M4.2 Números aleatorios PDF

Preview

Summary

Download M4.2 Números aleatorios PDF

Description

Números aleatorios

Herramientas Matemáticas VI Modelos de Simulación

Los números aleatorios desempeñan un

, de algún modo, . Así, los números aleatorios desempeñan un papel fundamental en los modelos de simulación.

:  ;  . Por ejemplo, arrojar un dado ideal genera un número aleatorio entero entre 1 y 6. Hacer girar una ruleta genera un número aleatorio entero entre 0 y 36.

(0, 1), (Cárdenas Barrón, L. E., García Dunna, E., y García Reyes, H. 2006). Desde que se contempló la idea de usar números aleatorios para realizar diferentes cálculos, también se comenzó a pensar sobre cómo generar estos números aleatorios. Las personas podemos generar números, pero en algún punto deja de ser aleatorio. Según estudios psicológicos, existe una tendencia al generar una secuencia de números que tienen que ver con características personales de la persona, lo que les hace perder su aleatoriedad. Desde comienzos del siglo XX, diferentes técticas y herramientas fueron utilizadas para generar números aleatorios desde la construcción de tablas, pasando por mecanismos eléctricos de generación de núremos hasta los sistemas que se usan hoy en día. Sin embargo, inclusive los métodos modernos de generación de números aleatorios no son realmente aleatorios, ya que son generados a través de programas determinísticos.

2

con una base sólida de matemática. . Sin embargo,

los (Taha, 2004). :

    

𝑥 ∈𝑋 𝑇: 𝑋 → 𝑋

, que denotamos con 𝑋; ; ; 𝑈;

𝐺: 𝑋 → 𝑈

.

El funcionamiento de un método generador se resume como sigue. Se selecciona un elemento 𝑥0 del conjunto 𝑋 y se genera una sucesión de números dada por 𝑥𝑛+1 = 𝑇(𝑥𝑛 ). Estos valores determinan un número pseudoaleatorio dado por 𝑢𝑛+1 = 𝐺(𝑥𝑛+1 ). Debido a que el conjunto 𝑋 es finito, tendremos en algún momento que 𝑢𝑗 = 𝑢𝑖 para algún valor 𝑗 > 𝑖, y se produce así que 𝑢𝑘+𝑗 = 𝑢𝑘+𝑖 para todo 𝑘 > 0. El período del sistema es el menor entero 𝑝 tal que se satisface 𝑥𝑝+𝑘 = 𝑥𝑘 para todo 𝑘 ≥ 𝜏 > 0 para un cierto número 𝜏.

El método de los cuadrados medios fue los matemáticos J. von y N. a mediados del . 𝑥 2𝑛 4𝑛 (en caso de que no se consiga esto, se agregan ceros a la izquierda). 𝑥 2𝑛 2𝑛 𝑥 . Es decir, 𝑎 𝑥⏟1 ⏟ 𝑏 → 𝑥1 . 𝑥0 → 𝑥02 = ⏟ 𝑛 2𝑛 𝑛

La función 𝐺: 𝑋 → 𝑈 es definida por 𝐺(𝑥1 ) =

𝑥1 ∈ (0,1). 102𝑛

De esta manera, construimos una secuencia de números pseudoaleatorios.

3

Ejemplo Vamos a considerar un número de 4 cifras arbitrario (el desarrollo de von Neumann y Metropolis fue hecho originalmente con números de 4 cifras). Sea 𝑥0 = 2538. Los 10 primeros números pseudoaleatorios generados por el método de cuadrados medios a partir de la semilla 𝑥0 se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 1: Números aleatorios generados con el método de cuadrados medios 𝒙𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊+𝟏

𝒖𝒊+𝟏

2538

06441444

4414

0,4414

4414

19483396

4833

0,4833

4833

23357889

3578

0,3578

3578

12802084

8020

0,8020

8020

64320400

3204

0,3204

3204

10265616

2656

0,2656

2656

07054336

0543

0,0543

0543

00205209

2052

0,2052

2052

04210704

2107

0,2107

2107

044439449

4439

0,4439

Fuente: elaboración propia.

Una de las

de este método es que . Supongamos que 𝑥0 = 6100. Entonces:

Tabla 2: Ciclos en el método de cuadrados medios 𝒙𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊+𝟏

𝒖𝒊+𝟏

6100

37210000

2100

0,2100

2100

04410000

4100

0,4100

4100

16810000

8100

0,8100

8100

65610000

6100

0,6100

Fuente: elaboración propia.

4

que comenzamos, por ejemplo, con el número 𝑥0 = 1009, entonces: Tabla 3: Decrecimiento rápido a 0 𝒙𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊+𝟏

𝒖𝒊+𝟏

1001

01002001

0020

0,0020

0020

00000400

0004

0,0004

0004

00000016

0000

0,0000

. Si

Fuente: elaboración propia.

, introducido por 𝑥

,

: 𝑥𝑛 = 𝑎𝑥𝑛− + 𝑏 mod 𝑚.

𝑎, 𝑏 respectivamente, el

𝑚

, .

𝑢𝑛 =

𝑥𝑛 . 𝑚

𝑘⁄ 𝑘= Observemos que los valores de 𝑢 𝑚 0,1,2, … , 𝑚 − 1. Aunque esto pueda paracer una limitación, con un 𝑚 suficientemente grande se obtiene una secuencia densa en el intervalos [0, 1]. Ejemplo Consideremos 𝑎 = 5 , 𝑏 = 1 , 𝑚 = 9 y 𝑥0 = 1 . La secuencia de números generada es la siguiente.

5

Tabla 4: Método congruencial con 𝒂 = 𝟓, 𝒃 = 𝟏, 𝒎 = 𝟗 y 𝒙𝟎 = 𝟏 𝒙𝒊+𝟏⁄ 𝒎

𝒙𝒊

𝒙𝒊+𝟏 = 𝟓𝒙𝒊 + 𝟏 mod 𝟗

1

6

0,6666

6

4

0,4444

4

3

0,3333

3

7

0,7777

7

0

0

0

1

0,1111

𝒖𝒊+𝟏 =

Fuente: elaboración propia.

Notemos que, en el ejemplo anterior, solo pudimos generar 6 números aleatorios menos que la cantidad máxima posible, que era 9. Veremos a continuación un resultado que garantiza cantidad máxima de números aleatorios.

1) 2) 3)

𝑏 𝑚 𝑚

𝑝

: , es decir, 𝑚 𝑝 𝑎 − 1.

; 𝑎 − 1;

En el ejemplo anterior, la condición 2 del Teorema no se cumple. El número primo 3 divide a 𝑚 = 9, pero no divide a 𝑎 − 1 = 4. Luego, como vimos, no tiene período completo.

6

Referencias Cárdenas Barrón, L. E., García Dunna, E., y García Reyes, H. (2006). Simulación y análisis con ProModel. México. Pearson Educación. Taha, H. (2004). Investigación de operaciones. México: Pearson Educación.

7...