Unidad 2 - Tarea 3 – Experimentos aleatorios y distribuciones de Probabilidad,Luis Andres Ramos grupo-100402 226 PDF

Preview

Summary

Tarea 3 – Experimentos aleatorios y distribuciones de Probabilidad.Presentado por: Luis Andrés Ramos Código : 94391765Tutora: Nayives Silena Trujillo Grupo: 26Curso:ProbabilidadUniversidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Ingeniería Electrónica 2020Tabla comparaiva Concepto Deinición Variable, fó...

Description

Tarea 3 – Experimentos aleatorios y distribuciones de Probabilidad.

Presentado por: Luis Andrés Ramos Código: 94391765

Tutora: Nayives Silena Trujillo Grupo: 26

Curso: Probabilidad

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Ingeniería Electrónica 2020

Tabla comparativa Concepto

Variable aleatoria

Definición

Es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral: Lanzar un dado una vez sea la variable aleatoria (X) = resultado de la tirada ¿Cuántos sucesos elementales existen ¿Qué valores puede tomar (x)? se denotan las V.A. con letras mayúsculas y sus posibles valores con letras minúsculas. www.hppt.Wipedia.com Una variable aleatoria es continua si toma un número infinito de no numerable de valores (por ejemplo, en un intervalo de

R¿ Variable aleatoria continua Variable aleatoria discreta

Distribución de Probabilidad

EJ. -X = “al resultado de tirar un dado” es una variable discreta -Y = “la altura de un alumno escogido al azar “es una variable continua. Es aquella que solo puede tomar un numero valores finitos dentro de un inérvalo EJ. El número de componentes de una manada de lobos puede ser de 4 o 5 0 6 individuos, pero nunca de 5,75 0 5,85 Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra esta está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. . En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su distribución es continúa puesto que la distribución de un variable aleatoria x viene dada por F x ( X )=P(X ≤ x) la definición implica que en una

Distribución de Probabilidad Continua Distribución de Probabilidad Discreta

definición de probabilidad continua X se cumpla P [ X=a ] = 0 para todo numero real a, esto es la probabilidad de que x tome el valor a, es cero para cual quier valor de a. Sí la distribución de x es continua se llama a X variable aleatoria continua. https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci %C3%B3n_de_probabilidad

Describe la probabilidad de ocurrencia de cada valor de una variable aleatoria discreta, es una variable aleatoria que tiene valores contables tales como una lista de enteros no negativos. Con una distribución de probabilidad discreta, cada valor posible de la variable aleatoria discreta puede estar asociada con una probabilidad distinta de cero, por lo tanto, una distribución de probabilidad discreta suele representarse en forma tabular.

Variable, fórmula o imagen que represente el concepto

https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-howto/probability-distributions-and-random-data/supportingtopics/basics/continuous-and-discrete-probability.

Media Desviación estándar

Valor esperado

Es el valor promedio de datos numéricos, calculada como la suma del conjunto de valores dividida entre el número total de valores, la media a diferencia de la esperanza matemática es un término matemático. https://economipedia.com/definiciones/media.html Es la medida de dispersión más común, que indica que tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos. Se representa regularmente con el símbolo sigma ( σ ) y representa la desviación estándar de una población. la variación que es aleatoria o natural de un proceso se conoce comúnmente como ruido. https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-howto/statistics/basic-statistics/supporting-topics/dataconcepts/what-is-the-standard-deviation/

El valor esperado o (la esperanza) de un variable aleatoria es el número que intenta capturar el centro de la distribución de dicha variable aleatoria. Podemos interpretarlo como el promedio de muchas muestras independientes de dicha distribución, más precisamente se define como la suma ponderada de todos los posibles valores en el soporte de la variable aleatoria. Cuyo peso son las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los valores. https://seeing-theory.brown.edu/basic-probability/es.html Es una medida de dispersión que se utiliza para representar la variabilidad de un conjunto de datos respecto de la medida aritmética de los mismos. así se calcula como la suma de los residuos elevados al cuadrado y divididos en el total de observaciones. https://www.sdelsol.com/glosario/varianza/

Varianza

Una función de probabilidad, también denominada función de masa de probabilidad es una función que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que esta lo asuma en concreto , si el espacio muestral E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, x3, x4, …….xk.La función de probabilidad P asociada a X es. P ( X i )=Pi .Donde Pi es la probabilidad del suceso k

X =X i por definición de probabilidad

∑ P ( X i ) =1

.

i=1

Función de Probabilidad

Hay que advertir que el concepto de función de probabilidad solo tiene sentido para variables aleatorias que toman un conjunto discreto de valores. Para valores aleatorios continuas el concepto análogo es de función de densidad. https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_probabilidad Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua (X) tome un valor cercano a x. Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de lebesgue sí.

Por lo tanto, si f es la función de distribución acumulativa de X entonces.

Función de densidad Distribución binomial

La distribución Binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo. Realizamos n veces cierto experimento en el que consideremos solo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención del éxito o fracaso en cada ocasión es independiente De la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. Siendo P la probabilidad de éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión la distribución binomial se suele identificar con. B(n,p) donde n , es el número de intentos y p la probabilidad

de éxito.

CONVERGENCIA BINOMIAL-POISSON. Se puede probar que la distribución binomial tiende a converger a la distribución de Poisson cuando el parámetro n tiende a infinito y el parámetro p tiende a ser cero, de manera que el producto de n por p sea una cantidad constante. De ocurrir esto la distribución binomial tiende a un modelo de Poisson de parámetro l igual a n por p Aproximación de la D. binomial a la D. Poisson

Distribución Poisson

Este resultado es importante a la hora del cálculo de probabilidades, o, incluso a la hora de inferir características de la distribución binomial cuando el número de pruebas sea muy grande y la probabilidad de éxito sea muy pequeña[ CITATION cea20 \l 3082 ] Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Concretamente se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas o sucesos raros. https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson

Distribución Hipergeométric a

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B.

Distribución normal

La distribución normal es un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal. En otras palabras, la distribución normal adapta una variable aleatoria a una función que depende de la media y la desviación típica. Es decir, la función y la variable aleatoria tendrán la misma representación, pero con ligeras diferencias. Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier

número real. Por ejemplo, las rentabilidades de las acciones, los resultados de un examen, el coeficiente de inteligencia IQ y los errores estándar son variables aleatorias continuas.

Distribución normal estándar

Área bajo la curva

Aproximación de la normal a la binomial

[ CITATION eco202 \l 3082 ] Es una distribución normal con media 0 ,y desviación estándar 1 También es llamada distribución Z , un valor Z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x,y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar σ su fórmula es.

Z =( X −μ )/ σ https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de normal . Representa el 100% de los casos en el grafico el área sombreada Corresponde a la probabilidad de encontrar un valor de la variable que sea igual o inferior a un valor dado. esa probabilidad es la que aprenderemos a determinar usando una tabla estandarizada.

Una distribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribución normal , siempre que n sea grande y p, no este aproximada a 0, o a 1 la aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica que la distribución binomial.

Tipo de ejercicios 1 - Distribución Binomial. c. En una cena el sábado por la noche en un restaurante, una compañía de ocho amigos. tiene la opción de pescado o carne como plato principal, mientras que para el postre pueden elegir ya sea crema de caramelo o pastel de selva negra. Suponiendo que el 70% de las personas piden carne en su plato principal y un 60% de pedido de tarta de selva negra como postre, encuentre la probabilidad de que: 1) Una persona específica elige pescado como plato principal y pastel de selva negra para el postre. 2) Entre las ocho personas, nadie elige la combinación de pescado y pastel de selva negra. 3) Entre las ocho personas, al menos seis eligen una combinación diferente a pescado y pastel de selva negra. Desarrollo: 1-Teniendo en cuenta que la elección de carne es de un 70%, nos queda la elección de pescado seria de un 30%, de la tarta de selva negra es del 60%. Para la elección de crema de caramelo sería del 40%, La opción de que una persona elija pescado con el postre de selva negra seria del (0,30) (0,60) = 0,18 * 100% = 18% R/ la probabilidad que dicha persona elija pescado como plato principal y pastel de selva negra sería del 18%. 2-Personas que eligieron pescado (0,30), personas que eligieron pastel de selva negra (0,60) = 0,18 -1 = 0,82 *100% = 82% R/ la probabilidad que nadie elija pescado y pastel de selva negra es de 82%. 3- Personas que eligieron pescado (0,30), personas que eligieron pastel de selva negra (0,60) = 0,18 – 0,06 = 0,12 *100% = 12% R/ Entre las ocho personas, al menos seis eligen una combinación diferente a pescado y pastel de selva negra, sería del 12%

Ejercicio 2. Distribución Poisson. c. Julie tiene una página de Facebook y está muy interesada en tener una gran cantidad de amigos en esta red social. El número de amigos agregados a su página sigue un proceso de Poisson con una tasa de 3 personas por semana. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana en particular gane menos de tres amigos? 2) Suponga que durante una semana en particular no hizo nuevos amigos entre el domingo y el viernes, y el viernes por la noche se sintió muy decepcionada y quería saber la probabilidad de que haga al menos un nuevo amigo el sábado de esa semana. ¿Puedes dar una respuesta a su pregunta? Desarrollo.

λ=3 , en general la distribución poisson 1-teniendo una tasa de 3 personas por semana = como aproximación de experimentos binomiales donde el número de pruebas es muy alto

(n → ∞ ) pero la probabilidad de éxito muy bajo

( p →0) .

Siendo lambda ( λ ¿ , media o promedio de éxitos por unidad de tiempo (e) criterio de Euler. Función de probabilidad.

p (x ) =

λ x e−λ X!

e = 2,7182 X = 2 como variable aleatoria.

p (x ) =

( 3 ) (2,7182 )−3 λ x e−λ =p ( x ) = 2! X!

p (x ) =

λ x e−λ ( 3 )( 0.04988 ) = =0,1496 X! 1

p (x ) =

( 1 ) (0.04988 ) λ e =0,0499 = 1 X!

2

x

−λ

=

( 9 ) (0.04988 ) =0,2245 2

Probabilidad=0,2245+ 0,1496 + 0,0499 =0,424 0,424∗100 %=42,4 % Probabilidad=42,4 % R/ La probabilidad en la que en una semana gane menos de 3 amigos seria. Del 42,2 % 2-Primero determinamos que la semana tiene 7 días que del total de un 100% sería igual a 0,14964

p (x ) =

λ x e−λ ( 3 )( 0.04988 ) =0,14964 = 1 X!

La probabilidad de conseguir al menos un amigo es:

0,14964 =0,0214 7 0,0214∗100 %=2,14 % Probabilidad=2,14 %

Ejercicio 3. Distribución Hipergeométrica. c. En un estante de supermercado, hay 45 paquetes de cereales. Entre estos, hay cinco paquetes que vencen en menos de una semana. Camila compra cuatro paquetes de cereales al azar y tiene la intención de consumirlos después de una semana, ya que ella tiene otro paquete de cereales en casa. 1) ¿Cuál es la probabilidad de alguno de los cuatro paquetes que ella compró tenga su fecha de vencimiento en menos de una semana, (es decir que estén vencidos cuando ella los piense consumir)?

Desarrollo. 1- Desarrollo.

1-

5 45 − 5 ( 1 )( 4 −1) (5 )(9,880 ) =0,3315∗100 %=33,15 % Z 1= = (148,995) 45 (4)

5 45 −5 ( 2)( 4 −2) ( 10 ) (780 ) =0,0523∗100 %=5,23 % Z 2= = (148,995) 45 (4) 5 45 −5 ( 3)( 4 −3) ( 10 )(40 ) =0,002684∗100 % = 0,26 % Z 3= = (148,995) 45 (4) 5 45 −5 ( 4 ) ( 4 −4) ( 5 )(1 ) =0,000033∗100 %=0,0033 % Z 4= = (148,995) 45 (4 ) La probabilidad de que al menos uno de los paquetes comprados tenga la fecha de caducidad dentro de una semana es:

( Prb 1+ Prb 2+ Prb 3+ Prb 4)=33,15+5,23+ 0,26+0,0033=38,6433% R/

Probabilidad=38,6433 %

2) ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima semana, cuando ella esté lista para consumir los cereales todos estén vencidos? Pendiente.

Ejercicio 4. Distribución Normal. c. En cierta población humana el nivel de colesterol en la sangre (medido en mg dl − 1) sigue una distribución normal con media � = 220 y desviación estándar � = 40. 1) Encuentre el porcentaje de personas en esa población con un nivel de colesterol entre 200 y 260. Desarrollo.

1- Una variable continua x, que tiene la distribución con forma de campana.

De la anterior figura, se denomina variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de dos parámetros ( μ y σ ¿ .Su medida y su desviación estándar .de aquí denotamos los valores de la densidad de X con

n(x ; μ , σ) Pob1=

x−μ 200 −220 −20 = = =0,5 40 σ 40

Pob2=

x−μ 260 −220 −40 =1 = = 40 40 σ

Como observamos en la gráfica 0,5328*100% = 53,28% R/ El porcentaje de personas con un nivel de colesterol entre (200 y 260) sería del 53,28%

pob1=−3,1 x−μ x−220 =−3,1 = 40 σ X = (−3,1∗40 ) +220=−124+220=96

2- Par un 10% de la población así.

El nivel de colesterol en sangre del 10% de las personas se encuentra en 96 C.Enunaempr es ade20empl eados ,15sonhombr es .Si s et omaunamues t r aal eat or i ade12 empl eados .¿Cuálesl apr obabi l i daddeenc ont r arenl amues t r a: 1.Comomáx i mo3muj er es . 2.Al menosdosmuj er es...