Marco Teórico Catapulta PDF

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Marco Teórico de la catapulta ...

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Contenido Definición de Dinámica..............................................................................................2 Cinemática.............................................................................................................2 Cinética..................................................................................................................2 Parámetros de definición del movimiento..................................................................2 Posición..................................................................................................................2 Desplazamiento......................................................................................................2 Velocidad................................................................................................................3 Aceleración.............................................................................................................3 Movimiento curvilíneo general...................................................................................4 Posición..................................................................................................................4 Desplazamiento......................................................................................................4 Velocidad................................................................................................................4 Aceleración.............................................................................................................5 Movimiento curvilíneo con componentes rectangulares........................................5 Posición..............................................................................................................5 Velocidad............................................................................................................5 Aceleración.........................................................................................................6 Movimiento de un proyectil....................................................................................6 Movimiento horizontal.........................................................................................7 Movimiento vertical.............................................................................................7 Movimiento curvo: componentes normal y tangencial...........................................7 Movimiento plano...............................................................................................8 Velocidad............................................................................................................8 Segunda Ley de movimiento de Newton.................................................................10 Ecuaciones de movimiento..................................................................................10 Trabajo y energía.....................................................................................................11 Trabajo de una fuerza..........................................................................................11 Trabajo realizado por la fuerza de gravedad.......................................................11 Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte o muelle..........................12 Principio de trabajo y energía..............................................................................13 Fuerzas conservadoras y energía potencial...........................................................14

Fuerza conservadora...........................................................................................14 Energía.................................................................................................................14 Energía potencial elástica....................................................................................14 Referencias..............................................................................................................15

Definición de Dinámica Para comenzar, es necesario definir qué es la Dinámica, la cual nos aporta las herramientas para el análisis del presente proyecto. Principalmente, incluye:

Cinemática Según la describen Beer y Johnston en su libro “Mecánica vectorial para ingenieros”, la cinemática corresponde al estudio de la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento.

Cinética Los autores antes mencionados describen a la cinética como ‘el estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. Además, ‘La cinética se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento específico.’ [ CITATION Bee10 \l 2058 ]

Parámetros de definición del movimiento La cinemática de una partícula se caracteriza al especificar, en cualquier instante, su posición, velocidad y aceleración. Toda la siguiente información es extraída de[ CITATION Hib10 \l 2058 ].

Posición La trayectoria de una partícula se definirá por medio de un solo eje de coordenadas s. El origen O en la trayectoria es un punto dijo, y a partir de él se utiliza la coordenada de posición s para especificar la ubicación de la partícula en cualquier instante dado. La magnitud de s es la distancia de O a la partícula, por lo general medida en metros (m) o pies (ft) y su signo algebraico define el sentido de su dirección. Se debe tomar en cuenta que la posición es una cantidad vectorial puesto que tiene tanto magnitud como dirección.

Desplazamiento El desplazamiento de la partícula se defino como el cambio de su posición. Cuando la partícula se mueve de un punto a otro, el desplazamiento es ∆ s =s ' −s El desplazamiento de una partícula también es una cantidad vectorial, y debe distinguirse de la distancia que recorre la partícula. Específicamente, la distancia recorrida es un escalar positivo que representa la longitud total de la trayectoria a lo largo de la cual viaja la partícula.

Velocidad Si la partícula recorre una distancia ∆s durante el intervalo ∆, su velocidad ∆s . Mientras más pequeños sean promedio durante este intervalo es Vprom= ∆t los valores de ∆t, la magnitud de ∆s será más reducida. Debido a esto, la ∆s ds velocidad instantánea es un vector definido como v = lim o v= . Como dt ∆t→0 ∆ t ∆t o dt siempre es positivo, el signo utilizado para definir el sentido de la velocidad es el mismo que el de ∆s o ds.

Aceleración Siempre se conoce la velocidad de la partícula en dos puntos, su aceleración ∆v promedio durante el intervalo ∆t se define como a prom = . Aquí, ∆v representa ∆t la diferencia de la velocidad durante el intervalo ∆t, es decir, ∆ v =v ' − v . En el instante t, la aceleración instantánea es un vector que se determina al tomar avalores cada vez más pequeños de ∆t y valores cada vez más pequeños dv ∆v , o a= correspondientes de ∆v, de modo que a= lim dt ∆t→0 ∆ t

Tanto la aceleración promedio como la instantánea pueden ser positivas o negativas. En particular, cuando la partícula afloja el paso, o su rapidez se reduce y se dice que está desacelerando. En este caso, v’ en la figura es menor que v, de

modo que ∆ v =v ' − v será negativa; por consiguiente, a también será negativa y por lo tanto actuará a la izquierda, en el sentido opuesto a v. Por último, se puede obtener una importante relación diferencial que implica el desplazamiento, la velocidad y la aceleración a lo largo de la trayectoria si eliminamos la diferencia de tiempo dt entre las ecuaciones anteriores, lo cual da a ds=v dv

Movimiento curvilíneo general En su libro “Ingeniería mecánica. Dinámica”, Hibbeler menciona que “el movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva.”

Posición Considerando una partícula situada en un puto de una curva espacial definida por la función de trayectoria s(t). El vector de posición r = r(t) designará la posición de la partícula, medida con respecto al punto fijo O. (Fig. a)[CITATION Hib10 \l 2058 ]

Desplazamiento Suponga que durante un breve intervalo ∆ t la partícula se mueve una distancia ∆ s a lo largo de la curva a una nueva posición, definida por r ' =r + ∆ r . (Fig. b). El desplazamiento ∆ r representa el cambio de posición de la partícula y se determina mediante una resta vectorial, es decir [ CITATION Hib10 \l 2058 ]

'

∆ r =r −r .

Velocidad Durante el tiempo ∆ t , la velocidad promedio de la partícula ∆r . La velocidad instantánea se determina con es Vprom= ∆t esta ecuación cuando ∆ → 0 , y por consiguiente la dirección de ∆ r tiende la tangente a la curva. Por consiguiente, ∆ r o, d r . Como dr será tangente a la curva v = lim v= dt ∆t→0 ∆ t (Fig. c), la dirección de v, conocida como la rapidez, se obtiene al tener en cuenta que la longitud del segmento de línea recta ∆ r en la Fig. b tiende la longitud de

ds . Por tanto, la rapidez se dt obtiene la diferencia la función de la trayectoria s con respecto al tiempo. [ CITATION Hib10 \l 2058 ]

arco

∆s

a medida que

∆ t →0, tenemos

v=

Aceleración Si la velocidad de la partícula es v en el instante t y ' v =v +∆ v en el instante t+ ∆ t , (Fig. d), entonces la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo ∆v ∆ t es a prom = , donde ∆ v =v ' − v . Para obtener la ∆t 0 en la aceleración instantánea, se hace que ∆ t → ecuación anterior. En el límite ∆ v tenderá la tangente a la dv . hodógrafa y por tanto a a= dt Por definición de la derivada, a actúa tangente a la hodógrafa (Fig. f), y, en general no es tangente a la trayectoria del movimiento (Fig. g) [ CITATION Hib10 \l 2058 ].

Movimiento curvilíneo con componentes rectangulares En ocasiones, el movimiento de una partícula puede describirse mejor a lo largo de una trayectoria que pueda expresarse en función de sus coordenadas, x,y,z. [ CITATION Hib10 \l 2058 ] Posición Si la partícula está en el punto (x,y,z) de la trayectoria curva s mostrada en la Fig. a, entonces el vector de posición define su posición r=x i+ y j+ z k . Cuando lo partícula se mueve los componentes x, y, z de r serán funciones del tiempo, es decir, x=x ( t ) , y = y ( t ) , z=z (t) , de modo que r=r (t) .

Velocidad La primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la velocidad de la dr d d d partícula. Por consiguiente, v = = ( x i ) + ( y j )+ ( z k ) . Cuando se toma esta dt dt dt dt derivada, es necesario tener en cuente tanto la magnitud como la dirección de cada uno de los componentes vectoriales. Por ejemplo, la derivada del d di d ( x i ) = i+ componente i de r es . El segundo término del lado derecho es dt dt dt cero, siempre que el marco de referencia x, y, z esté fijo y por consiguiente la dirección (y la magnitud) de i no cambie con el tiempo. La diferenciación de los componentes j y k se realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado dr final, v = =v x i+v y j+ v z k . dt

Aceleración La aceleración de la partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al dr (o la segunda derivada con tiempo de la ecuación v = =v x i+ v y j+ v z k dt dv respecto al tiempo de la posición). Tenemos a= =a x i+a y j+a z k , donde ax, ay, dt az representan la segunda derivada de la posición en cada una de sus componentes.

Movimiento de un proyectil Hibbeler explica, ‘el movimiento de vuelo libre de un proyectil a menudo se estudia en función de sus componentes rectangulares.’ Este análisis cinemático se puede ilustrar de la siguiente manera, considere un proyectil lanzado en el punto (x 0, y0), con una velocidad inicial de v 0, cuyas componentes son (v0)x y (v0)y. Cuando se hace caso omiso de la resistencia del aire, la única fuerza que actúa en el proyectil es su peso, el cual hace que el proyectil tenga una aceleración dirigida hacia abajo constante de aproximadamente 9.81 m 2 ac =g= 2 g=32 pies /s . s o [ CITATION Hib10 \l 2058 ] Movimiento horizontal Como ax = 0, la aplicación de las ecuaciones de aceleración constante resulta t c

v =v 0 +a ; x=x 0 + v 0 t+

v (¿¿ 0) v x =¿ 1 2 t ; 2c

v = v +2 ac ( x −x 0) ; 2

2 0

x

x = x 0 +( v 0) v (¿¿ 0) v x =¿

t

x

x

La primer y última ecuación indican que el componente horizontal de la velocidad siempre permanece constante durante el movimiento.[ CITATION Hib10 \l 2058 ]. Movimiento vertical Como el eje y positivo está dirigido hacia arriba, entonces a y =−g . Al aplicar las ecuaciones de aceleración constante, obtenemos

v (¿¿ 0) y−¿ v y =¿

v =v 0 +a c t ; 1

2

y = y 0 + v 0 t + 2 ac t ; 2

2 0

v = v +2 ac ( y− y 0 ) ;

y

y = y 0 +( v 0 ) t− 12g t 2 v (¿¿ 0) y −2 g( y − y 0) v 2y =¿ 2

La última ecuación puede formularse con base en la eliminación del tiempo t de las dos primeras ecuaciones, y por consiguiente sólo dos de las tres ecuaciones anteriores son independientes entre sí. *Esto supone que el campo gravitatorio terrestre no varía con la altitud. [ CITATION Hib10 \l 2058 ] En resumen, los problemas que implican el movimiento de un proyectil pueden tener cuando mucho tres incógnitas, puesto que sólo pueden escribirse tres ecuaciones independientes, es decir, una ecuación en la dirección horizontal y dos en la dirección vertical. Una vez obtenidas vx y vy, la velocidad resultante v, la cual siempre es tangente a la trayectoria, se determina por medio de la suma vectorial. Se puede observar que las ecuaciones que definen las coordenadas x y y de un proyectil en cualquier instante son las ecuaciones paramétricas de una parábola. Por lo tanto, la trayectoria de un proyectil es parabólica. Sin embargo, este resultado deja de ser válido cuando se toma en cuenta la resistencia del aire o la variación con la altura de la aceleración de la gravedad. [ CITATION Bee10 \l 2058 ]

Movimiento curvo: componentes normal y tangencial Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t, los cuales actúan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tiene su origen localizado en la partícula.[ CITATION Hib10 \l 2058 ] Movimiento plano Considere la partícula de la figura a, la cual se desplaza en un plano a lo largo de una curva fija, de modo que en un instante dado está en la posición s, medida con respecto al punto O. A continuación, consideraremos un sistema de coordenadas con su origen en un punto fijo de la curva, y en el instante

considerado este origen coincide con la ubicación de la partícula. El eje t es tangente a la curva en el punto y es positivo en la dirección de s creciente. Designaremos esta dirección positiva con el vector unitario ut. Sólo puede haber una opción única para el eje normal ya que geométricamente la curva está formada por una serie de segmentos de arco diferenciales ds (Fig. b). Cada segmento está formado por el arco de un círculo asociado con un radio de curvatura ρ (rho) y centro de curvatura O’. El eje normal n es perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura O’, (Fig. a). Esta dirección positiva, la cual siempre está en el lado cóncavo de la curva, será designada por el vector unitario un. El plano que contiene los ejes n y t se conoce como plano abrazador y osculante y en este caso está fijo en el plano del movimiento. [ CITATION Hib10 \l 2058 ] Velocidad Como la partícula se mueve, s es una función del tiempo. La dirección de la velocidad v de la partícula siempre es tangente a la trayectoria (Fig. c), y su magnitud se determina por la derivada con respecto al tiempo de la función de la trayectoria s=s (t) , es ds v= decir , por consiguiente v =v ut , donde dt v =´s . Aceleración La aceleración de la partícula es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Por tanto, a=´v +´v ut + v u´ t Para determinar la derivada con respecto al tiempo u´ t observe que a medida que la partícula se desplaza a lo largo del arco ds en el tiempo dt, ut conserva su magnitud de la unidad, sin embargo, su dirección cambia y se vuelve u 't (Fig. d). Como se muestra en la Fig. e, requerimos u 't =ut + d ut .En este caso d ut se extiende entre las puntas de flecha de ut y u ' t , las cuales quedan en un arco infinitesimal de radio ut =1 . Por consiguiente, d ut tiene una magnitud de d ut= (1 ) dϴ y un define su dirección. En d ut=d ϴ un , y por consiguiente, la consecuencia, ´u . derivada con respecto al tiempo se vuelve u´ t =ϴ n ´ ´s , y por tanto u´ =ϴ ´ u = ´su = vu . Al Como ds = pdϴ , (Fig. d) entonces ϴ= n p n p n t p sustituirse en la ecuación a=´v + ´v ut + v ´ut , a se escribe como la suma de sus dos componentes,

a =at u t +an un , donde at =´v y

an =

v2 . p

Estos dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en la figura f. [ CITATION Hib10 \l 2058 ] Si la partícula se mueve a lo largo de una curva con una velocidad constante, v 2 . Por consiguiente, la componente normal de la p aceleración representa el cambio en la dirección de la velocidad. Como an siempre actúa hacia el centro de la curvatura, esta componente en ocasiones se conoce como la ‘aceleración centrípeta’ (o que busca el centro). entonces at =´v =0

y

a=an =

A consecuencia de esta representación, una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva en la siguiente figura tendrá una aceleración como se muestra. [ CITATION Hib10 \l 2058 ]

Segunda Ley de movimiento de Newton La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante. La segunda ley de movimiento de Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente experimento: una partícula se somete a una fuerza F1 de dirección constante y magnitud constante F1. Bajo la acción de esa fuerza se observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la fuerza (Fig. a). Al determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se encuentra que su aceleración tiene una magnitud constante a 1. Si el experimento se repite con fuerzas F 2, F3, . . ., o de diferente magnitud o dirección (Fig. b y c), se descubre que cada vez que la partícula se mueve en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que las magnitudes a 1, a2, a3, . . ., de las

aceleraciones son proporcionales a las magnitudes F 1, F2, F 3, . . ., de las fuerzas F 1 F2 F 3 + + =…=constante . correspondientes: a1 a2 a3 El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitudes de las fuerzas y aceleraciones es característico de la partícula que se considera; se denomina la masa de la partícula y se denota mediante m. Cuando sobre una partícula de masa m actúa una fuerza F, la fuerza F y la aceleración a de la partícula deben satisfacer entonces la relación F=m a . d) Esta relación proporciona una formulación completa de la segunda ley de Newton; no sólo expresa que la magnitud de F y a son proporcionales, sino también (puesto que m es un escalar positivo) que los vectores F y a tienen la misma dirección (Fig. d). Debe advertirse que la ecuación F=m a sigue cumpliéndose cuando F no es constante, sino que con el tiempo varía de magnitud o dirección. Las magnitudes de F y a permanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la misma dirección en cualquier instante determinado. Sin embargo, en general, no son tangentes a la trayectoria de la partícula. Cuando una partícula se somete de manera simultánea a varias fuerzas, la ecuación F=m a debe sustituirse por ∑ F=m a donde ∑ F representa la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. [ CITATION...