Logika prawnicza - Rachunek zdań PDF

Preview

Summary

Notatki z rachunku zdań (logika prawnicza). Notatki zostały stworzone na podstawie podręcznika Ziembińskiego oraz Patryasa...

Description

LOGIKA – RACHUNEK ZDAŃ 1) Zdanie w sensie logicznym a) Zdanie w sensie logicznym jest to takie wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe. Inaczej mówiąc, jest to wyrażenie, które opisuje rzeczywistość tak jak się ona ma lub nie tak, jak się ona ma // W logice "prawdę" oznaczamy liczbą "1", a "fałsz" liczbą "0". Dlatego też istnieją zdania poprawne gramatycznie, które w rozumieniu logiki nie są zdaniami – muszą być subiektywne, fakt // Zdaniami w sensie logicznym mogą być bowiem tylko zdania oznajmujące. Stwierdzają fakty, rejestrują zdarzenia lub stany rzeczy. Opisują coś, co jest określone i jednoznaczne. Zdaniami logicznymi nie są zdania: • mówiące o przyszłości i przyszłości • w trybie przypuszczającym • rozkazuje • pytające • oceniające • normatywne • modalne • wdrążające ocenę Prawdziwość zdania lub jego fałszywość określa się mianem wartości logicznych zdania. 2) Zmienne zdania a) Zmienne zdania jest to takie wyrażenie, za które wolno stawić dowolne zdanie w sensie logicznym. Jako zmiennych zdaniowych używa się małych liter: p, q, r, s, t, p1, q1, r1… itp., 3) Spójniki a) Spójniki logiczne to wyraźnie posiadające tę właściwość, że po dodaniu do nich zdania bądź zdań otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłączeni od wartości logicznej zdania dołączonego. b)

Spójnik jednoargumentowy jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób – przy wartości logicznej dołączonego zdania. 1) Spójnik negacji = „nie jest tak, że”, „nieprawda, że”, „nie”; symbol „~ ” (zdaniem prawdziwym daje zdanie fałszywe – a z fałszywym prawdziwe) p 1 0

~p 0 1

Zdanie zanegowane jest to zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argumentu. Negacja jest to zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania. Innymi słowy jest to zdanie zbudowane ze spójnika negacji i jego argumentu. Zdania wzajem sprzecznym to zdanie zanegowane i powstała z niego negacja. 2)

p 1 0

~p 0 1

!p 1 0

p 1 1

p 0 0

~p – negacja !p – asercja = „jest tak, że” (spójnik, który po dołączeniu do zdania prawdziwego daje zdanie prawdziwe, a po dołączeniu do zdania fałszywego daje zdanie fałszywe). p – totalna asercja = brak odpowiednika polskiego (po dołączeniu do niego zarówno zdania prawdziwego, jak i zdania fałszywego daje zdanie prawdziwe). p – totalna negacja = brak odpowiednika polskiego (po dołączeniu do niego zarówno zdania prawdziwego, jak i zdania fałszywego daje zdanie fałszywe). (OBOWIĄZUJE TYLKO NEGACJA) c) Spójnik dwuargumentowy to jest wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako jego argumentów daje nowe zdanie, którego wartość logiczna jest wyznaczona – w szczególny sposób – przez wartości logiczne zdań dołączonych. 1) Spójnik koniunkcji = „i”, „a”, „oraz”, „ale”, „lecz”; symbol „ Ù ” (spójnik koniunkcji tym się* charakteryzuje, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba jego argumenty są* prawdziwe. Gdy zaś+ choć+ jeden z argumentów jest fałszywy, to zdanie zbudowane za pomocą* spójnika koniunkcji też jest fałszywe). p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pÙq 1 0 0 0

Czynniki są to zdania dołączone do spójnika koniunkcji jako argumenty. Koniunkcja jest to zdanie zbudowane ze spójnika koniunkcji oraz jego argumentów (czynników). 2) Spójnik alternatywy = „Albo”, „lub” ; symbol „ Ú” (spójnik alternatywy tym się charakteryzuje, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe już, wtedy, gdy chociaż, jeden z jego argumentów jest prawdziwy. Gdy zaś+ oba argumenty są* fałszywe, to zdanie zbudowane za pomocą* spójnika alternatywy też jest fałszywe) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pÚq 1 1 1 0

Składniki są to zdania dołączone do spójnika alternatywy jako argument. Alternatywa jest to zdanie zbudowane ze spójnika alternatywy oraz jego argumentów (składników).

Funktor alternatywy nierozłącznej, funktor alternatywy rozłącznej, funktor dysjunkcji -> wszystkie te spójniki międzyzdaniowe różnią się od funktorów (funktorów) prawdziwościowych, iż używa się ich w mowie potocznej tylko wtedy, gdy nie wiemy, które ze zdań składowych jest prawdziwe, a które jest fałszywe. Nikt nie powie w mowie potocznej: Jan czyta książkę lub słucha muzyki. Piotr mówi albo milczy. Nie wypowie tych zdań wtedy, gdy ma już wiedzę: Jan trzyma jabłko w prawej ręce albo trzyma w lewej ręce. Funktor alternatywy nierozłącznej to taki funktor dwuargumentowy, który daje zdanie prawdziwe, gdy choć jeden z argumentów jest prawdziwy. Działa więc jak dodawanie. = „lub”; symbol „Ú ” Funktor alternatywy rozłącznej to taki funktor dwuargumentowy, który daje zdanie prawdziwe gdy jedno zdanie-argument jest prawdziwe, drugie zaś jest fałszywe. = „albo”, symbole „Ú”, „⊥” 3) Spójnik dysjunkcji = „… bądź…”, „bądź ani, jedno ani drugie”; symbol „ ⁄ ” (jest to spójnik, który daje zdanie prawdziwe, gdy choć jeden argument jest fałszywy) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p⁄q 0 1 1 1

4) Spójnik implikacji = „jeśli…to…”, „jeżeli, to”, „jeśli, to”, „gdyby, to”; symbol „ ®”, „É ” (spójnik implikacji tym się* charakteryzuje, że powstałe z niego zdanie jest fałszywe tylko wtedy, gdy argument poprzedzający spójnik jest prawdziwy a argument występujący po spójniku jest fałszywy) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p®q 1 0 1 1

Poprzednik jest to pierwsze zdanie dołączone do spójnika implikacji jako argument. Następnik jest to drugie zdanie dołączone do spójnika implikacji jako argument. Implikacja jest to zdanie zbudowane ze spójnika implikacji oraz jego argumentów (poprzednika i następnika). 5) Spójnik równoważności = „wtedy i tylko wtedy, gdy”; symbol „º”, „«”(spójnik równoważności tym się* charakteryzuje, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe wtedy, gdy oba argumenty mają taką samą wartość+ logiczną, a wiec oba są* prawdziwe albo oba są* fałszywe). p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pºq 1 0 0 1

Człony są to zdania dołączone do spójnika równoważności jako argumenty. Równoważność jest to zdanie zbudowane ze spójnika równoważności oraz jego argumentów (członów). Równoważność to implikacja zachodząca w obie strony. (p≡q) = (p→q) ∧(q→p) 6) Spójnik binegacji = „ani…,ani…”; symbol „¯” (spójnik dwuargumentowy, który daje zdanie prawdziwe, gdy oba argumenty są fałszywe) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p¯q 0 0 0 1

d) Zdanie pojedyncze – może być tylko prawdziwe albo fałszywe natomiast w zdaniach założonych określamy to przez spójniki 4) Wyrażenia rachunku zdań 1° każda zmienna jest wyrażeniem rachunku zdań np., p, q, r, s 2° jeżeli sekwencja postaci A jest wyrażeniem rachunku zdań+ , to także sekwencja postaci ~ A jest wyrażeniem rachunku zdań np., ~p, ~q, ~~p, ~~q, ~~~s itp. 3° jeżeli sekwencje postaci A oraz B są* wyrażeniami rachunku zdań+ , to także sekwencje postaci A Ù B, A Ú B, A → B, A ≡ B są* wyrażeniami rachunku zdań+ np., p Ú q, p → q, ~ p Ù ~ q, p → ~ q PRZYKŁAD Wykażemy teraz, że „~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q)” jest wyrażeniem rachunku zdań 1° p, q 2° ~p, ~q 3° p Ù q 2° ~ (p Ù q) 3° ~ p Ú ~ q 3° całość = ~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q) Wykażemy obecnie, że „~ [(p Ù q) → (p Ú q)]” jest wyrażeniem rachunku zdań* 1° p, q 3° p Ù q, p Ú q)

3°(p Ù q) → (p Ú q) 2° całość Wykażemy jeszcze, że „(r ≡ q) Ú [(~ p → ~ r) Ù (q Ú ~ p)]” jest wyrażeniem rachunku zdań 1° p, q, r 2° ~p, ~r 3° r ≡ q, ~ p → ~ r, q Ú ~ p 3° (~ p → ~ r) Ù (q Ú ~ p) 3° całość WYRAŻENIEM RACHUNKU ZDAŃ NIE JEST pp → q , (p Ù q) → Ú (q Ù p), (r → ~ p) ≡ 5) Pojęcie tezy rachunku zdań a) Teza rachunku zdań to takie wyrażenie, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nim zmienne zdaniowe przekształca się w zdanie prawdziwe 6) Metoda zero-jedynkowa Jak widać, o ilości rzędów decyduje ilość zmiennych występujących w badanym wyrażeniu. Gdy jest w nim n zmiennych, to tabelka ma 2n rzędów. Jeśli więc w wyrażeniu występuje tylko jedna zmienna, to ta- belka ma 2 rzędy. Przy dwóch zmiennych tabelka ma 4 rzędy, przy trzech zmiennych ma 8 rzędów, przy czterech zmiennych ma 16 rzędów itd. JEŚŁI W OSTATNIEJ KOLUMNIE WYŚTEPUJĄ SAME JEDYNKI WIEC ZDANIE W KAŻDYM WYPADKU JEST PRAWDZIWE WIEC JEST TEZĄ RACHUNKU ZDAŃ PRZYKŁAD „~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q)” p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

~p 0 0 1 1

~q 0 1 0 1

pÙq 1 0 0 0

~ (p Ù q) 0 1 1 1

~pÚ~q 0 1 1 1

~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q) 1 1 1 1

Tak więc, w oparciu o matrycę spójnika negacji, w kolumnie dla „~ p” należy wpisać 0 tam, gdzie w kolumnie dla „p” występuje 1, oraz 1 wpisać tam, gdzie w kolumnie dla „p” występuje 0. Podobnie rzecz się ma z kolumną dla „~ q”, którą należy wypełnić w oparciu o matrycę spójnika negacji i kolumnę dla „q”. Z kolei kolumnę dla „p Ù q” należy wypełnić w oparciu o matrycę spójnika koniunkcji i kolumny dla „p” oraz „q”. Kolumnę dla „~ p Ú ~ q” należy wypełnić w oparciu o matrycę spójnika alternatywy oraz ko- lumny dla „~ p” i „~ q”. Wreszcie kolumnę dla „~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q)” należy wypełnić w oparciu o matry- cę spójnika równoważności oraz kolumny dla „~ (p Ù q)” i „(~ p Ú ~ q)”.

„[(~ r ≡ q) Ú (p → ~ q)] → (r Ù p)” nie jest tezą rachunków zdań r 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

p 1 0 1 0 1 0 1 0

~q 0 0 1 1 0 0 1 1

~r 0 0 0 0 1 1 1 1

~r≡q 0 0 1 1 1 1 0 0

p → ~q 0 1 1 1 0 1 1 1

r Ù p (~ r ≡ q) Ú (p → ~ q) 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

[(~ r ≡ q) Ú (p → ~ q)] → (r Ù p) 1 0 1 0 0 0 0 0

[qÚ (p→ r)] ≡ [~ r ≡(p → ~ q)] nie jest tezą rachunków zdań p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

~q 0 0 1 1 0 0 1 1

~r 0 1 0 1 0 1 0 1

p→ r 1 0 1 0 1 1 1 1

qÚ (p→ r) 1 1 1 0 1 1 1 1

p→~q 0 0 1 1 1 1 1 1

~ r ≡(p → ~ q) 1 0 0 1 0 1 0 1

całość 1 0 0 0 0 1 0 1

Wyrażenie to nie przy wszelkich wstawieniach za występujące w nim zmienne zdaniowe daje w rezultacie zdanie prawdziwe, toteżniejest prawem logicznym (oraz nie jest tezą rachunku zdań).

7) Wybrane tezy rachunku zdań a) Zasada tożsamości (p ≡ p) Zasada tożsamości wskazuje, że zdanie ma tę samą wartość logiczną, co ono samo. Swobodnie mówiąc, głosi ona, że każde zdanie jest równo- ważne z samym sobą. Przykładem zdania powstałego z tej tezy jest wyrażenie następujące: Marcin idzie na wykład wtedy i tylko wtedy, gdy Marcin idzie na wykład. p 1 0

p≡p 1 1

b) Zasada podwójnego przeczenia (p ≡ ~ ~ p) Zasada podwójnego przeczenia wskazuje, że zdanie ma tę samą wartość logiczną, co jego podwójna negacja. Swobodnie mówiąc, głosi ona, że każde zdanie jest równoważne zdaniu powstałemu przez podwójne jego zanegowanie. Przykład: Kasia studiuje prawo wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że Kasia nie studiuje prawa.

p 1 0

~p 0 1

~~p 1 0

p≡~~p 1 1

c) Zasada sprzeczność (~ (p ∧# ~ p) ) Dwa zdania względem siebie sprzeczne nie mogą oba być prawdziwe. (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie). Swobodnie mówiąc, wskazuje ona, że dwa zdania wzajem sprzeczne nie są* oba prawdziwe. Tedy z dwóch zdań+ wzajem sprzecznych co najwyżej jedno jest prawdziwe. Zatem przynajmniej jedno z tych zdań+ jest fałszywe. Przykład: Nie jest tak, że (Poznań+ leży nad Wartą i Poznań+ nie leży nad Wartą). p 1 0

~p 0 1

p ∧#~ p 0 0

~ (p ∧#~ p) 1 1

d) Zasada wyłączonego środka (p v ~ p) Z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe Określenie wywodzi się* stad, że w przypadku dwóch zdań+ wzajem sprzecznych wyłączoną jest jakaś+ trzecia, środkowa ewentualność+ . Zasada ta - swobodnie mówiąc - wskazuje, że dwa zdania wzajem sprzeczne nie są* oba fałszywe. Przeto z dwóch zdań+ wzajem sprzecznych co najwyżej jedno jest fałszywe. Zatem przynajmniej jedno z tych zdań+ jest prawdziwe. Zasada wyłączonego środka współ z zasadą sprzeczności prowadzą do wniosku, Iż z dwóch zdań+ wzajem sprzecznych jedno jest prawdziwe, a jedno jest fałszywe. Przykład zdania powstałego z analizowanej tezy: Staś+ zdał egzamin z prawa rzymskiego lub Staś+ nie zda egzaminu z prawa rzymskiego. p 1 0

~p 0 1

pv~p 1 1

e) Modus ponendo ponens [(p → q) Ù p] → q To łacińskie określenie można przetłumaczyć jako: spo- sób przez potwierdzenie potwierdzający. Owa teza głosi, że gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie, to jest też tak, jak stwierdza drugie zdanie. Przykład: Jeśli (jeżeli pada deszcz, to jest mokro i pada deszcz), to jest mokro. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p→q 1 0 1 1

(p → q) Ù p 1 0 0 0

[(p → q) Ù p] → q 1 1 1 1

f) Modus tollendo tollens [(p → q) Ù ~ q] → ~ p Modus tollendo tollens, czyli sposób przez zaprzeczenie zaprzeczający. Głosi ona, że gdy jedno zdanie implikuje drugie, i nie jest tak jak stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

~p 0 0 1 1

p→q 1 0 1 1

~q 0 1 0 1

(p → q) Ù ~ q 0 0 0 1

[(p → q) Ù ~ q] → ~ p 1 1 1 1

g) Modus tollendo ponens [(p ∨ q) ∧ ~p] → q h) Modus ponendo tollens [(p / q) ∧ p] → ~q i) I prawo de Morgana ~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q) Określenie pochodzi od nazwiska XIX- wiecznego matematyka angielskiego, prawo to głosi, że negacja koniunkcji zdań jest równoważna alternatywie negacji tych zdań. Przykład: Nie jest tak, że Maria zdała egzamin z prawa rzymskiego i Maria zdała egzamin z podstawowych pojęć i metod prawoznawstwa wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie zdała egzaminu z prawa rzymskiego lub Maria nie zdała egzaminu z podstawowych pojęć i metod prawoznawstwa.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

~p 0 0 1 1

pÙq 1 1 1 0

~q 0 1 0 1

~ (p Ù q) 0 0 0 1

~pÚ~q 0 0 0 1

~ (p Ù q) ≡ (~ p Ú ~ q) 1 1 1 1

j) II prawo de Morgana ~ (p Ú q) ≡ (~ p Ù ~ q) Głosi ona, że negacja alternatywy zdań jest równoważna koniunkcji negacji tych zdań. Przykład: Nie jest tak, że Warta wpada do Wisły lub Prosna wpada do Wisły wtedy i tylko wtedy, gdy Warta nie wpada do Wisły i Prosna nie wpada do Wisły.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

~p 0 0 1 1

~q 0 1 0 1

pÚq 1 0 0 0

~ (p Ú q) 0 1 1 1

~pÙ~q 0 1 1 1

~ (p Ú q) ≡ (~ p Ù ~ q) 1 1 1 1

k) Prawo negacji implikacji ~ (p → q) → (p → ~q) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

~q 0 1 0 1

p→q 1 0 1 1

p→~q 1 0 1 1

~ (p → q) 0 1 0 0

~ (p → q) → (p → ~q) 1 1 1 1

l) Prawo transpozycji (p → q) → (~ q → ~ p) Głosi ona, że gdy jedno zdanie implikuje drugie, to negacja drugiego zdania implikuje negację pierwszego zdania. Przykład: Jeśli (jeżeli [29/30] świeci słońce, to jest dzień), to (jeżeli nie ma dnia, to nie świeci słońce).

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

~p 0 0 1 1

~q 0 1 0 1

p→q 1 0 1 1

~q→~p 1 0 1 1

(p → q) → (~ q → ~ p) 1 1 1 1

m) Prawo sylogizmu hipotetycznego [(p → q) Ù (q → r)] → (p → r) Głosi ona, że gdy pierwsze zdanie implikuje drugie, a drugie zdanie implikuje trzecie, to pierwsze zdanie implikuje trzecie. Przykład: Jeśli (jeżeli drożeje benzyna, to zwiększają się koszty transportu, i jeżeli zwiększają się koszty transportu, to drożeją towary), to (jeżeli drożeje benzyna, to drożeją towary). n) Prawo eksportacji i importacji [(p Ù q) → r] → [p → (q → r)] Teza ta nazywa się prawem eksportacji. Wskazuje ona, że implikacja o złożonym poprzedniku im- plikuje implikację o swoiście złożonym następniku. Przykład: Jeśli (jeżeli Andrzej otrzymał zaliczenia i An- drzej zdał egzaminy, to Andrzej zaliczył semestr), to (jeżeli Andrzej otrzymał zaliczenia, to jeżeli Andrzej zdał egzaminy, to Andrzej zaliczył semestr). [p → (q → r) → (p Ù q) → r] Teza ta nazywa się prawem importacji. Wskazuje ona, że implikacja o złożonym następniku impli- kuje implikację o swoiście złożonym poprzedniku. Przykład: Jeśli (jeżeli wrzesień jest przeokropny, to jeżeli wrzesień jest ciepły, to we wrześniu rośnie wiele grzybów), to (jeżeli wrzesień jest przeokropny, i wrzesień jest ciepły, to we wrześniu rośnie wiele grzybów). o) Prawo dylematu konstrukcyjnego [(p → r) Ù (q → r) Ù (p Ú q)] → r Głosi ona, że gdy jedno zdanie implikuje dane zdanie i drugie zdanie implikuje dane zdanie i jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie lub jest tak, jak stwierdza drugie zdanie, to jest tek, jak stwierdza zdanie implikowane przez każde z owych dwóch zdań. Przykład: Jeśli (jeżeli pada deszcz, to jest mokro i jeżeli pada grad, to jest mokro i pada deszcz lub pada grad), to jest mokro. p) Prawo dylematu konstr. złożonego [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)...