Laura ayreth Parada Hernández unidad 2 tarea 3 Experimentos aleatorios y distribuciones de probabilidad PDF

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UNIDAD 2 - TAREA 3 - Experimentos aleatorios y distribuciones de Probabilidad.Presentado por: Laura Ayreth Parada Hernández Código: 1049397511Presentado a: JUAN DAVID FIRIGUA TutorTrabajo de la asignatura: PROBABILIDAD 100402_Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básica...

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UNIDAD 2 - TAREA 3 - Experimentos aleatorios y distribuciones de Probabilidad.

Presentado por: Laura Ayreth Parada Hernández Código: 1049397511

Presentado a: JUAN DAVID FIRIGUA Tutor

Trabajo de la asignatura: PROBABILIDAD 100402_193

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI) Programa de Ingeniería Sistemas Sogamoso Boyacá 03 diciembre 2021

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo fue realizado con el fin de aprender e implementar los conceptos básicos de la probabilidad aplicando los temas vistos en la unidad 1 y en la unidad 2, analizando los ejercicios propuestos en la guía de actividades. Por otra parte, cuando aplicamos el análisis e interpretaciones de datos, la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. De esta manera, abordamos los diferentes conceptos utilizados en las unidades anteriores, logrando aplicar los conceptos en temáticas reales, que permiten obtener la información necesaria para lograr un aprendizaje significativo de las mismas.

OBJETIVOS

General Comprender las temáticas analizadas dentro de la unidad 1 y 2, mediante casos de estudio que permiten obtener conclusiones a los hechos. Específicos • Identificar y conceptualizar las temáticas relacionadas con Unidad 1 y 2. • Aplicar los conocimientos obtenidos en el curso probabilidad. • Estudiar los conceptos de la probabilidad. • Conocer las temáticas con relación a los ejercicios planteados.

Link del video: https://youtu.be/5OtpCyg91wQ

Actividad 1 Tabla comparativa de conceptos

TABLA COMPARATIVA Concepto

Definición

Variable Aleatoria

Una función que asume sus valores de acuerdo con los resultados de un experimento aleatorio.

Variable Aleatoria Continua

Son aquellas que toman infinitos valores sin saltos entre ellos y son no numerables.

Variable Aleatoria Discreta

Son aquellas que se caracterizan por ser contables y asumir valores determinados muy específicos.

Distribución de Probabilidad.

Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que el suceso ocurra.

Distribución de Probabilidad Continua.

Es continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X.

Variable, formula o imagen que representa el concepto

Distribución de Probabilidad Discreta.

Media.

Desviación Estándar.

Valor Esperado.

Varianza.

Función Probabilidad.

Función Densidad.

Distribución Binomial.

Cada valor posible de la variable aleatoria discreta puede estar asociado con una probabilidad distinta de cero.

Valor promedio de la suma de un conjunto de valores dividida entre el número total de valores. Es la medida de dispersión que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Indica el promedio ponderado por probabilidad de todos los valores posibles.

La varianza mide qué tan dispersos están los datos alrededor de la media.

Devuelve la probabilidad de que una variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor.

𝑓(𝑥𝑖 = 𝑝(𝑋 = 𝑥)

Variable aleatoria continua, describe la probabilidad relativa que de dicha variable tome determinado valor.

Especifica el número de veces (x) que puede ocurrir un evento en un número independiente de tiradas n.

𝑛 𝑃(𝑋 = 𝑘) = ( ) 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 𝑘

Aproximación de la Distribución Binomial a la Distribución Poisson.

Se considera un # de intentos n muy grande y todos con una probabilidad individual p muy pequeña.(V. Petrov - E.Mordecki: Teoría de probabilidades, Editorial URSS, Moscú, 2002).

Distribución Hipergeométrica.

Es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.

Distribución Normal.

Sirve para evaluar variables aleatorias que tendrán un comportamiento normal o aproximado.

Distribución Normal Estándar.

Distribución normal con media cero y desviación estándar de 1. También es llamada distribución z.

Área Bajo la Curva.

Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

Aproximación de la Normal a la Binomial

Se deben satisfacer las siguientes condiciones, np ≥ 5 y n(1 - p) ≥ 5 y además p está próximo a 0,5. Recuperado de https://jcastrom.jimdofree. com/matematica/estadística/aproximaci%C3%B3 n-normal-a-la-binomial/

Referencias • Gamero Burón, C. (2017). Estadística I: elementos de estadística descriptiva y de teoría de la probabilidad. (pp. 257-262, 329-345, 383- 395). Servicio de Publicaciones y Divulgación Científica de la Universidad de Málaga. • Llinás Solano, H. (2017). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. (pp. 183-186, 214-235, 283-299). Universidad del Norte. • Obando López, J. y Arango Londoño, N. (2019). Probabilidad y estadística. Fondo Editorial EIA. (pp. 57-69, 72-74).

•

Rodríguez Franco, J. y Pierdant Rodríguez, A. I. (2015). Estadística para administración. (pp. 241-268, 287-297). Grupo Editorial Patria.

Ejercicio 1. Distribución Binomial. (Función de masa de probabilidad: 𝑃 (𝑋 = 𝑘) = (𝑛 𝑘 )𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 d. Los resultados de pruebas COVID de un laboratorio clínico revelan que el 13% de los pacientes testeados resultan positivo para tener el virus, si se toma una muestra de 10 Pacientes que se hicieron la prueba. • ¿Cuál es la probabilidad que 5 de ellos salgan positivos? • ¿Qué probabilidad hay de que al menos 6 de ellos salgan negativos? • ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4 de ellos salgan positivos? Solución: Éxito= “Que salgan pacientes positivos a la prueba de Covid” n= 10 p= P(“Éxito”)= 0.13 X= “Número de pacientes que salgan positivos a la prueba de covid en la toma de una muestra a 10 pacientes” X~B( 10 , 0.13 ) • ¿Cuál es la probabilidad que 5 de ellos salgan positivos? La pregunta se traduce como: P(X=5) = 4.66 ∗ 10−3 La probabilidad de que 5 de los pacientes salgan positivos a la prueba de covid es 0.0047 Validación en GeoGebra

• ¿Qué probabilidad hay de que al menos 6 de ellos salgan negativos? La pregunta se traduce como: P( 𝑋 ≥ 6) = 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃 (𝑋 = 7) + 𝑃 (𝑋 = 8) + 𝑃 (𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10) = (5.80 ∗ 10−4 ) + (4.98 ∗ 10−5 ) + (2.77 ∗ 10−6 ) + (9.22 ∗ 10−8 ) + (1.37 ∗ 10−9) = 𝑃 (𝑋 ≥ 6) = 6.32 ∗ 10−4. La probabilidad de que una muestra de 10 pacientes al menos 6 salgan negativos a la prueba de covid es 6.32 ∗ 10−4 . Validación en GeoGebra

• ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4 de ellos salgan positivos?

La pregunta se traduce como: P(𝑋 < 4) = 𝑃 (𝑋 < 4) = 𝑃 (𝑋 = 0) + 𝑃 (𝑋 = 1) + 𝑃 (𝑋 = 2) + 𝑃 (𝑋 = 3) 10 = ( ) 0.130 (1 − 0.13)10−0 + (10 ) 0.131 (1 − 0.13)10−1 + (10 ) 0.132 (1 − 2 0 1 10 0.13)10−2 + ( ) 0.133 (1 − 0.13)10−3 3 P(𝑋 < 4) = 0.96 La probabilidad de que en una muestra de 10 pacientes que menos de 4 salgan positivos es 0.96. Validación en GeoGebra

Ejercicio 2. Distribución Poisson. (Función de masa de probabilidad: 𝑃 (𝑋 = 𝑘 ) =

𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 𝑘!

)

d. La secretaria de salud de Bogotá reporta que cada 24 horas llegan un promedio de 500 personas a las urgencias de cualquier hospital de las cuales solo el 1% quedan hospitalizadas, si el número de registro de hospitalizaciones en urgencias sigue una distribución de Poisson, encuentre la probabilidad que en 24 horas: • 10 personas queden hospitalizadas • A lo sumo 5 personas queden hospitalizadas • Ninguna persona quede hospitalizada. Solución: Éxito= “Una de las personas que llegara a cualquier hospital quede hospitalizada” λ= 5 X= “Número de personas que quedan hospitalizadas en cualquier hospital cada 24 horas” X~P( 5) • 10 personas queden hospitalizadas La pregunta se traduce como: 𝜆𝑘 𝑃(𝑋 = 𝐾 ) = 𝑒 −𝜆 ( ) 𝐾! 𝑃 (𝑋 = 10) = 𝑒 −5 (

510 ) 10!

P(𝑋 = 10) = 0.02 La probabilidad de que queden 10 personas hospitalizadas en cualquier hospital cada 24 horas es 0.02. Validación en GeoGebra

• A lo sumo 5 personas queden hospitalizadas La pregunta se traduce como: P(𝑋 ≤ 5) = 𝑃 (𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃 (𝑋 = 2) + 𝑃 (𝑋 = 3) + 𝑃 (𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) 𝑃 (𝑋 ≤ 5) = 0.62 La probabilidad de que a lo sumo queden 5 personas o menos hospitalizadas en cualquier hospital cada 24 horas es 0.62.

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• Ninguna persona quede hospitalizada. La pregunta se traduce como: P(𝑌 = 0) = 𝑃 (𝑌 = 0) = 𝑒 −5 (

50 ) 0!

𝑃 (𝑌 = 0) = 6.73 ∗ 10−3 La probabilidad de que ninguna persona quede hospitalizada en cualquier hospital cada 24 horas es 0.06. Validación en GeoGebra

Ejercicio 3. Distribución Hipergeométrica (Función de masa de probabilidad 𝑃 (𝑋 = 𝑘 ) =

(𝑀 𝑘 )(𝑁−𝑀 𝑛−𝑘 ) (𝑁 𝑛 )

)

d. El ministerio de trabajo a través de una encuesta pública reveló que de cada 50 mujeres menores de 30 años que trabaja 8 tienen un hijo, si selecciona una muestra de 20 mujeres: • ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de ellas tengan un hijo? • ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 de ellas tengan un hijo? • ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas tenga hijo? Solución: Éxito= “Una mujer menor de 30 años que trabaje tenga un hijo” n= 20 M= 8 N= 50 X= “Número de mujeres menores de 30 años que trabaje y tengan un hijo de una muestra de 20” X~Hg(20, 8, 50) • ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de ellas tengan un hijo? La pregunta se traduce como: P(𝑋 = 5) = 0.1172 ( 8) (50 − 8 ) 𝑃 (𝑋 = 5) = 𝐻𝑔(20,8,50) = 5 20 − 5 50 ( ) 20 𝑃 (𝑋 = 5) = 0.1172 La probabilidad de que 5 mujeres, menores de 30 años de 50 encuestadas tengan un hijo es de 0.1172. Validación en GeoGebra

• ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 de ellas tengan un hijo? La pregunta se traduce como: P(𝑋 ≤ 4) = 0.8467 50 − 8 ( 8) ( ) 0 20 − 0 𝑃 (𝑋 = 0) = 𝐻𝑔(20,8,50) = 50 ( ) 20

𝑃 (𝑋 = 0) = 𝐻𝑔(20,8,50) =

1 ∗ 5.13 ∗ 1011 = 0.0109 4.71 ∗ 1013

( 8) (50 − 8 ) 𝑃 (𝑋 = 1) = 𝐻𝑔(20,8,50) = 1 20 − 1 50 ( ) 20

𝑃 (𝑋 = 1) = 𝐻𝑔(20,8,50) =

8 ∗ 4.46 ∗ 1011 = 0.0758 4.71 ∗ 1013

50 − 8 ( 8) ( ) 2 20 − 2 𝑃 (𝑋 = 2) = 𝐻𝑔(20,8,50) = 50 ( ) 20

𝑃(𝑋 = 2) = 𝐻𝑔(20,8,50) =

28 ∗ 3.53 ∗ 1011 = 0.2101 4.71 ∗ 1013

8) (50 − 8 ) (3 20 − 3 50 𝑃 (𝑋 = 3) = 𝐻𝑔(20,8,50) = ( ) 20

𝑃(𝑋 = 3) = 𝐻𝑔(20,8,50) =

56 ∗ 2.54 ∗ 1011 = 0.3026 4.71 ∗ 1013

( 8) (50 − 8 ) 𝑃 (𝑋 = 4) = 𝐻𝑔(20,8,50) = 4 20 − 4 50 ( ) 20

𝑃(𝑋 = 4) = 𝐻𝑔(20,8,50) =

56 ∗ 2.54 ∗ 1011 = 0.2473 4.71 ∗ 1013

𝑃 (𝑋 < 4) = 0.2473 La probabilidad de que a lo sumo 4 mujeres, menores de 30 años de 50 encuestadas tengan un hijo es de 0.8467.

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• ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas tenga un hijo? La pregunta se traduce como: Éxito= “Ninguna mujer menor de 30 años que trabaje tenga un hijo” P(Y = 0 ) = 0.0109

50 − 8 ) ( 20 − 0) (8 0 50 𝑃(𝑌 = 0) = 𝐻𝑔 (20,8,50) = ( ) 20

𝑃 (𝑌 = 0) = 𝐻𝑔(20,8,50) =

1 ∗ 5.13 ∗ 1011 = 0.0109 4.71 ∗ 1013

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Ejercicio 4. Distribución Normal. d. El valor de los créditos para vivienda en Colombia tiene una distribución normal con una media de 70 millones de pesos y una desviación estándar de 8 millones de pesos, si se recibe una solicitud de crédito. Encuentre la probabilidad de que la cantidad solicitada: • Sea menor de 75 millones de pesos • Sea mayor de 80 millones de pesos • Este entre 65 y 74 millones de pesos • Este entre 73 y 78 millones de pesos Solución: µ = 70 Millones σ = 8 Millones X= “El valor de los créditos para vivienda en Colombia” X~N(70, 82)

• Sea menor de 75 millones de pesos La pregunta se traduce como: P(X=75) = 0.734 La probabilidad de que el crédito para vivienda sea menor de 75 millones es de 0.734. Validación en GeoGebra

• Sea mayor de 80 millones de pesos La pregunta se traduce como: P(X = 80 ) = 0.1056 La Probabilidad de que el crédito para vivienda sea mayor de 80 millones es de 0.1056. Validación en GeoGebra

• Este entre 65 y 74 millones de pesos La pregunta se traduce como: P(65 ≤ 𝑋 ≤ 74 ) = 0.4275 La Probabilidad de que el crédito para vivienda este entre 73 y 78 millones es de 0.1952. Validación en GeoGebra

•E La pregunta se traduce como: P(73 ≤ 𝑋 ≤ 78) = 0.1952

La Probabilidad de que el crédito para vivienda este entre 73 y 78 millones es de 0.1952.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Gamero Burón, C. (2017). Estadística I: elementos de estadística descriptiva y de teoría de la probabilidad. (pp. 257-262, 329-345, 383-395). Servicio de Publicaciones y Divulgación Científica de la Universidad de Málaga. • Llinás Solano, H. (2017). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. (pp. 183-186, 214-235, 283-299). Universidad del Norte. • Obando López, J. y Arango Londoño, N. (2019). Probabilidad y estadística. Fondo Editorial EIA. (pp. 57-69, 72-74). • Rodríguez Franco, J. y Pierdant Rodríguez, A. I. (2015). Estadística para administración. (pp. 241-268, 287-297). Grupo Editorial Patria. •...