m

__.

-t

-t

(2i + 2j + 2k) - (3i - j + 4k) -1

-1

-4

-2

);,y

) 12+ 32+ 22

Y

= B/A

.31"

'1"

14.- Dado el ve '101' H

I

i

I -

/Ja.....j + ak , un vector A... cuyo módulo

A

es igual H (' 1 '1"' ,'11 pr yección en el plano XY , tiene un módulo igual a a y fonnu un áuu 11 d 30° e n el eje Y. Determinar: '1 '·'1, .tor n srminos de los unitarios normalizados. b IU orma el vector B - A con su proyección en el plano XY

- -- -

--

El vcct r unitario paralelo al vector A-B. d)

El.ángul que forma el vector A - B con el eje X. -+

-+

,1 m dulo de la proyección del vector A - B con el eje X. A=6a Axy = 3a

3[3

A y = A xy cos 30° = -- 2 a Ay = ~y cos 60° = 1.5a 2

2

2

A =A x+~

a)

o

ak

Az=3{3

...

3

+Az

.... 3V3..aj + 3V.c.3ak....

A= 1.5ai + -B -A=

2

-aT- {3aj + (1- 3 v3)ak

13- A = -aT-

1.73a) + 4.1ak .--------2 2 a + 3a I(B-A)xyl

cose=

I

-+

(E-A)I

=

2

2

2

+ (4.2a)

a -3a

e = 64.5°

o

-u--

-

~

_.

-+

ai + ..¡3aj + 4.2ak

(A· B)

c)

=0.43'

4.64 a _..

U(A.B) =0.21i+0.37j

_.,

-.

+0.88k

f3

=

,),'(3

ti

=0.373

4.64

f3 = 68.1°

IA-Blx=a 1111 roh te tiene dos motores de retropropulsión. El primer motor impulsa al I dwl' "11 la dirección N-O con un ángulo de elevación de 60° y con una I '1" I z I 200 unidades; el segundo motor 10 impulsa en la dirección S 60° E; con 1111 11 tul de elevación de 45° y una rapidez de 160 unidades. Determinar: " I 1 v locidad del cohete en términos de los unitarios normalizados. I I 1,' lirección de la velocidad resultante del cohete.

-+

-+

I s vectores A y B los que represen! 11 n las v 'lo .idad s de J s d ' 1111,1 r s : todos los triángulos formados en el gráfic s n ro irán 'lIlo,' P( r lo que · puede hallar las respectivas compon ntcs nplil"lndo lns rUI1 ione Illj un métricas. ",

111

* 0.5 = 100 u 100 * 0.707 = 70.7

z = A cos 60° = 200 =Axz cos 45° = f,

= Axz sen45° = 100 = A sen60° = 200

•

....

....

* 0.707

* 0.866

=

....

-70.7i + 173.2j - 70.7k

ti

= 70.7

u

173.2 u

u

Bxz =

s4

11

= A zS 'n()OI B~ = ti " ,/, . :-;(:0"

t 60

B,

¡

tI. 14 u

1I

.14*ú

11

.14*0.5 = 56.57 u *0.707=

... B-97.97i

--

o.: 07

11 .l4j+56.57k

= 97.97

..

u

13.14u

a) a v ,lo .idad resultante es la suma de las dos velocidades. VR /\ ¡

..

b) J

...

....

27.27i + 286.34J - 14.13k

VR

a dirección será determinada por el ángulo de giro 8 y el de elevación (J 286.34

tg'¡) = -¡::==;:====;:J(27.27)2 + (14.13)2 (J = 83.88°

tg8=--

14.13

27.27 8 = 27.56° La dirección del ángulo de giro puede ser expresada como E 27.56°N. 16.-

El lado de los cubos de la figura mide 10 cm. Determinar: .. a)

El vector R = 2LF - 3AG + 5DK

b)

El ángulo formado entre los vectores LF y AG

e)

La proyección del vector DK

d)

El unitario LF

--+

-

-

z,...······ ....

--+

-

en la dirección del vector LF

--

:1 d 0' srmina los siguientes vectores:

.

I 1;

I j - 10j + 10k cm

IF

,,(lO)

I

..

2

2

+ (-10) + (10)

..

...

.....

r::=

2

= '" 300 cm

¡ 10i + 10j + 10k cm )300 cm

.. ..

1)

l Oi+ 20j cm )(10)2 + (20)2 =1500 cm

......... ...... ..... 40i - 50j + 150k...