MA145 Intervalo de confianza - Cuaderno de trabajo Solución PDF

Preview

Summary

Download MA145 Intervalo de confianza - Cuaderno de trabajo Solución PDF

Description

Unidad 1: Estimación y Pruebas de hipótesis Tema: Intervalos de confianza Bibliografía: Triola, M. (2013). Estadística. 11va. Edición. Pearson Educación, México, D.F. Capítulo 7. Sección 7.1, 7.2 y 7.4 Montgomery, D. y Runger, G. (2005) Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. México, D.F.: Limusa Wiley. Capítulo 8. Sección 8.3 y 8.5

▪ ▪

Conocimientos previos Actividad estudiante con profesor

•

Relaciona con una línea los conceptos de la izquierda con las notaciones de la derecha: Media muestral

µ

Media poblacional Varianza muestral

𝑝

𝑥

Varianza poblacional Nivel de confianza Proporción poblacional Proporción muestral

1−𝛼 𝜎2 S

𝛼 P

S2 •

Si la variable diámetro de los tubos de acero se distribuye normalmente con media 3 y variación de 0.25 pulgadas. Si selecciona un tubo al azar, la probabilidad de que su diámetro supere los 3.1 pulgadas es: X: diámetro de los tubos en pulgadas X distribuyen N (µ =3; 𝜎 2 =0.252)

P (X > 3.1) = P (Z >

3.1 - 3 ) 0.25

= P (Z > 0.4) = 1 - P (Z ≤ 0.4) = 1 - 0.65542 = 0.34458

•

Halle los valores de la tabla normal Z, tabla T-Student y tabla F-Snedecor

Z0,95 =

1,64

Z0,025 =

-1,96

Z0,99 =

2,33

Z0,01 =

-2,33

T (0,025;15) =

2,1315

T (0,975;15) = -T (0,025; 15)

-2,1315

(Por simetría)

T (0,05;12) =

1,7823

F (0,025;3;5) =

7,76 1

F (0,975;3;5) = F (1 - 0,0975 = 0,,025, 5,3)

=

F (0,01;5;4) =

15,52

(Propiedad de la F)

1 14,88

= 0,0672

Use las tablas estadísticas: • Tabla Normal (Cola izquierda=Acumulada) • Tabla T-Student (Cola derecha) • Tabla F-Snedecor (Cola derecha)

Conceptos básicos (después de revisar la infografía) Fórmulas para hallar el intervalo de confianza para una media y para una proporción, a partir de la distribución de la media y la proporción muestral. La variable aleatoria t sigue una distribución T con n-1 grados de libertad (Formulario pg. 5): −𝝁 𝒙 ~𝑻(𝒏 − 𝟏) 𝒕=𝑺 ⁄ 𝒏 √

Esto significa que para una variable aleatoria 𝑥 , con un tamaño de muestra n, se cumple:

P (−t α/2 ≤

x − μ ≤ −t α/2) = 1 − α S⁄ √n

1-α α/2

α/2

-T

0

T

Finalmente, despejando µ, se obtiene la fórmula para el IC de la media poblacional

P (x - tα ⁄2 .

S √n

≤ μ ≤ x + tα⁄2.

S ) √n

=1-α

Intervalo de confianza de µ, cuando σ es desconocida

De manera similar para la proporción, el intervalo de confianza se deduce a partir de la distribución de la variable aleatoria z que sigue una distribución normal. La fórmula del IC de la proporción se deduce a partir del requisito que la distribución de proporciones muestrales que es aproximadamente normal, donde x sigue una distribución binomial (n,p). Finalmente, la fórmula del IC para la proporción es:

P (p - z1-α ⁄2 .√

p (1 - p ) n

≤ P ≤ p + z1-α⁄2 .√

Intervalo de confianza de P

p (1 - p ) n

) = 1-α

Casos de aplicación Caso: Desafíos laborales y personales Los últimos estudios destacan que los empresarios consideran que el éxito de asumir un rol ejecutivo no solo depende de su desempeño sino principalmente con la forma de enfrentar la labor diaria, efectivizando la administración del tiempo.

En el CADE 2019, se encuestó a una muestra al azar de 500 ejecutivos, y se indagó sobre la principal competencia que tiene un ejecutivo actualmente, obteniendo los siguientes resultados:

Cantidad de ejecutivos

Distribución de los ejecutivos según competencia principal

225 Capacidad de realizar tareas en paralelo

100

95

60

20

Empatía y calidez

Eficiencia en la administración del tiempo

Pasión y dedicación

Otro

Principal competencia

La consultora Potencial Global planea impartir un diplomado sobre “gestión del tiempo” porque observando estos resultados afirma que menos del 25% del grupo de ejecutivos consideran que la eficiencia en la administración del tiempo es la principal competencia que tienen los ejecutivos de hoy. ¿Es correcto lo que afirma la consultora? Para sus estimaciones considere el nivel de confianza del 95%. Interpretación Representación

Cálculo

¿Se debe recomendar el diplomado sobre “gestión del tiempo”? o Determinar si se debe recomendar el diplomado sobre “gestión del tiempo” X: Número de ejecutivos consideran que la eficiencia en la administración del tiempo es la principal competencia que tienen los ejecutivos de hoy P: Proporción de ejecutivos consideran que la eficiencia en la administración del tiempo es la principal competencia que tienen los ejecutivos de hoy P (𝐩 − 𝐳𝟏−𝛂 ⁄𝟐 . √

) 𝐩(𝟏−𝐩

= = 𝒑 𝒙

𝒏

𝟗𝟓

𝟓𝟎𝟎

=0.19

𝐄 = 𝐳𝟏−𝛂⁄ 𝟐. √

Análisis

Argumentación

) 𝒑(𝟏−𝒑 𝒏

𝐧

≤ 𝐏 ≤ 𝐩 + 𝐳𝟏−𝛂⁄𝟐. √

𝐩(𝟏−𝐩 ) ) 𝐧

= 1 – α = 0.95 (dato)

1 – α = 0.95 → α = 0.05 Z1 – α/2 = Z 0.975 = 1.96

= 𝐳𝟎.𝟗𝟕𝟓 . √

𝟎.𝟏𝟗(𝟏−𝟎.𝟏𝟗) 𝟓𝟎𝟎

= 𝟏. 𝟗𝟔. √

𝟎.𝟏𝟗(𝟏−𝟎.𝟏𝟗) 𝟓𝟎𝟎

= 𝟎. 𝟎𝟑𝟒𝟒

0.1900 - 0.0344 ≤ P ≤ 0.1900 + 0.0344 0.1556 ≤ P ≤ 0.2244 IC95%(P) = [0.1556, 0.2244] Con un 95% de nivel de confianza, el intervalo 15.56% a 22.44% contiene a la verdadera proporción de ejecutivos que consideran que la eficiencia en la administración del tiempo es la principal competencia que tienen los ejecutivos de hoy. Si se puede afirmar que menos del 25% del grupo de ejecutivos consideran que la eficiencia en la administración del tiempo es la principal competencia que tienen los ejecutivos de hoy, porque todo el intervalo es menor al 25%. IC95%(P) = [0.1556, 0.2244] 30 IC para una media con varianza conocida • La muestra es aleatoria simple. • El valor de la desviación estándar poblacional 𝜎 es conocido. Cualquiera o ambas de estas condiciones se satisfacen: la población está normalmente distribuida o n >30....