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unchen Technische Universit¨at M¨  c Lehrstuhl f¨ ur Numerische Mechanik Sommersemester 2019

Technische Mechanik II (Elastostatik) – Lo ¨sungsblatt 13 (Prof. Dr.-Ing. Wolfgang A. Wall, Sebastian Pr¨ oll) Aufgabe 13.1: Lokalisieren Sie qualitativ die Schubmittelpunkte der folgenden sechs d¨ unnwandigen Profile:

Im Folgenden werden die sechs gegebenen Szenarien von links oben nach rechts unten nummeriert und einzeln analysiert. Die Schubmittelpunkte des ersten, zweiten und vierten Profils fallen aufgrund der doppelten Achsensymmetrie der Profile mit dem jeweiligen Fl¨achenschwerpunkt zusammen:

Beim K-f¨ormigen Profil laufen s¨ amtliche geradlinigen Profilabschnitte in einem Punkt zusammen. Infolgedessen besitzen die zugeh¨origen Resultierenden des Schubflusses bez¨ uglich dieses Punkts keinen Hebelarm, weshalb dort der Schubmittelpunkt liegen muss:

1

Entlang des geschlitzten, kreisf¨ ormigen Profils verl¨auft der Schubfluss infolge einer nach unten wirkenden Querkraft in etwa wie folgt:

Der Schubfluss erzeugt ein Torsionsmoment bez¨ uglich des Fl¨achenschwerpunkts des Profils. Infolgedessen muss die nach unten wirkende Querkraft als Resultierende des Schubflusses dasselbe Torsionsmoment bez¨ uglich des Fl¨ achenschwerpunkts hervorrufen. Der Schubmittelpunkt befindet sich demnach links vom Fl¨ achenschwerpunkt und liegt aufgrund der Achsensymmetrie des Profils auf derselben H¨ohe wie der Fl¨achenschwerpunkt. Die qualitativen Verl¨aufe des Schubflusses entlang des geschlitzten, rechteckigen Profils infolge einer Querkraft Qy > 0 und einer Querkraft Qz > 0 sind im Folgenden abgebildet:

y

y

z

z

Qy > 0

Qz > 0

Stellt man im linken Szenario ein Momentengleichgewicht um die Profilecke links oben auf, m¨ ussen nur die Resultierenden der Schubfl¨usse entlang des unteren und des rechten Profilabschnitts ber¨ucksichtigt werden. Da der quadratische Verlauf des Schubflusses entlang des unteren Profilabschnitts in den beiden Eckpunkten betragsm¨aßig dieselbe

2

Steigung aufweist wie der lineare Verlauf entlang des rechten Profilabschnitts, ist die Fl¨ache unter dem quadratischen Verlauf augenscheinlich kleiner als diejenige unter dem linearen Verlauf. Daher resultiert ein entgegen dem Uhrzeigersinn wirkendes Torsionsmoment um die Profilecke links oben und der Schubmittelpunkt liegt demnach irgendwo auf der oberen Seite außerhalb des Profils. Bildet man nun im rechten Szenario dasselbe Momentengleichgewicht um die Profilecke links oben, heben sich die Resultierenden der Schubfl¨ usse entlang des unteren und des rechten Profilabschnitts hinsichtlich ihrer Momentenwirkung ungef¨ahr auf. Somit ist die horizontale Position des Schubmittelpunkts n¨aherungsweise durch die Lage des linken Profilabschnitts gegeben. Insgesamt befindet sich der Schubmittelpunkt also in etwa oberhalb der Profilecke links oben. Aufgabe 13.2: Das folgende d¨ unnwandige Profil mit dem Fl¨achenschwerpunkt S im Ursprung des eingezeichneten Hauptachsensystems yz ist achsensymmetrisch zur Hauptachse y :

y

√ S 2 2t

t

a

z a

a

1. Berechnen Sie das axiale Fl¨achentr¨agheitsmoment Iyy bez¨ uglich der Hauptachse y . Um das axiale Fl¨achentr¨agheitsmoment Iyy,> des mittleren, diagonal verlaufenden Profilabschnitts zu berechnen, kann die Knickstelle auf der H¨ ohe der Hauptachse y gedanklich so weit nach links verschoben werden, bis man ein Rechteck mit der √ √ Breite 2 · 2 2t = 4t und der H¨ohe 2a erh¨alt. Dabei bleibt der Wert von Iyy,> konstant. Es gilt daher einfach Iyy,> =

4t · (2a)3 8 3 = a t 3 12

Da die Eigentr¨agheitsmomente der beiden horizontalen Profilabschnitte wegen t ≪ a vernachl¨assigbar klein sind, m¨ ussen nur deren Steiner-Anteile ber¨ ucksichtigt werden. Es folgt f¨ur das gesamte Profil 8 20 Iyy = a3 t + 2 · a2 · 2at = a3 t 3 3

3

2. Zeichnen Sie den grafischen Verlauf des statischen Moments Sy entlang des gesamten Profils und beschriften Sie ihn vollst¨ andig. Prinzipielles Vorgehen bei der Bestimmung des statischen Moments Sy : • sinnvolle Wandkoordinaten si entlang knickfreier und unverzweigter Profilabschnitte einf¨ uhren • zt-Verlauf grafisch oder analytisch ermitteln, wobei z = z(si ) die lokale z-Koordinate und t = t(si ) die lokale Wanddicke an der Stelle si entlang des Profils bezeichnen • zt-Verlauf grafisch oder analytisch zum statischen Moment Sy (si ) integrieren, wobei die aus der Technischen Mechanik I bekannten Methoden f¨ur grafische Integration angewendet werden k¨onnen Im Folgenden werden die Wandkoordinaten si derart gew¨ahlt, dass sie von Profilabschnitt zu Profilabschnitt stetig ineinander ubergehen und somit das gesamte Profil ¨ ohne Richtungswechsel durchlaufen:

s1

s2

s3 s4 Alternativ h¨atte man die Wandkoordinaten s3 und s4 auch in die entgegengesetzte Richtung laufen lassen k¨ onnen, um den verschwindenden Startwert f¨ur das statische Moment Sy am freien Profilende rechts unten auszunutzen. Der grafische zt-Verlauf und der zugeh¨ orige grafische Verlauf des statischen Moments Sy (si ) sehen folgendermaßen aus: −2a2t

−at

√ −2 2at

−4a2t

Sy (si )

zt −4a2 t

at

−2a2t

√ 2 2at

4

3. Zeichnen Sie den grafischen Verlauf der Schubspannungen τxs entlang des gesamten Profils, die sich infolge einer Querkraft Qz in positiver z-Richtung ergeben. Beschriften Sie den Verlauf vollst¨ andig. Die Schubspannungen τxs (si ) ergeben sich aus dem statischen Moment Sy (si ) gema¨ß τxs (si ) = −

Qz 3Qz · Sy (si ) · Sy (si ) = − t(si ) · 20a3 t t(si ) · Iyy

Man erh¨ alt den folgenden grafischen Verlauf: 3Qz 10at 3Q √z 20 2at 3Q √z 10 2at

τxs(si) 3Q √z 10 2at

3Q √z 20 2at 3Qz 10at

4. Lokalisieren Sie die Stelle entlang des Profils, an der die betragsm¨aßig maximale Schubspannung |τxs |max auftritt. Gem¨aß der vorherigen Grafik tritt die betragsm¨ aßig maximale Schubspannung |τxs |max an den linken Enden der beiden horizontalen Profilabschnitte auf. 5. Berechnen Sie entlang jedes geradlinigen Profilabschnitts die Resultierende des Schubflusses T und stellen Sie anschließend zwecks einer Kontrolle Ihrer Ergebnisse Kr¨aftebilanzen in y- und in z-Richtung auf. Aus Symmetriegr¨unden sind die Resultierenden des Schubflusses T (si ) entlang der beiden horizontalen und der beiden diagonalen Profilabschnitte jeweils betragsm¨aßig identisch:

5

R1

R2 R2

R1

Der Betrag der Resultierenden R1 entspricht dem Fl¨ acheninhalt unter dem zugeh¨origen Verlauf des Schubflusses T (s1 ) = τxs (s1 ) · t: R1 =

3 1 3Qz Qz · · 2a · t = 2 10at 10

Analog l¨asst sich der Betrag der Resultierenden R2 √ als Fl¨ acheninhalt unter dem zugeh¨origen Verlauf des Schubflusses T (s2 ) = τxs (s2 )·2 2t interpretieren. Um diesen Fl¨acheninhalt zu berechnen, kann entweder eine analytische Integration durchgef¨ uhrt oder gem¨aß dem folgenden Vorgehen die Koppeltafel herangezogen werden: 3Q √z 10 2at

3Q √z 10 2at

3Q √z 20 2at

√z − 203Q 2at

1

Man erh¨ alt R2 =



   √ √ √ 3Qz 1 Qz 3Qz √ · 1 · 2a + · − √ · 1 · 2a · 2 2t = √ 3 2 20 2at 10 2at

Kr¨aftebilanzen in y- und in z-Richtung: X R2 R2 ! ← H = 0: R1 − √ + √ − R1 = 0 2 2 X R2 R2 ! ↓ V = 0: √ + √ = Qz X 2 2

6

X

6. Lokalisieren Sie quantitativ den Schubmittelpunkt des Profils. Momentenbilanz um einen sinnvollen Bezugspunkt P : R1

a



R2 P

X

3 ! MP = 2 · R1 · a = Qz · a = Qz · e 5 3 e= a 5

R2 a

R1

Der Schubmittelpunkt befindet sich demnach in einem Abstand von e = 53 a links vom Punkt P . Gleichzeitig liegt er aus Symmetriegr¨unden auf der Hauptachse y : e = 53a

Aufgabe 13.3: Gegeben sind ein geschlossenes und ein offenes d¨ unnwandiges Profil mit denselben globalen Abmessungen und den abschnittsweise konstanten Wanddicken t1 < t2 < t3 : t2

t2

t1 t3

t3

t1

t1 t2

t2

1. Skizzieren Sie f¨ur jedes der beiden Profile den qualitativen Verlauf der infolge eines Torsionsmoments MT auftretenden Schubspannungen τxs u¨ber die Profildicke.

7

Geschlossene und offene d¨unnwandige Profile unterscheiden sich grundlegend hinsichtlich des Verlaufs der Schubspannungen τxs infolge eines Torsionsmoments MT . Bei einem geschlossenen d¨unnwandigen Profil nimmt man an, dass die Schubspanunnwandigen Profil nungen τxs ¨uber die Profildicke konstant sind. Bei einem offenen d¨ geht man hingegen davon aus, dass die Schubspannungen τxs u ¨ ber die Profildicke linear ver¨anderlich sind und in den beiden Randpunkten betragsm¨aßig maximal werden.

2. Lokalisieren Sie entlang jedes der beiden Profile die Stelle mit der betragsm¨aßig maximalen Schubspannung |τxs |max . t2

t2

t1 t3

t1

t3 t1

t2

t2

In einem geschlossenen d¨unnwandigen Profil tritt aufgrund des entlang des Profils konstanten Schubflusses T die betragsm¨ aßig maximale Schubspannung |τxs |max an Stellen mit der minimalen Profildicke tmin auf, im vorliegenden Fall also entlang des rechten Profilabschnitts mit der Wanddicke t1 . In einem offenen d¨ unnwandigen Profil ist die betragsm¨aßig maximale Schubspannung |τxs |max hingegen an die maximale Profildicke tmax gebunden und liegt demnach entlang der ¨außeren und inneren Kante des linken Profilabschnitts mit der Wanddicke t3 vor. 3. Welches der beiden Profile kann das gr¨oßere Torsionsmoment MT aufnehmen, wenn die zul¨assige Schubspannung τzul beider Profile dieselbe ist? Die betragsm¨aßig maximale Schubspannung |τ |max,geschlossen entlang eines geschlossenen d¨unnwandigen Profils berechnet sich zu |τ |max,geschlossen =

|MT,geschlossen| |MT ,geschlossen | = 2bht1 2Am tmin

F¨ ur das offene d¨ unnwandige Profil gilt hingegen |τ |max,offen =

|MT,offen| |MT,offen| |MT,offen| · t3 · tmax = 1 R 3 · tmax = 1 P 3 · li IT,offen t (s) ds i ti 3 3 8

!

!

Aus der Bedingung |τ |max,geschlossen = |τ |max,offen = τzul ergibt sich das folgende Verh¨ altnis der f¨ur die beiden Profile zul¨assigen Torsionsmomente: 6bht1 t3 |MT,geschlossen| ≫1 =P 3 · li |MT,offen| i ti Aufgrund der D¨unnwandigkeit der beiden Profile sind die Wanddicken ti deutlich kleiner als die globalen Abmessungen b, h und li , weshalb der Z¨ahler in der Gr¨oßenordnung O(ti2) deutlich gr¨oßer ist als der Nenner in der Gr¨oßenordnung O(t3i ). Das geschlossene Profil kann daher ein betragsm¨aßig wesentlich gr¨oßeres Torsionsmoment MT aufnehmen als der offene, sofern die zul¨ assige Schubspannung τzul beider Profile dieselbe ist. Aufgabe 13.4: Eine starre, mit der Gewichtskraft G belastete Plattform wird durch zwei dehnstarre Balken gest¨utzt, die jeweils eine L¨ange von 4 m, einen konstanten Elastizit¨ atsmodul von 13,1 GPa und einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenl¨ ange von 40 mm aufweisen. Jeder der beiden Balken ist mithilfe eines Momentengelenks an die Plattform angeschlossen. Der linke Balken ist drehbar gelagert, der rechte fest eingespannt. Wie groß kann die Gewichtskraft G maximal werden, bis das Tragwerk aufgrund Knickens versagt? Wie groß ist der eingezeichnete Abstand a im kritischen Grenzfall?

G a 4m 5m

Der linke Balken wird aufgrund seiner Lagerung durch den zweiten Euler-Fall beschrieben, der rechte Balken durch den dritten. Es ist zu beachten, dass die starre Plattform in horizontaler Richtung eingeklemmt ist und sich die Momentengelenke zwischen der Plattform und den beiden Balken infolgedessen selbst bei einem Versagen des rechten Balkens nicht horizontal verschieben k¨onnen. Die auf die beiden Balken wirkenden Druckkr¨afte h¨angen von der horizontalen Position a der Gewichtskraft G ab und k¨ onnen mithilfe zweier Momentengleichgewichte an der Plattform um die beiden Momentengelenke berechnet werden:

G

Ga 5m

a 5m

9



 1 − 5 am G

Es erscheint plausibel, dass die Gewichtskraft G genau dann maximal ist, wenn in beiden Balken gleichzeitig die jeweilige kritische Knicklast Fkrit erreicht wird. Andernfalls kann durch eine geeignete horizontale Verschiebung der Gewichtskraft G stets eine Entlastung des kritischen Balkens erzielt und infolgedessen der Betrag von G weiter erh¨oht werden. Im kritischen Grenzfall gilt demnach Ga ! EI π 2 = Fkrit,2.Euler = 2 5m l   EI π 2 a ! G = Fkrit,3.Euler = 2 2 1− 0,7 l 5m Eine Addition beider Gleichungen ergibt   1 EI π 2 1+ G= 2 l 0,72 Das axiale Fl¨ achentr¨agheitsmoment I der beiden Balken betr¨ agt I=

(40 mm)3 · 40 mm = 213333,¯3 mm4 12

Es folgt G ≈ 5,24 kN Nach Einsetzen dieses Ergebnisses in eine der beiden eingangs aufgestellten Gleichungen und anschließendem Aufl¨osen nach dem Abstand a erh¨ alt man a ≈ 1,64 m

10...