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limites, punto de acumulación, teorema de unicidad del limite, limites laterales, teorema de conservatorio del signo teorema de acotación, etc. con ejercicios ...

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I LÍMITES EJEMPLO 1: Sea ( ) . Si se confecciona una tabla de valores para puntos próximos a 2, es decir, valores de x que pertenecen a un entorno reducido de2, las imágenes correspondientes de la función ( ) son: X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2, 1

f(x) 2,61 2,9601 2,996001 2,99960001

Observamos que cuando x se aproxima a 2 con valores mayores o menores a 2, ( ) se aproxima o tiende a 3. Por lo tanto, cuando la distancia, entre x y 2 se hace más pequeña, es decir | | entonces la distancia entre f y 3 se hace más pequeña, es decir | ( ) | , como se puede apreciar en la siguiente tabla:

| |

| |

|

|

|

|

| | | |

| | | |

|

| |

|

| |

|

|

| | | |

| |

|() | | |

|

|

De lo que se deduce que el límite de la función f cuando x tiende a 2, es 3. Simbólicamente:

lím f(x)  3 x 2 Intuitivamente la idea que tenemos de límite de una función en un punto es el número hacia el que se aproximan los valores que toma la función cuando la variable independiente se aproxima a ese punto. Actividad N° 1: Sean las funciones: ()

() {

() {

1

ANÁLISIS MATEMÁTICO I a) b) c) d)

Confeccionar las tablas para valores de x próximos a 3. Graficar cada una de las funciones. Indicar Dom. e Im. ¿A qué valor tiende la función, cuando x toma valores muy próximos a 3? ¿A qué conclusión se llega en relación a la existencia del límite, al comparar cada uno de los ejemplos?

Antes de definir el límite de una función en un punto es necesario dar la definición de punto de acumulación: PUNTO DE ACUMULACIÓN Definición: Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si, y solo si, para cada se tiene que ( ) Es decir, x0 es un punto de acumulación de un conjunto A si en cada entorno de x0 hay otros puntos de A. Simbólicamente:

a es punto de acumulación de A si y solo si:

()

()

De los puntos de A que no son de acumulación, se dice que son puntos aislados de A. Nota: Es decir, x0 es punto de acumulación de A si “cerca" de x0 siempre hay (otros) puntos de A, por pequeño que hagamos el círculo de cercanía; en consecuencia, a un punto de acumulación de un conjunto siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Solo así tiene sentido la de finición del límite siguiente, porque el límite en a de f es L, si la imagen de cada x cercano a a está cerca de L. Es más clara su comprensión cuando se utiliza entornos. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean f una función y a un número real. Se supone que f está definida en un entorno reducido de centro a, es decir, f no está necesariamente definida en a. Es decir a es punto de acumulación del dominio de f. Se dice que la función f tiende a un número L cuando x tiende al punto a o que L es límite de f en el punto a, si para cualquier , por pequeño que este sea, existe un intervalo alrededor de a, ) , tal que | ( ) | es menor que , para todos los puntos ( es decir ( )diferentes de a. Cuando esto ocurra se escribe:

lím f(x)  L xa

Es decir:

2

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a si para todo entorno E L ,   existe un entorno Ea ,   , de modo que para todo x perteneciente al entorno reducido E ' a ,   se cumple que f x  pertenece al entorno E L ,  

lim f  x  L    0,  ( )  0 / x  E a ,    f  x  E L ,   x a

Por la definición de entorno podemos expresar la definición de límite de la siguiente manera: Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a si para todo   0 , existe un   0 tal que si

0  x  a   , entonces f x  L  

INTERPRETACIÓN GRÁFICA En la figura de la derecha se ve que, en efecto, para los puntos cercanos a a (en fondo rojo) sus imágenes (en fondo rojo) están dentro de la cercanía de L fijada (en fondo verde).

Que L sea límite significa que es un número al cual se puede aproximar los valores f(x) tanto como se quiera. Una manera de medir la proximidad de f(x) y L es mediante el valor absoluto de su diferencia: | ( ) |, que geométricamente representa la distancia entre los puntos en la recta real correspondientes a los reales ( ) y L, así que el límite será un número L tal que la distancia | ( ) | entre ( ) y L se pueda hacer tan pequeña como se quiera, con tal que se elija x suficientemente cercano a a. Y como se pudo observar en la actividad n°1 es irrelevante que la función este definida o no en el punto a.

Se fija un valor pequeño como radio del entorno de centro L, se proyectan los extremos de dicho entorno, y hasta interceptar al gráfico de la función y luego se proyecta sobre el eje x.

3

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Si quedan determinados dos valores de , a ambos lados de a, se considera el entorno reducido de * + para que centro a y radio , siendo el menor valor de ambos radios, es decir: satisfaga la definición.

Actividad N° 2: Aplicando la definición de límite demostrar y analizarlo gráficamente:





b) lím x 2  6   2

a ) lím (4x + 3) = 15

x 2

x3

Resumiendo: El límite de una función en un punto puede existir, independientemente de lo que ocurre con la función en el punto. En la siguiente tabla se muestran las distintas posibilidades:

TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE Si una función tiene límite es único. Sean

, tales que

()

y

()

Entonces:

4

ANÁLISIS MATEMÁTICO I ()

Hipótesis: Tesis: |

|

y

entonces |

|

()

Demostración: Para probar esta igualdad, primero mostraremos que para toda Esto será posible si | Como |()

|

()

| , es decir si

, para el dado, existe si

|

|

Por otra parte, como |()

|

. Elegimos un

si

|

|

()

*

Si tomamos la menor de las dos deltas, mismo tiempo

|

para toda x que cumpla |

| |

Hemos probado que | | |

|

() () |

|

.

arbitrario.

, tal que

, para el dado, existe

|()

se tiene |

|

, tal que

+, entonces las dos desigualdades se cumplirán al |()

|

se tiene | |

( )| | ( )

|

, y como sabemos que si | |

resulta que

De esta manera se demuestra que el límite de una función es único. LÍMITES LATERALES Existen funciones que en los reales no está definida a la derecha o izquierda del valor al cual tiende x, por lo que la definición de límite de dicha función carece de sentido. Por ejemplo: ( ) √ , no está definida para valores menores a cero, sin embargo se puede acercar a cero tomando valores mayores a cero, es decir aproximarse por derecha. Por lo que habrá funciones, que tienen sus dominios restringidos, en los que para ciertos valores de x solo se podrá obtener el límite para valores tendiendo a un punto del dominio acercándose por uno de los lados. Definiciones: Se dice que L es el límite lateral derecho o límite por la derecha de la función f cuando x tiende a a por derecha, con x > a (se acerca a a de derecha a izquierda) lim f x   L , si al acercarse por la derecha x a

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I los valores de x hacia a, las imágenes f(x) están próximos a L, de forma que cuando pequeño y positivo, resulta que | ( ) | también es muy pequeño.

es muy

lim f  x  L    0,      0 /  x:  x Df  a  x  a    f  x  L    x a   Análogamente cuando se acerca por izquierda Se dice que L es el límite lateral izquierdo de la función f cuando x tiende a a por izquierda, con x < a (se acerca a a de izquierda a derecha) lim f  x   L , si al acercarse por la izquierda los valores de x hacia x a

a, las imágenes f(x) están próximos a L, de forma que cuando | | ( ) | también es muy pequeño.

|es muy pequeño, resulta que

lim f  x  L     0,      0 / x :  x  Df  a -   x  a  f x   L    x a  

Ejemplo: La función ( ) √

está definida en el intervalo [– ] y se tiene:

Actividad N° 3: Dada la función ( )

√

, determinar su Dominio y analizar los valores de x

donde existirá solo límite lateral.

6

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Actividad N° 4: Dada la función ( ) √

√

, determinar su Dominio y analizar los valores

de x donde existirá solo límite lateral. Existen funciones en las cuales no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente manera a la izquierda y a la derecha de ese punto. Como se puede ver en la siguiente gráfica para x = -2, x = -1 y x = 1. No es la misma expresión funcional, a la derecha o izquierda de cada punto, por lo que no podrá calcularse el límite de la misma manera que lo hicimos anteriormente.

Ejemplo: Sea: = y 

x x

 función signo . Esta es una función que no tiene límite para x  0 . Pero,

puede pensarse en el límite de los valores de la función signo cuando x  0 con valores positivos exclusivamente, o bien, cuando x  0 con valores negativos exclusivamente.

A la derecha del 0, x  0 , se satisface la definición de límite con el número 1, puesto que:

 x E '

 f  x E 1;  lim f x   1

0 ;  

x 0 

7

ANÁLISIS MATEMÁTICO I análogamente, el límite de

f  x, cuando x  0  es el número –1, puesto que:

x  E'  0 ;   f  x  E 1;    lim f x   1 

x0 



Para estudiar la existencia de límite, se necesita recurrir a los límites laterales: Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a por la izquierda si para todo   0 , existe un

  0 tal que si a    x  a , entonces f x  L   . Se escribe lim f  x  L . x a

Una función f tiene por límite L cuando x tiende a a por la derecha si para todo   0 , existe un

  0 tal que si a  x  a   , entonces f x  L   . Se escribe lim f  x  L . x a

Condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de una función en un punto La condición necesaria y suficiente para que una función f tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales.

lim f x   L  x a

lim f x   lim f x   L

x a 

x a

Actividad N° 5: Hallar los límites laterales de las siguientes funciones y determinar si existe el límite en cada punto:

a) lím x 0

1 1

1+ e



x

 2x- 1 si   d ) f(x)= x 2 si 3 si  

b) lím x 0

1 1+ e

1 x



1

c) lím x 0

x1

i) lím f(x)

1 x 2 x  2

ii) lím f(x)

x1

x 2

1 x



1+ e

lím- f(x) x1

lím- f(x) x 2

lím f(x) x 1

lím f(x) x 2

Resumiendo: El límite de una función en un punto puede existir o no, según el análisis de los límites laterales. En la siguiente tabla se muestran las distintas posibilidades:

ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO Para valores de x suficientemente próximos a a, la función tiene el mismo signo que su límite. Si ( ) es una función definida en un entorno reducido de a y ( ) tal que signo ( )

lim f  x  L  0 , entonces x a

( )

L

Es decir: Si ( )

lim f  x  L  0 , entonces lim f x   0

en un entorno reducido de a y existe

x a

x a

Nota: el teorema también se cumple para valores negativos. Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a es 0.

TEOREMA DE CONFRONTACIÓN ENTRE LÍMITES (Teorema de intercalación o propiedad del sándwich) Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x tiende a a, entonces también tiene el mismo límite. Se supone que las funciones f, g y h están definidas en algún entorno de x = a, excepto quizás en el ( )

propio punto x = a, f x   h x   g x  y sí:

lim f  x  lim g x  L lim h x  L x a

x a

x a

L

9

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Desde el punto de vista geométrico, si f x   h x   g x 

( ), entonces, como se observa en

el gráfico, h está interpuesta entre las curvas de f y g en ese entorno. Si f y g tienen el mismo límite L cuando x tiende a a, entonces como se ve en el gráfico, h también tiene límite L. TEOREMA DE ACOTACIÓN Si una función tiene límite cuando x tiende a a, entonces está acotada en un entorno reducido de a. Si existe L entonces la función f(x) es acotada en un entorno reducido de a.

Desde el punto de vista geométrico, se puede ver que al existir el límite L de la función, se cumple que , por lo que podemos llamar , con K y M real por definición de límite f(x) tomará próximos a L por lo que podemos afirmar que ( ) , por lo que podemos establecer que f está acotada superiormente por M e inferiormente por K. Resumiendo: Toda función que tiene límite está acotada.

lim f  x  L    0  A  0 / x Df  0 

x  a    f  x  A

xa

CÁLCULO DE LÍMITES EN LAS FUNCIONES ELEMENTALES Aplicando los teoremas sobre límites de operaciones resulta: Función constante

Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces limk  k ;  k  ℝ x a

Función identidad

limx  a ;  a  ℝ x a

Funciones polinómicas Las funciones polinómicas tienen límite finito cuando x tiende a a , siendo a un número real, y su límite coincide con el valor numérico del polinomio en a : 10

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

limkx  ka ; a ℝ x a

lim(kx  b )  ka b ; a, b ℝ x a

lim P x   P a  x a

Ejemplo:

(

)

Se sugiere realizar la demostración de las propiedades anteriores, mediante la definición de límite. Funciones racionales Las funciones racionales tiene límite cuando x tiende a a , para todo valor de a perteneciente al dominio de la función:

P x Pa  si Qa   0 a  Dom f  x a Q x Qa

lim Ejemplo:

Funciones exponenciales e irracionales

Si lim f x   L y n es un número entero positivo, entonces: x a

n

n lim f  x   lim f ( x)  Ln xa  x a 

  lim n f ( x)  n lim f ( x)  n L x a x a   

Funciones logarítmicas

Si lim f x   L , entonces: x a

lim log c f (x )  logc  lim f (x )  logc L  xa  x a

si f(x)  0 x E´(a,  ) y L  0

Actividad N° 6: Evaluar los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I OPERACIONES CON LÍMITES Teorema: Límite de una suma El límite de una suma de funciones, es igual a la suma de los límites de las funciones dadas, siempre y cuando los límites existan. Sean f y g funciones definidas en un entorno reducido del punto a. Si existen los límites:

lim f  x  L

1

lim g x  L

y

2

x a

xa

lim ( f  g) x  lim f  x  lim gx  L  L

Entonces existe:

x a

x a

xa

1

2

Hipótesis: Por definición de límite: lim f x x a

 L 1

 ε 1  0, δ 1 ε 1   0 / x: x  Df 1  0  x a δ 1   f x  L1  ε 1

lim g x   L2   2 0,  2  2  0 /  x: x  Df 2  0  x  a   2   g x   L2   2 x a

Tesis: lim f  x  g x  lim f  x  lim g x  L1  L2  x a

x a

x a

    0 ,     0 /  x :  x D f  g  0  x  a     f x  g x  ( L1  L2 )   

Demostración: Se quiere probar que, dado

  0, existe

 f x  g x  ( L1  L2 )  

tal que para todo x perteneciente al ( ):

Tomando a δ  mínimo δ1 ; δ2 ; |( ( ) ( )) ( |()

|

)|



|( ( )

 asociamos

) (()

)|



 por desigualdad triangular*

|()

|

1  2

 f x  g x  ( L1  L2 )   . 1  2 /

Como se quería demostrar, por definición de límite, resulta:

 f x   g x   L1  L2  x a

*Desigualdad triangular: |

| || ||

12

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Ejemplo: y

entonces

(

)

- En forma análoga se demuestra que el límite de la diferencia de funciones, es igual a la diferencia de los límites de las funciones dadas, siempre y cuando los límites existan.

Teorema: Límite de un producto de dos funciones El límite del producto de funciones es igual al producto de los límites de las funciones dadas, siempre y cuando los límites existan. Sean f y g funciones definidas en un entorno reducido del punto a. Si existen los límites:

lim f  x  L

y

1

xa

Entonces existe:

lim g x  L

2

x a

lim( f . g) x  lim f  x.lim g x  L .L 1

x a

x a

2

x a

Hipótesis: Por definición de límite:

lim f  x  L

 1  0, 1 1   0 / x  Df  0  x  a  1  f x   L1  1

1

x a

limg x  L xa

2

  2  0, 2  2   0 / x  Dg  0  x  a   2  g x   L2   2

Tesis:

lim  f  x.g x  lim f  x . lim g x  L1.L 2   >0,  ( ) > 0 / x  Df x a

x a

x a

0 < x  x0    | ( ) ( )

g

:

|

Demostración: ( ) |() ()

Se quiere probar que



|

En primer lugar se trabajará algebraicamente la siguiente expresión: (()

)( ( )

)

Multiplicando a ambos miembros: ( )



 por prop. distributiva

() () ()

()

( ) y cancelando resulta: 13

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

(()

)( ( )

) ()

()

() ()

Invirtiendo la igualdad: () ()

(()

)( ( )

()

) ()

Sumando a ambos miembros: (()

() ()
<...