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Diferencia de cuadrados 93 V i..enjuntos numéricos Lectura de motivación Cubo de un binomio 96 13 Suma y diferencia de cubos 97 Números naturales (N) 14 Resolvemos juntos 100 Números enteros (Z) 15 Practiquemos lo aprendido 116 Números racionales (Q) 20 Números irracionales (I) 25 M::v n . Números ...

Description

V i..enjuntos numéricos Lectura de motivación

13

Números naturales (N)

14

Números enteros (Z)

15

Números racionales (Q)

20

Números irracionales (I)

25

Números reales (R)

25

Resolvemos juntos

30

Practiquemos lo aprendido

41

u a y e s Ge e x p o n Lectura de motivación Concepto Potenciación Definiciones Propiedades de la potenciación Radicación en R para

Propiedades de la radicación Resolvemos juntos

93

Cubo de un binomio

96

Suma y diferencia de cubos

97

Resolvemos juntos

100

Practiquemos lo aprendido

116

M::v n . Lectura de motivación

123

Definiciones previas

124

Valor numérico

125

Cambio de variable

127

Polinomio de una variable

130

Polinomios de más de una variable

137

Polinomios especiales

137

Resolvemos juntos

140

Practiquemos lo aprendido

156

División de polinomios

lMOR á SO ectura de motivación 66

Practiquemos lo aprendido

n

PAR

Diferencia de cuadrados

78

P r o d u c t o s n o t a b le s Lectura de motivación

85

Concepto

86

Trinomio cuadrado perfecto

86

Identidades de Legendre

90

Definición

164

Tipos de división

167

Propiedades

168

Método de división de Horner

172

Regla de Rufftni

177

Cálculo del resto

180

Cocientes notables

183

Resolvemos juntos

189

Practiquemos lo aprendido

202

Multiplicación de binomios con un término común

91

163

p*m o

fp| Desigualdades

5

Lectura de motivación

207

Lectura de motivación

307

Concepto

208

Definición

308

Factor de un polinomio

209

Números reales

310

Polinomio primo

213

Propiedades fundamentales

313

Factores primos

214

Intervalos

316

Métodos de factorización

217

Problemas sobre variaciones

323

Divisores binómicos

230

Problemas sobre máximos y mínimos

331

Resolvemos juntos

240

Resolvemos juntos

338

Practiquemos lo aprendido

256

Practiquemos lo aprendido

355

O t- inecuaciones ir

Lectura de motivación

261

Lectura de motivación

361

Concepto

262

Concepto

362

Solución de una ecuación

262

Inecuación lineal

368

Conjunto solución (CS)

262

Inecuación cuadrática

369

Ecuación lineal

263

Inecuación polinomíal de grado superior

381

Inecuación fraccionaria

385

Determinación de una variable en términos de las otras

264

Resolvemos juntos

389

Ecuaciones cuadráticas

265

Practiquemos lo aprendido

406

El discriminante

271

Propiedades de las raíces (teorema de

1IU n Valorabsoluto

Carda no)

272

Lectura de motivación

411

Ecuaciones de grado superior

275

Noción geométrica

412

Ecuación bicuadrada

278

Definición

413

Resolvemos juntos

282

Ecuaciones con valor absoluto

420

Practiquemos lo aprendido

302

Inecuaciones con valor absoluto

423

Desigualdad triangular

426

Ecuación logarítmica

523

Método de zonas

428

Resolvemos juntos

527

Resolvemos juntos

432

Practiquemos lo aprendido

543

Practiquemos lo aprendido

450 S is t e m a

Tí ¿V

T e o r ía d e f u n c io n e s Lectura de motivación

455 456

Concepto de función

. A• ]

‘ 460

Regla de correspondencia

462

Funciones reales

i

465

Gráfica de una función real Función como conjunto de pares ordenados

I

Funciones elementales Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido

í

486

501

549

Definición

550

Clasificación

552

Sistemas lineales

552

Sistemas no lineales

565

Resolvemos juntos

569

Practiquemos lo aprendido

585

I í ^ g r a m a c i ó n lin e a l |

Lectura de motivación

470

AMOft

Lectura de motivación

I

Í67

laticos Funciones como modelos matemàtici os 468

e c u a c io n e s

I

458

Definición de función

ds

591

Inecuaciones lineales con dos variables 592 S O F

Gráfica de una Inecuación lineal

con dos variables

592

Sistema de inecuaciones lineales L o g a r it m o s

con dos variables

596

Lectura de motivación

507

Programación lineal (bidimensional)

599

Definición

508

Resolvemos juntos

603

Teoremas

512

Practiquemos lo aprendido

622

Cologaritmo

522

Glosario

630

Antilogaritmo

522

Bibliografía

631

En ía historia de ias matemáticas, ios números naturales

' ...••" "

aparecieron muy pronto. Como la gran mayoría de los

---ü p j t

, ....

•' . •' -.

‘•yvUr-]'

§•-*'• ■ '■ •.

' l.:. ¡t&J

fe ? "* # ' - ' Ay". .' ......... *»,

"

"•

i-

'¡yA-

conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema de la vida cotidiana. Los hombres antiguos necesitaban medir longitudes, determinar áreas, calcular tiempos, pesos y otros tipos de medida. Al enfrentarse a estas necesidades, se dieron cuenta de que no era suficiente contar con los números naturales para obtener estos datos de manera exacta, ya que eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma, pero que no involucraban a los números naturales, por lo que fue necesario ampliar este concepto surgiendo así los números racionales. La mayor parte de nuestras actividades diarias implica hacer usos de tos números. Por ejemplo, al comprar una docena de tarros de ¡eche o dos manos de plátano, estamos usan­ do números naturales; cuando compramos 3/4 de arroz, 1/2 kilo de harina o 1/4 de huevos, estamos usando los números racionales. .n rUoV*ni ¡»

Identificar los números enteros y racionales. Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme­ ros enteros. Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme­ ros racionales.

pr& pm é r: y •-. ■ ' •■ ■ f’.

iM

P l

■MrAkt '■ :■yfi»99---v. ■ ■ ‘■ñt&f' ■v ■-•^■ ■ ív'i-; ' : '•/ ¡ :' ;ív - , g j/ Í a ;

El aprendizaje de este contenido es importante porque tiene relación con la gran mayoría de situaciones de la vida dia­ ria como, por ejemplo, el hecho de contar, medir, pesar, etc. Además, realizar las operaciones básicas, (suma, resta, etc.) en conjuntos numéricos como Z y Q es prerrequisito para los capítulos posteriores. S v vl8in>

I

__ í___

a*

•mam

iVÍmSy1“K

1. NUMEROS NATURALES (N) Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un con­ junto (por ejemplo, los animales de un rebaño) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. El primer conjunto numérico que se considera es el de los nú­ Los signos de sumar y restar (+ y -) comenzaron a usarse a partir deí siglo xv. Antes se usa­ ban palabras o abreviaturas. En el caso de la suma se usaba p (plus) y para la resta m (minas).

meros naturales, el cual está representado por N={1; 2; 3; 4 ;...} Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cuales­ quiera, el resultado siempre será un número natural.

Ejemplos

*"'* '

*

8+7=1/ * 5-9=45 éi vSt -4 A* x ... W ¿ y S rS V 1 k J v-..’:' J La suma 15 y el producto 45 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no

í

siempre será un número natural. # £% ✓ Ejem plos

• Cuadrados mágicos Este juego consiste en un cua­ drado con nueve casillas, donde se debe colocar nueve núme­ ros diferentes que sumados en vertical, horizontal y diagonal siempre den el mismo resulta­ do. Utiiice los números deí 1 al 9 y complete el cuadrado mágico.

4 7

,;K y j

8-5= 3

12 + 3=4

Los resultados son números naturales, pero 5 - 8 y 3+12 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números natu­ rales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir.

nnm

S=1 + 2 + 3 + ... + n —>

1

Ejemplo 5=1+2 + 3 + ... + 30 -> S =

30(30 + 1) 2

= 465

1.1.2. Suma de los n primeros números impares

S-1+ 3 + 5+7+...+2/7-1

-»

S= n¿

Ejemplo •S=1+3 + 5+7+...+39 -4 S=202=400 -»2/7- 1-39 —> n-20

1.1.3. Suma, de los n primero s números pares 5 —2+ 4+ 6+ 8 + ...+2/?

-+

E! s¡gno = apareció en el siglo yvn y padece que la idea surgió porque ' no hay dos cosas más iguales que dos rectas paralelas”.

S=n(n +1)

Ejemplo /

S=2+4+6+uóÍ # » - jQ>k . vtT

5=20(20+1)=420 £ ja K JÜ b '*.# & )-20 $

'mz. w

I \

Á -

V

i

%

/

.fe

¿Vi *

i ^»r

En la vida real hay situaciones en jas que los números naturales no son suficientes.

,4

Por ejemplo, si tienes

y debes S/.15, ¿de cuánto dinero

dispones? \

í/

A continuación veremos otros ejemplos de situaciones en las que se necesitan números enteros. •

“Debe S/.133” se escribe -133.

•

“Tiene S/.113” se escribe +113.

•

“El buzo está a 15 m de profundidad” se escribe -15.

•

“El globo está a 20 m de altura” se escribe +20.

•

“Bajamos al sótano 4" se escribe -4 .

•

“Nació en el año 234 antes de Cristo” se escribe -234.

•

“El avión vuela a 3225 m de altura” se escribe +3225.

.

“El termómetro marcaba 5 °C bajo cero" se escribe -5 .

Complete los siguientes cuadra­ dos mágicos:

i

!Í T 7■i, ? . 2 4 6 •li; ;T¡ !i i;

6 5 9 á

De los ejemplos podemos deducir que los números enteros son una ampliación de los números naturales.

Los números naturales se consideran enteros positivos. ■-

Los números enteros negativos van antecedidos del signo - .

-

.El cero es un número entero, pero no es negativo ni positivo.

2.1. La recta numérica A los números negativos en ia Antigüedad los llamaban núme­ ros ficticios., absurdos o raíces falsas.

Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica.

... -3

números enteros positivos o números naturales

números epteros

Ejemplo "y

Vi**

wÍCv*“

y

¿Cuál es el valor de M y de N?

Valor de M =1 Descubra cuál de estos cuadra­

Valor de N = - 3

dos es un cuadrado mágico. Indique, en el caso correcto, cuái es el valor de la suma de cada línea.

2 -1 -4 5 -16 8 -10-14 -7

Cuanto más a la derecha está situado un número en la recta numérica, es mayor. Cuanto más a la izquierda está situado, es menor.

_> 5 -3 _ i~ 0 2 4 -1

6

1

Veamos los siguientes ejemplos dados en la recta numérica: N

M

1.

Notemos que -1 está más a la izquierda que 3, entonces -1 es menor que 3. Se escribe -1 < 3.

2.

Determinamos el número mayor y el número menor.

M

N

— ---- *-----i----- — *—-—i----- 1------1------ >► -6 • - 2 0 Notemos que - 6 está a la izquierda de -2 , entonces - 6 es menor que -2 . Por lo tanto, el número mayor es - 2 y el menor es -6. 3.

Hallamos el valor de A y de B.

4

0

B

El valor de 4 = - 4 y de B=1. 4

B

El valor dé 4 = - 6 y de 5=3. / ¿ 0 '.* . \ $ 4-0 40* %

A pli caci ón h

™

m

J ? ...

*

Escriba el s i g n ó l o slsegúri convenga. f

a.

%_ - 3 .... - X

w

JW / m - 2 / .. 4

CW

!p

47

‘

4 4*-'\

■#V0 A ~* 1 .#

RESOLUCION

Tiíí'í

I

/ o

Escribim os el signo que c o r r e s p o n d í/ / a

_- 3k ^ > - 7/

APLICACION 2

u .4 ^ : 4 b.%;%2

c.

4 > -8

'V -

Ordene de menor a mayor, a.

b.

6 ;- 5 ;- 1 0 ; 12

4 ;- 2 1 ;- 6 ;- 4 ; 6

Resolución a

Ejemplos

Ubicam os los números en la recta numérica.

-10

-5

0

6

12

La respuesta es -10; -5 ; 6; 12. b.

Ubicam os los números en la recta numérica.

Por lo tanto, de menor a mayor, los números son - 4 ; 4; 6.

21,

6,

•

(-2)5=2(-5)=-(2'5)=-10

.

(-4)3=4(-3)=-(4-3)=-12

2.2. Operaciones con números enteros 2.2.1.

Suma y diferencia de números enteros

Veamos los siguientes ejemplos: °

+ 6+ 3= 9 Si tengo S/.6 y me dan S/.3, entonces tengo S/.9.

•

—7 —8 = —15 Si debo S/.7 y gasto S/.8, entonces acumulo una deuda de S/.15.

6 + 8=2

-

Si tengo S/.8, pero debo S/.6, entonces tengo S/.2. -5 + 3 = -2

'-V.„

Si debo S/.5 y tengo S/.3, entonces debo S/.2. Por otro lado, para sumar 3 o más números enteros, tenemos dos métodos: a.

0

\

..

Agrupar los dos primeros sumandos y sumar el resultado al tercer sumando, y asi sucesivamente.

Ejemplo

¿i ' í*' '

{ VCé

'

BN.V ' V * +7-5+4= +7-5 +44+2+4=6 O --'

b.

**9Hm**éP

"i'/ «

Sumar los positivos por un lado y los negativos por el otro, y finalmente hallar el resultado.

Ejemplos •

-8 + 9 -4 = -8 -4 + 9 = -1 2 + 9 = -3

•

+ 6 -4 + 9 -5 = + 6 + 9 -4 -5 = + 1 5 -9 = 6

Si ios dos signos son iguaies, el resultado es positivo Si los dos signos son diferentes, el re­ sultado es negativo.

•+(+o)=+a • f(-£7)~-o

Ejemplos + (+ 2)=2 +(-3)=-3

• -(-n)-+a • - (ro )- - o -(-/)- ? -(+5)--5

Capítulo t

Conjuntos numéricos

Cuando se presentan algunos ejercidos del

Ejemplos

tipo (-5)+(-2), debemos tener en cuenta lo siguiente:

•

(+5)(+3)=15

(+4) (-2)= -8

•

(—3)(—7)= 21

(—5)(+ 3)=—15

Eliminar los paréntesis: - 5 - 2 Para dividir números enteros debemos seguir Operar: - 7

los siguientes pasos:

(—5)+(—2)=—7

1.

Ejemplos 1.

2. Aplicar la regla de signos.

Hallamos los resultados de las siguientes operaciones: a.

(+4) + (-5)=+4-5=-1

(+) +(+)=+

(+ ) * ( - ) = -

H *B = +

(- )- (+ )= -

Ejemplos

b. (-2) + (+4)=-2+4=2 c.

Dividir los números sin signos.

■ 24-^(+6)=4

(+1)-(+9)=+1-9=-8

d. (+3)-(-8)=+3+8=11 /-Í'K-.

jm r , '

e.

(-1) - (+7) =-1 - 7=- 8 /

f.

-(-5)+(+7)=+ 5+7=J2 'íPh'. .10 4 y 2

A plicación 9 Calcule el valor de la expresión M.

. 3 T 111%. 5 ..I 3 +2 \4 . 2 3 4 , "

M = — - - Í- - + - - 5

J

Resolución 3 .4.

28 + 10 40

.12

" i" ^4>

19

57

20 .

80

40 y

%| .íi *H* fe

¿/Operamos 3 3 Í1 1 5 M = — —-5- —+ —+ 5 + — 4 214 2 3

« = l 2*1

2x

2x

2x

o

o _ a

a-6 _ a - 6 a _ -Sa

6b

b

b-6

6b

i

1

7 ' T + b *x

3 +— 4

1 _ 2+ 1_ 3

2*x

x + 2x

t

^1

6b

6b

1 1^ 3 „ ■ I —+ - + — 2 3; 3 f3 + 2 j

3

M= á - r J +4 2 - 7 - x + 3*3 i +i 2 6x 4 x

2 *6 x *x

3*4x‘

M ¿ í5 M=I

2 14x 12x2

14x + 9 +

M =2 12x¿

12x

^ 3 +4

5 3 8 _> m = - + - = 4 4 4

Capítulo t

A p l ic a c ió n 10

Además, podemos sumar, multiplicar, restar y

Se tiene la siguiente fracción irreductible:

dividir dos números racionales (exceptuando la división entre cero) y el resultado siempre

4 i) f2 ~ + — -r v5 10 J 13

> f4 1 --------- h-2 J v9 2 )

será un número racional. De esta manera, las cuatro operaciones fundamentales de la arit­ mética (adición, sustracción, multiplicación y

Halle el valor de b-(3+4a).