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INSTRUMENTACION Y SENSORES

TEMA: Linealizacion NOMBRES: Jessica Pilatasig CURSO: Cuarto nivel NRC:2631 CARRERA: Electronica y automatizacion DOCENTE: Ing. José Bucheli

Consulta N° 2 

Investige que es linealizacion ,sus metodos y un ejemplo de aplicación.

LINEALIZACION

1. RESUMEN Una funcion lineal es aquella en al que la relacion entre las variables dependiente e independiente es la ecuacion de la recta y una funcion no lineal se da cuando la relacion entre las variables dependiente e independiente no es lineal .conociendo esto podemos decir que linealizar una funcion no lineal significa reemplazarla por otra funcion lineal.Para linealizar una funcion existen ciertos metodos como : La logaritmacion dentro de este existen el modelo de la funcion potencial y la funcion exponencial , y La regresion lineal utilizando minimos cuadrados.Una de las aplicaciones que estudiaremos es la linealizacion y acondicionamiento de la señal de salida un termistor , elemento considerado como un semiconductor que varia su resistencia. 2. CONCEPTO En matemáticas es la técnica para calcular una aproximación lineal de una ecuación no lineal en un punto dado.[ CITATION Alo13 \l 12298 ].En programación matemática, el concepto de linealización consiste en aproximar una función dada por una función lineal en un intervalo. [ CITATION Alb18 \l 12298 ]. Dentro de la instrumentación, La linealización es un proceso que mejora la precisión de cualquier medidor de flujo repetible.

2.1.-¿Qué es una funcion lineal? Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación

f ( x )=mx +b y=mx + b Llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.[ CITATION Mau11 \l 12298 ]

2.2.- ¿Qué es una funcion no lineal? Las funciones no lineales, si la variable y depende de la variable x, y si la relación entre ambas no es lineal entonces no puede representarse en términos de la ecuación, esta no tienen tasas de cambio constantes. Por lo tanto, sus gráficas no son líneas rectas.[ CITATION Gle17 \l 12298 ]

2.3.-Significado de linealizacion En la práctica de la ingeniería de control es posible linealizar estos sistemas alrededor de un punto de operación conocido. Por lo que el comportamiento del sistema no – lineal puede considerarse lineal para pequeñas variaciones alrededor de este punto de operación. Considere

un sistema no lineal cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante:

y=f (x)

Figura 1. Linealización

La linealización es un proceso local lo que significa que es válida en un punto y no es en todo el intervalo de definición de la función f (x).[ CITATION Dgr17 \l 12298 ]

2.4.- Metodos Por logaritmación Entre los modelos que permiten linealización mediante la logaritmación están:

2.4.1.-La funcion exponencial y=b ea

La función

ln y=ax+ ln b

Se linealiza a través de los logaritmos, Cambiando variables, ,

ln y ≡ y ln b ≡ b

,

Se obtiene,

,

,

y =ax + b

Es decir, si en la función potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea recta.

2.4.2.-La función potencial a

La función

y=b x

se linealiza a través de los logaritmos,

log y=a log x + logb

Cambiando variables,

,

,

log y ≡ y log x ≡ x log b ≡b

,

Se obtiene, ,

,

y =a x +b

,

Es decir, si en la función potencial se grafica log y vs log x, se obtiene la ecuación de una línea recta.[ CITATION Jor17 \l 12298 ]

2.4.3-Regresion lineal Metodos minimos cuadrados Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Exige que la desviación cuadrática media sea mínima, es decir debe ser la mínima suma.

s=Σ ( ε )2 =Σ ( ax + b ) 2 El extremo de s se obtiene cuando derivas s de respecto de a y de b sean nulas, lo que da lugar a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas del que se despeja a y b obteniéndose.

a=

N Σ xy −Σ x Σ y Σ x 2 Σ y−Σ x Σ x y b= Δ Δ

Con,

Δ=N Σ x − ( Σ x) 2

2

Las respectivas incertidumbres en a y b son:

ua=σ y Con,

σ y=

√

√

N Δ

2 1 Σ ( y −b−ax ) N −2

3. EJEMPLO

ub=σ y

√

Σx Δ

2

Tabla 1. Ejemplo mínimos cuadrados

Parametros de ajuste 2 1 Σ ( y −b−ax ) σ y= N −2

√

2

Δ=N Σ x − ( Σ x)

2

a=

N Σ xy −Σ x Σ y =0.935 Δ

b=

Σ x 2 Σ y−Σ x Σ x y =0.36 Δ

ua=σ y

√

ub=σ y

N =0.081 Δ

√

Σ x2 =0.512 Δ

y= (0.94 ±0.08 ) x + (0.4 ± 0.5)

Grafica 1. Representación de la ecuación lineal

4. EJEMPLO DE APLICACIÓN Linealizacion de la señal de salida un termistor NTC 5. BIBLIOGRAFIA

[1] Albasanz. (2018). Algunas linealizaciones en programación matemática. Obtenido de https://decidesoluciones.es/linealizaciones-programacionmatematica/ [2]

Alojamientos. (2013). Linealización de modelos. Obtenido de https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2013/512/46642/1/Documento 3.pdf

[3]

Dgramos. (2017). LINEALIZACION DE SISTEMAS. http://www.ing.uc.edu.ve/~dgramos/tem4/tema4_1.htm

[4]

Figueroa, M. (2011). FUNCIÓN LINEAL. http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html

Obtenido Obtenido

de de

[5] Floreth, J. (2017). Linealización de modelos no lineales. Obtenido de https://jorgeyfloreth.wordpress.com/2017/04/02/linealizacion-de-modelos-nolineales/ [6]

Glencoe. (2017). Funciones lineales y no lineales . Obtenido de http://www.glencoe.com/sec/math/msmath/mac04/course3/study_guide/pdfs/ma c3_pssg12_sp.pdf...