Lösung Übungsserie 6a PDF

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Richter...

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Musterlösung Übungsserie 6 Aufgabe 6.1: Bestimmen Sie die drei kleinsten natürlichen Zahlen, die ein Hasse-Diagramm der nebenstehenden Form haben. Erläutern Sie Ihr Vorgehen und bestimmen Sie für die beiden kleinsten Ihrer 3 Zahlen die Menge aller gemeinsamen Teiler dieser beiden Zahlen. Achtung: Das Hasse-Diagramm hat die Gestalt eines Quaders. Benutzen Sie dies, um zu überlegen, wie viele verschiedene Primzahlen in die Primfaktorzerlegung der gesuchten Zahlen jeweils eingehen. Lösung: Die gesuchten Zahlen haben die Struktur oder , wobei p1, p2, p3 Primzahlen sind mit p1 < p2 < p3 sind. (Denn: a) Quader  3-dimensionales Hasse-Diagramm  3 Primfaktoren.

oder

b) Genau eine der 3 Primzahlen p1, p2, p3 tritt mit der Potenz 2 auf, die anderen beiden mit der Potenz 1. c) Damit die dargestellte Zahl möglichst klein ist, sollte die Potenz 2 einer möglichst kleinen Primzahl zugeordnet sein.)

Idee: Probiere die kleinsten Primzahlen 2, 3, 5, 7 für die pi-Werte durch ( i=1,2,3) und berechne die zugehörigen Produkte und vergleiche. z1 =

= 60 , z2 =

= 84 , z3 =

= 90.

Alle anderen Ansätze mit diesem Primzahlen liefern größere Zahlenwerte für z.

Gesucht: T(60)

T(84).

Berechne: T(60) T(84) = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

{1,2,3,4,6.7,12,14,21,28,42, 84}= ={1,2,3,4,6,12}

Aufgabe 6.2: a) Berechnen Sie die Anzahl der Teiler der Zahl 420. b) Beschreiben Sie, welcher Zusammenhang zwischen dem hier abgebildeten Baumdiagramm und der Primfaktorzerlegung von 201236648 besteht.

c) Berechnen Sie die Anzahl t(20123648) der Teiler von 20123648. Lösung: a) Benutze die Primfaktorzerlegung von 420: 420= 2∙2∙3∙5∙7 = 22∙31∙51∙71 Da 4 verschiedene Primzahlen in der Primfaktorzerlegung von 420 auftauchen, ist das zugehörige Hasse-Diagramm recht kompliziert:

Die Anzahl der Teiler von 420 lässt sich aber auch aus der Primfaktorzerlegung unmittelbar berechnen: T(420) = (2+1)∙(1+1)∙(1+1)∙(1+1) = 24.

b) Das Diagramm gibt die schrittweise immer feinere Aufsplittung von 20123648 in das Produkt natürlicher Zahlen an, bis zum Schluss die Darstellung als Produkt von Primzahlen erreicht ist:

1. Ebene:

2. Ebene:

3. Ebene:

4. Ebene:

5. Ebene:

Ergebnis:

c) Die Hilfe der Exponenten-Regel für die Primfaktorzerlegung berechnet man:

(Achtung: das obige Diagramm enthält nicht sämtliche Teiler von 20123648. Warum nämlich nicht?)

Aufgabe 6.3: Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe liegt in der Primfaktorzerlegung für die Zahlen 1,2, …,20. Die verschiedenen Farben stehen für die verschiedenen auftretenden Primzahlen für die Primfaktorzerlegung für die Zahlen 1 bis 20. Die Unterteilungen in den Kreisringen geben jeweils an, mit welcher Potenz die Primzahlen in der Primfaktorzerlegung der jeweiligen Zahl auftreten.

1

11

2

13

9 = 3∙3

6 = 3∙2

8 = 2∙2∙2

12= 3∙2∙2

3

5

17

10= 5∙2

18= 3∙3∙2

19

15=5∙3

20=5∙2∙2

7

4=2∙2

14=7∙2

16=2∙2∙2∙2...