Master Économie du risque et de l\'incertain PDF

Preview

Summary

Cours de master en économie du risque et de l'incertain, cours de Monsieur Congar...

Description

Économie du risque et de l’incertain La décision dans le risque 1. Remises en cause expérimentales et défense normative Des expériences réalisées par des économistes et psychologues montrent que dans un certain nombre de situation, les individus feront des choix incompatibles avec ceux prédits par le modèle d'espérance d'utilité. Le premier exemple a été proposé par M. Allais(1953). 1.1. Le paradoxe de Allais Il est proposé aux sujets de choisir entre les loteries suivantes: • L1: gagner $1 000 000 avec certitude • L2: gagner $5 000 000 avec une probabilité de 0,10, $1 000 000 avec une probabilité de 0,89 ,et $0 avec une probabilité de 0,01. On lui demande également de choisir entre ces deux loteries: • L3: gagner $5 000 000 avec une probabilité de 0,10 et $0 avec une probabilité de 0,90 • L4: gagner $1 000 000 avec une probabilité de 0,11 et $0 avec une probabilité de 0,89 La décision la plus courante est L1 > L2 et L3 > L4. Si les sujets préfèrent L2 à L1, alors ils préfèrent L4 à L3. Il existe une fonction d'utilité U qui correspond à ce sujet telle que: U(1 000 000) > 0,10.U(5 000 000) + 0,89.U(1 000 000) + 0,01.U(0) Aucune fonction d'utilité U ne permettrait d'expliquer les choix en terme d'espérance d'utilité de l'individu. Soit P la loterie qui donne $1 000 000 avec certitude, P' celle qui donne $5 000 000 avec une probabilité 0,10/0,11 et $0 avec une probabilité 0,01/0,11, P'' qui est celle qui donne $1 000 000 avec certitude, P''' celle qui donne $0 avec certitude. On peut écrire: • L1 = 0,11P + 0,89P'' • L2 = 0,11P' + 0,89P'' • L3 = 0,11P + 0,89P''' • L4 = 0,11P' + 0,89P''' Le choix entre L1 et L2 doit être fondé sur ce qu'il y a de différent entre les deux loteries. Les enseignements importants du paradoxe de Allais sont: • les sujets ne combinent pas utilité et probabilité des conséquences de manière linéaire(comme un calcul d'espérance) • systématiquement, les individus ont un comportement en contradiction avec l'axiome d'indépendance Les méthodes MCV et MPV sont théoriquement variables. La MCV est très sensible à la probabilité de référence en laboratoire. On a une fonction d'utilité estimé par la méthode de probabilité variable au-dessus de celle estimé par la méthode de la conséquence variable.

Pour la méthode de la conséquence variable plus la probabilité de référence est élevée, plus la fonction d'utilité se déplace vers le haut. La probabilité a une influence sur la fonction d'utilité obtenue. En conclusion de cette étude, celleci indique une dépendance de la fonction d'utilité à la probabilité utilisée contrairement à ce que suppose la théorie de l'espérance d'utilité. 1.2. Les travaux en psychologie expérimentale 1.2.1. Le renversement des préférences Le problème de renversement des préférences remet en cause toute l'approche économique de la décision dans le risque. On peut le résumer par l'expérience de Lichenchtein et Slovic(1971). On propose aux individus deux types de loterie: • LP: gagner $X de probabilité p et $x de probabilité 1-p • L$: gagner $Y de probabilité q et $y de probabilité 1-q Une des loteries donne un gain faible avec une probabilité élevée(LP) et l'autre qui donne un gain élevé avec une probabilité faible(L$). L'équivalent certain d'une loterie est le montant pour lesquels ils sont indifférents entre participer à la loterie et recevoir avec certitude ce montant: U(C(L$)) = E[U(L$)] et U(C(LP)) = E[U(LP)] On demande à un premier groupe de sujet de comparer les deux loteries (LP > L$ est un choix). On demande à un deuxième groupe d'évaluer les deux loteries(prix): combien sont-ils prêts à payer pour acheter la loterie ou les vendre. Les résultats de cette expérience sont: • 75% préfèrent la loterie à la probabilité de gagner est plus forte: LP > L$ • les individus attribuent un prix plus élevé à la loterie L$ qu'à la loterie L$ (C$ > CP) La transitivité des préférences n'est pas respectée. Pour les psychologues, la théorie psychologique se base sur la base d'un calcul économique. Pour eux, cette expérience s'explique par un mode de réponse(faire un choix entre la loterie et en évaluer sont des processus distincts où l'individu se focalise sur la dimension la plus caractéristique de la situation qu'il a face à lui). On observe des problèmes de renversement des préférences en finance: on a remarqué que les investisseurs achetaient des titres qu'ils avaient cédé dans le passé. 1.2.2. Effets de cadrage Deux situations logiquement équivalentes présentées de manière différentes peuvent induire des comportements différents. Le cadre de décision a une influence sur la décision prise par l'agent. Prenons un exemple de Kahneman et Tversky(1979) où on subdivise notre population en deux groupes: • population 1(P1): on vous donne $1000 et on vous propose ensuite de choisir entre une loterie qui peut vus faire gagner $1000 ou ne rien gagner ni rien perdre avec des probabilités égales et un gain certain de $500. Quel est votre choix ? • population 2(P2): on vous donne $2000 et on vous propose ensuite de choisir entre une loterie qui peut vous faire perdre $1000 ou ne rien gagner ni rien perdre avec des probabilités égales, et une perte certaine de $500. Quel est

votre choix ? En terme d'espérance d'utilité, on doit comparer 0,5.U(2000)+0,5.U(1000) et U(1500). Dans le choix P1, on préfère un gain certain à un gain incertain et dans le choix P2, on préfère une perte incertaine qu'une perte certaine. On a donc une aversion pour le risque dans le domaine des gains et un goût pour le risque dans le domaine des coûts. Kahmenan et Tversky(1979,1981) proposent une autre expérience. Imaginons que les États-Unis se préparent contre une épidémie d'un virus asiatique jusqu'à présent inconnu dont on s'attend à ce qu'il fasse 600 morts. Deux programmes sont envisageables pour lutter contre cette épidémie. • on propose à un premier groupe de choisir entre les deux programmes suivants: si le programme A est adopté, 200 personnes survivront et si le programme B est adopté, il y a une probabilité de 1/3 que les 600 individus soient sauvés et 2/3 qu'aucun individu ne soit sauvé • on propose à un deuxième groupe de choisir entre les deux programmes suivants: si le programme C est adopté, 400 personnes mourront et si le programme D est adopté, il y a une probabilité de 1/3 que personne ne meure et 2/3 que tous meurent Le premier programme est présenté en terme de survivants et le deuxième en terme de morts. On retrouve ces deux phénomènes: • dans le gain, on préfère le certain à l'incertain • dans la perte, on préfère l'incertain au certain Dans le domaine de risque financier, lorsque le marché est à la baisse, les investisseurs ont tendance à valoir augmenter le risque et inversement quand le marché est à la hausse. 1.2.3. Défense normative de l'axiome d'indépendance Il est impossible en pariant avec un agent de lui faire perdre de l'argent à coup sûr. Supposons que L > L' et d'autre part L > L'', par l'axiome d'indépendance: 1 1 1 1 L +2L > 2L' + L 2 2

1

1

L > L + L' 2 2 1 2

1

1

1

L + L' > L'' + L' par transitivité 2 2 2 1

1

L >2L'' + L' = M 2 M est la loterie composée de L' et L''. Supposons un agent qui viole l'axiome d'indépendance dans le sens où L > L' et L > L'' et M > L. L

- X or X DS1Y Dans le modèle de Handa, on peut prendre une décision qui va au-delà du minimum de rationalité. 2.2. La « Prospect Theory » de Kahneman et Tversky Le modèle de la Prospect Theory(Kahneman et Tversky,1979) a été le plus cité dans la littérature économique de 1975 à 2000. Il est basé sur deux fonctions: une fonction de perception des probabilités ϕ(pi) et une fonction de valeur v(gi): V(x) = Σ ϕ(pi).v(gi) Le point de référence est la richesse initiale de l'agent: • l'aversion aux pertes signifie que le décideur sera plus sensible à une perte à

un moment donné qu'à un gain du même montant. De plus, l'ajout des gains diminue plus rapidement à mesure que les gains augmentent • l'effet de certitude nous dit qu'un agent va avoir une aversion dans le domaine des gains(il va préférer un gain certain à un gain incertain) alors que dans le domaine des pertes, l'agent manifeste un goût pour le risque(il préfère une perte incertaine à une perte certaine) On a gi = x1 – x0 où x0 est la richesse finale et x1 la richesse de référence. v(gi) est alors la fonction d'évaluation des gains et pertes. --- probabilité objective(perçue) ϕ(0) = 0 ϕ(1) = 1

Les individus sous-estiment les petites probabilités et surestiment les larges probabilités. Le problème de ce modèle est qu'il viole la condition de dominance stochastique du premier ordre qui est une condition minimale. 2.3. Le3 modèle RDEU On se demande si on doit renoncer une déformation ϕ des probabilités, trait essentiel du comportement humain. 3 Si on prend U(3000) =4, alors ϕ(0,8) = 0,625 et ϕ(0,25) = 0,375 3

ϕ(0,2) > 0,375.4= 0,281 ϕ(0,2) = 0,328

Pour Quiggin(1982), ϕ doit 'appliquer aux probabilités décumulées(équivalent de la fonction de répartition) et U(x) = x dans son modèle. Yaari a élaboré le modèle dual où ϕ(F) et U(x) jouent un rôle dual. La synthèse de ces modèles est ce qu'on appelle le modèle RDEU(Rank Dependent Expected Utility)qui ont été amené de manière indépendante. 2.3.1. Formulation Soit x = (x1,p1 ; x2,p2 ; … ; xn,pn) dont les gains sont rangés par ordre croissant: x0 ≡ 0 < x1 < x2 < … < xn La fonction représentative des préférences du modèle RDEU s'écrit: Eφ[U(x)] = Σ φ (Σpi) [U(xi) - U(xi-1)] Ici, φ est une fonction croissante non nécessairement linéaire de transformation des probabilités et U est une fonction d'utilité croissante des gains avec ici par convention U(x0) = 0. 2.3.2. Pouvoir descriptif du modèle Considérons l'exemple de Kaneman et Tversky(1979):

• L1 = $3000 : 1 • L2 = $4000 : 0,8 et $0 : 0,2 • L3 = $3000 : 0,25 et $0 : 0,75 • L4 = $4000 : 0,2 et $0 : 0,8 On a L1 > L2 dans le premier choix et L3 < L4 dans le second. On montre que ces comportements sont incompatibles avec l'espérance d'utilité par contradiction. Supposons que ce comportement est compatible avec l'espérance d'utilité , alors il existe U telle que: E[U(L1)] > E[U(L2)] et E[U(L4)] > E[U(L3)] On pose U(4000) = 1 et U(0) = 0,alors: U(3000) > 0,8 et 0,2 > 0,25.U(3000) U(3000) < 0,8 d'où la contradiction Les comportements observés violent l'axiome d'indépendance. Montrons que l'ion peut rationaliser ces comportements avec le modèle RDEU: Eϕ[U(L1)] = ϕ(1).U(3000) = U(3000) ϕ(0,8) = Eϕ[U(L2)] = ϕ(1).U(0) + ϕ(0,8)[U(4000) – U(0)] ϕ(0,25).U(3000) = Eϕ[U(L3)] = ϕ(1).U(0) + ϕ(0,2)[U(3000) - U(0)] ϕ(0,2) = = Eϕ[U(L4)] = ϕ(1).U(0) + ϕ(0,2)[U(4000) – U(0)] On pose U(4000) = 1, U(0) = 0 et ϕ(1) = 1 U(3000) > ϕ(0,8) et U(3000) <

𝜑(0,2) 𝜑(0,25)

Ces deux inégalités ne sont plus nécessairement incompatibles, il est donc possible que: 𝜑(0,2) 1 > 𝜑(0,25)> U(3000) > ϕ(0,8) > 0 3 La décision dans l'incertain Dans l'incertain, le genre de décision est un pari: X = (x1, E1 ; x2, E2 ; … ; xn ,En) P: Ei → P(Ei) qui est a priori inconnue des décideurs E[ U(X) ] = Σ P(Ei) U(xi) Le décideur a souvent une information qualitative: Ei est plus probable que Ej: P(Ei) ≥ P(Ej) 1. Probabilités subjectives et espérance d'utilité dans l'incertain Les vues personnalistes posent que la probabilité mesure la confiance qu'un individu particulier a dans la véracité d'une proposition particulière, par exemple « il va pleuvoir demain ». Ces vues supposent que l'individu concerné est, d'une certaine manière, « raisonnable » mais elles n'interdisent pas la possibilité que deux individus raisonnables mis en face de la même réalité puissent avoir des degrés de confiance différents en la véracité de la même proposition(Savage, 1954).

Les propriétés sont les suivantes: • P(0) = 0(l'événement est incertain) et P(E) = 1(l'événement est certain) • additivité: A∩B ≠ 0, P(AᴗB) = P(A) + P(B), A∩Ac ≠ 0, AᴗAc = E, P(AᴗAc ) = P(A) + P(Ac) = 1 1.1. Notion de probabilité subjective Pour Ramsey, les probabilités subjectives sont liées au comportement de l'agent. Ramsey simplifie le problème et va supposer que les individus dans leur choix font un calcul d'espérance mathématique et l'existence d'utilité « si je suis indifférent entre recevoir 2 utiles si un événement se produit et 4 utiles, s'il ne se produit pas, c'est que j'attribue à la réalisation de cet événement une probabilité 2/3 »

X Y 2P(A) + 0P(Ac) = 0P(A) + 4P(Ac) P(A) = 2P(Ac) P(A) = 2 – 2P(A) car P(Ac) = 1 – P(A) 2 1 P(A) = et P(A) =

A

Ac

2 0

0 4

3

3

L'idée générale de De Finetti(1937) est la suivante: {Pluie} {Soleil}

{Autre}

{Pluie} 100 0 0 {Soleil} 0 100 0 Si je préfère parier sur la pluie plutôt que sur le beau temps, c'est que je considère qu'il est plus vraisemblable(ou plus probable) qu'il pleuve plutôt qu'il fasse beau. A partir des conditions de vraisemblance, De Finetti va montrer qu'il existe une fonction P telle que P(A) ≥ P(B) donc A est plus probable que B. Il pose la condition si on a deux événements A et B et un autre événement C tels que C∩A = 0 = C∩B(événements disjoints), si A est plus probable que B, alors AᴗC est plus probable que BᴗC. 1.2 Fondements axiomatiques On doit à Savage(1954) la construction la plus complète intégrant à la fois les probabilités subjectives et l'utilité des conséquences. Son analyse a pour primitive une relation de préférence sur les paris. Sous un certain nombre d'axiomes de comportement rationnel, il montre qu'il existe une mesure de probabilité subjective P sur les événements et une fonction d'utilité U de VNM sur les conséquences telles que: X ≥ Y → Ep[U(X)] ≥ Ep[U(Y)] où Ep[U(X)] représente l'espérance d'utilité subjective du pari X Il construit avec ces deux éléments une relation de vraisemblance sur les événements qui induit des propriétés qualitatives. Cela permet de représenter numériquement par une somme de probabilités la propriété d'additivité. Ainsi, on a une représentation du comportement pour une espérance d'utilité subjective Ep[U(X)] = Σ P(Aj) U(xj) Le principe de la chose sûre dit qu'on ne saurait changer la préférence entre deux décisions qui coïncident sur un domaine lorsque tout en coïncidant, on les modifie sur ce domaine. Probabilités

X Y X' Y'

0,01 {B}

0,89 {V}

0,1 {R}

$1M $0 $1M $0

$1M $1M $0 $0

$1M $5M $1M $5M

La construction d'un ordre de préférence induit sur les événements(A est plus vraisemblable que B) en utilisant des paris du type suivant sur les événements: Ac

A Bc XA $10 0 XB 0 0 XA ≥ XB donc A est plus vraisemblable que B.

B 0 0

0 0

0 $10

Les décisions X et Y coïncident sur certains événements(sortie d'une boule verte). Le principe de la chose sûre dit que si l'on modifie l'événement où X et Y coïncident, cela ne doit pas modifier la préférence. Cet axiome permet de construire un ordre de préférence qualitatif. 1.3 Remises en cause expérimentales Ellsberg(1961) a proposé deux expériences qui sont devenues fameuses: • le problème dit des deux couleurs: deux urnes contiennent chacune 100 billes où la première contient 50 billes rouges et 50 noires. La proportion de billes rouges et noires dans la seconde urne est totalement inconnue. Choisissez une urne et une couleur puis tirez une bille au hasard. Vous gagnerez alors $100 si la bille est de la couleur choisie et rien sinon. Quand on propose aux agents de parier sur l'urne 1, ils sont indifférents à la couleur: P(R1) = P(N1). Quand on regarde seulement l'urne 2, les agents sont indifférents à parier sur rouge ou noir. On en déduit qu'ils considèrent qu'il y a la même probabilité entre les deux couleurs. Tout le monde préfère que le tirage soit fait à partir de l'urne certaine plutôt que l'urne incertaine. On attribue donc P(R1) > P(R2) et P(N1) > P(N2). Dans cette expérience, on ne peut avoir une probabilité subjective qui représente le comportement des agents: P(R1) + P(N1) > P(R2) + P(N2) La propriété posant problème est l'additivité. • le problème dit des trois couleurs: une urne contient 300 billes de couleur: 100 des billes sont rouges et les autres 200 billes peuvent être bleues ou vertes On plonge la main dans l'urne et on choisit une bille au hasard. On propose les paris suivants: vous recevrez $100 si la bille choisie est d'une couleur déterminée. Préférez-vous que cette couleur soit rouge ou verte ? Vous recevez maintenant $100 si la bille choisie n'est pas d'une couleur déterminée, préférez-vous que cette couleur soit rouge ou verte ? Rouge Bleu

Vert

{rouge}

100

0

0

{vert}

0

0

100

{non vert}

100

100

0

{non rouge} 0 100 Rouge est préféré à vert pour la plupart des personnes et on a non rouge supérieur à non vert. Il préfère toujours parier où la probabilité est connue plutôt que sur un événement où la probabilité est incertaine. Supposons que ce comportement est compatible avec la théorie d'espérance d'utilité subjective. P(R).U(100) + P(Rc).U(0) = P(R) > P(V) Le premier choix est donc {rouge} > {vert} et le deuxième est {non rouge} préféré à {non vert}. De l'additivité des probabilités, P(Ac) = 1- P(A), 1 – P(R) < 1 – P(V) P(Rc) < P(Vc) d'où la contradiction avec le deuxième choix

100

En conclusion, il n'existe pas de maux de probabilité subjective additive qui permettent de décrire le comportement observé de cet agent. Les expériences d'Ellsberg remettent en cause que les agents que les

agents se comportent comme s'ils attribuent des probabilités subjectives aux événements en toutes circonstances et traduisent de l’ambiguïté(Snon, 2010): c'est l'incertitude qui porte sur les probabilités qui provient d'un manque d'information qui est pertinente et pourrait être connue. Il y a une forme d'incertitude particulière où les comportements des agents échappent à la théorie. Il faut donc distinguer différentes formes d'incertitude(cf Keynes et Knight). De plus, ces expériences mettent en évidence un trait fondamental au comportement humain: l'aversion à l’ambiguïté. 1.4 Ambiguïté et aversion à l’ambiguïté L’ambiguïté est une qualité qui dépend du montant, du type, de la fiabilité et de l'unanimité d'une information et qui donne lieu à un degré de confiance dans une estimation de ces probabilités relatives(Ellsberg, 1961). Arrow(1965) dans le théorème de la neutralité locale au risque dit qu'il existe un prix unique M qui est égal à l'espérance de rendement de l'actif tel que si le prix de marché est inférieur à ce prix M, l'agent va vendre des titres et si le prix est égal à M, l'agent va adopter une position neutre, s'il est inférieur, il va l'acheter. Un titre est une variable aléatoire qui prend 1 si l'événement A se produit et 0 sinon: X = (1,A ; 0, Ac). On distingue deux prix: • le prix d'achat du titre X(Bid) qui est le prix maximal B que le courtier est prêt à payer pour obtenir le titre: P(A) [1 – B] + P(Ac) [0 – B] = 0 B=

𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴𝑐 )

• le prix de vente du titre(ask price) est le prix minimum S demandé par l'agent pour vendre son titre. On trouve: P(A).1 + P(Ac).0 = S donc S = P(A) • Si la probabilité subjective additive P(A) + P(Ac) = 1, donc B = S(Arrow). • Si P(A) + P(Ac) ≠ 1 et que P(A) + P(A) > 1, μ(A) = 1 – [P(A)+P(Ac)] est le degré d’ambiguïté: plus A est ambigu, plus μ(A) sera important alors B ≤ S. Dow et Werlang(1992) montrent que si un titre est ambigu et que l'intervenant est averse à l’ambiguïté, il y aura un écart Bid/Ask positif. Il existe donc tout un intervalle de prix [B,S] tel que l'agent ne désir détenir aucune position dans cet actif, c'est-à-dire ni acheter ni vendre. L'aversion à l'ambiguïté permet de rationaliser des capacités d'absence d'échange sur le marché que l'on observe en situation de très forte incertitude. Les dépassements du paradoxe d'Ellsberg sont affaiblir la condition d'additivité de probabilité et le modèle multi-prior de Gilboa et Schmeidler 2. Renouvelleme...