MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA PDF

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Summary

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Description

----= ----~ ~ LKJIHGFEDCBA

M A T E M Á T IC A

A P L IC A D A VUTSRQPONMLKJIHGFED

À E C O N O M IA

E

-A D M IN IS T R A Ç A O

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utsrqponmlkjihgfedcba

I

UFRJ

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L..,\I. \.t \, .L\'J ll.»S

O ~l"li"; m: \H),-{\.:s ()o Preço'SRQPONMLKJIHGFEDCBA Q ~ G\)..\,\ ~ 7 pois - 2 - (-

~t pois

t - f = -ti,

e

C\ ,'t

7) = 5, e 5 é positivo

~

I 0 ',,-

:>

<

Uma

formal

às pro-

de intervalos:

sendo

uma

função

de x se há alguma

a um valor

de x. Exemplos

lei segundo

familiares

de tais

como (2)

(3)

-

preciso

o conceito

de

função.

de pares

podem

número

(2) define

um único

valor

o valor

de

dado

fé

5. A função

uma

r

segundo

garante função.

pode

que

r

a qual

Vamos

de todos

e o conjunto

duplas

seja único

de x por ele mesmo,

no qual

y)

O conjunto

duas

duplas

de todos

os

de todos

os valo-

distintas

não

função.

os pares

um valor

de f

sempre então

ordenadas

para

chamá-Ia

ser determinado,

o conjunto

número.

da função,

da

(x,

de números primeiro

d o m ín io

im a g e m

a restriçao

acima,

ordenados

ter o mesmo

especifico

A equação

que um valor

multiplica-se

aquele

podem

de x.

dá a regra

segundo

de x for dado;

isto é.

por 2 e adi-

produto

(x , v), tais que x e J' satisfaçam

ordenados

ou seja

(2):

J=

:(x . .\')I.\'=2x 2+5:

Os números O~

tome cui-

obedecem

+:., -::-o

de x é chamado

primeiro

multiplica-se

tais

de y é chamado

definição

ciona-se

não

admissíveis

A Equação

a qual

I

torna

distintas

res admissíveis

Na

;2.

é um conjunto

fu n ç ã o

ter o mesmo

eles não

função

ordenadas valores

tipos

pois

I

"

A definição

y como

de y correspondente

equações

-9

de

os seguintes

reais,

[a , b ).

todavia,

h:

7

Definição

números

o intervalo

negativo);

h:

valor

e

r=JX2

com

1.3.4 mostra (infinito

OC!

~ ({:

+5

2x2

Temos

consideramos

a qual existe

.\'=

símbolos

e -

1

(-Y .+ -f)= R

são

<

:xlx

= :\

positivo)

o:

1\

[x

e a Figura

(a , b ].

(infinito

OC!

reais.

[xix>

=

h) =

•

b

1 ,3 .3

A Figura dado

qponmlkjihgfedcbaZYX F i g u r a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ 1.3.4

a

b

(1

te. O domínio c a Imagem a função pode

x e y são v a r i á v e i s .

de y dependem

valores

da função

da função

Uma vez que os valores de x, x é chamada

é o conjunto

é o conjunto

de todos

de todos

f que estam os considerando,

ser denotado

d~~umlr é 5 (quando maiores

da escolha

ou

iguais

com x

=

a notação

de intervalos

O). A imagem

a 5. ou seja

[5,

+

os valores

os valores

o domínio

admissíveis

admissíveis

é o conjunto por

de f é, então. cc.).

da função Idependem

v a r iá v e l in d e p e n d e n te

(-

o: ,

da variável

+

dependen-

independente

dependente.

os números

co ). O menor de todos

de x, e como

r v a r iá v e l

da variável

de todos

o conjunto

e

valor

Para

reais e ele que

os números

r

pode

positivos

'r? 0 T - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ OJtsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I

..:r;2_1:1

Funções e seus Gráficos VUTSRQPO 23

Aj-')'?_9/7C •

X ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L /; ~ ?

ILUSTRAÇÃO" Seja

g=

Como

x

a função

g

que é o conjunto

os números

considerados

des, determina-se

g

a raiz quadrada

O domínio

li \

de

Deve riável

ser enfatiza

•

para

de gráfico

os quais

j

I

.I'

~

i ;;:- 3

de .v sornen

~ para

'~~

e então

não existe nenhum

ou .\ ~ - 3

~ as d sigualda~ . teremos

que

real \ Logo.

nurner

para

se ter uma da variável

função

de

e [O.

g

existir

deve

x

+

I

• /11I/

( '\ a { I J I I / , I I I ( '

no dorrumo

independente

I

a la r

da \ a-

tuncào

da

função o

de

g r á fic o

dupla

f

é o conjunto

de todos

pontos

(\,

r

I

em R : para

em I

ordenada

Um esboço os números os números

reais

seguinte.

uma

função

desde que para cada número

IL USTRAÇÃO

4

Seja g a função

que

3 ) se

1 se

y =

do gráfico

reais menores não

de f está na Figura

1.3.5. O domínio

ou iguais a 5, ou seja ( negativos.

que é [O .•

de

I

/ , 5] e a imagem de

t

I)

•

,

ilustração

-

é.

:

valor

~ :.

de' todos ,

•

1\

e

cada

então

de todos

é o conjunto Na

(3): isto

3

= : (x,.I')

e permitida,

é uma função

negativo

o que

é uma

y)

ILUSTRAÇÃO Seja

9

2 -

de uma

função.

(x.

é o conjunto

.I'

x . - 3] u [3. ~ x ) e a Imagem

é (-

g

Se f é uma

são os reais,

de um numero

J\

=

dependente

Definição

por

x. assim

restnngir

= :(x, Y

(,\, ,) defiruda

x ~ 3). pois para qualquer x satisfazendo uma e outra um único valor de r. Contudo, se .\ está no intervalo (-~,

(ou simplesmente

devemos

- ..I

ordenadas

)x2 -:-9 :

: ( \ . . 1 ') [ . 1 '

calcular

\ra. ,=

7/

das duplas

é o conjunto

das

é definida

x no domínio

duplas

por

mais

exista

ordenadas

de uma

equação.

Tal defirnção

um único valor para r na variação.

(x, j-),

tal que

x~ -1 ~ 1 < x~ 2

{ 4 O domínio e 4. Um

de

1

se

g

é (-

esboço

do

2< x x.,

+

gráfico

x ). enquanto está

na

que a imagem

Figura

de

consiste

g

dos três números

- 3. 1

1.3.6.

• li

).

~~

__

LI

_L-+__L-L-~~X -

1 1

I

I I

)x

F ig u r a

1.3.5 GFEDCBA

(

~

O

24

NÚMEROS

REAIS, GRÁFICOS

E FUNÇÕES zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI

yqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x = a

y

y

Figura 1.3.7

Figura 1.3.8

Observe, na Figura 1.3.6, que há uma interrupção que g é descontínua em - 1 e 2. As funções contínuas ção 2.3. e ILUSTRAÇÃO

Figura 1.3.9

em x = - 1 e outra em x = 2. Dizemos e descontínuas serão discutidas na Sec-

5

Consideremos

o conjunto

2

{(x ,y )lx + y 2 = 2 5 }

Um esboço do gráfico deste conjunto está na Figura 1.3.7. Este conjunto de duplas ordenadas não é uma função, pois para qualquer x no intervalo (- 5, 5) existem duas duplas ordenadas tendo aquele número como primeiro elemento. Por exemplo, (3,4) e (3, - 4) são duplas ordenadas do conjunto dado. Além disso, observemos que o gráfico do conjunto dado é um círculo com centro na origem e raio 5; uma reta vertical com equação x = a (onde - 5 < a < 5) e intercepta o círculo em dois pontos. Veja na figura. EXEMPLO gráfico de

SejaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h = { ( x , y ) I y = I x I}. Determine o domínio e a imagem de

1

Solução O domínio de h é (um esboço do gráfico de h . 2

EXEMPLO y

=

Determine

00,

+ 00)

e a imagem de

Seja F a função que é o conjunto

{3X x

h

e esboce um

Na Figura

1.3.8 temos

h.

2

2

é [O,

+ 00).

de todas as duplas ordenadas

x

se

1::; x e a imagem de

F

e esboce um gráfico de

x y = --

2

3 -

Seja G a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas 9

x-3 Determine

o domínio

y),

tal que

F.

Solução Um esboço do gráfico de F aparece na Figura 1.3.9. O domínio de F é e a imagem de F é (- 00, + 00). EXEMPLO

(x ,

< I

se

o domínio

h

e a imagem de G e esboce um gráfico de G.

(-

00,

(x , y ),

+

00)

tal que

Funções e seus Gráficos VUTSRQPO 25

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Um esboço do gráfico de G é dado na Figura 1.3.10. Uma vez que um valor para y é determinado para cada valor de x exceto x = 3, o domínio de G consiste de todos os números reais, exceto 3. Quando x = 3, ambos o numerador e o denominador são nulos e % não está definido. Fatorando o numerador em (x - 3)(x + 3) obtemos

S o lu ç ã o

y=

+ 3)

(x - 3)(x

(x - ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3)

ou y = x +. 3, desde que x = F3. Em outras palavras, a função G consiste de todas as duplas ordenadas (x, y ) , tais que e

y= x+ 3

x= F 3

A imagem de G consiste de todos os números reais exceto 6. O gráfico consiste de todos . os pontos da reta y = x + 3, exceto o ponto (3,6).

EXEM PLO

Seja

4

y= {~+ 3

Determine

a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas

H

se

x = F3

se

x=

(x,

y ),

tal que

3

o domínio e a imagem de

H

e esboce um gráfico de

H .

Na Figura 1.3.11 aparece um esboço do gráfico de H . O gráfico consiste do ponto (3,2) e todos os pontos da reta y = x + 3, exceto o ponto (3,6). A função H está definida para todos os valores de x ; então seu domínio é (- x . , + x). A imagem de H consiste de todos os números reais, exceto 6.

S o lu ç ã o

,{ EXEM PLO

y=

5

Seja 4> a função que é o conjunto

+ 3x

(x 2

- 4)(x 2

-

de todas as duplas ordenadas

(x , y ) , tal que

9)

2

(x + x-12)(x+ 3)

Determine

o domínio

e a imagem de 4> e esboce seu gráfico.

y

F ig u r a

1.3.10

F ig u r a

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU

1 .3 .1 1

26

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA NLJMEROS REAIS, GRÁFICOS E FUNÇÕES

S o lu ç ã o

q; aparece na Figura 1.3.1~. Fatorando o numerador e o dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Um esboço do gráfico deqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

nominador

obtemos (x

\'=~-

+ 4) (x

.

-

I)(x - 3 )(x

O denominador lores

de x. Para

pelos

+

3) -

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(x + 4 )(x -3 )(x + 3 )

fatores

comuns

)'=x-I Assim

de

q;

= - 4.

- 3 e 3: logo.

de x = - 4. - 3 e 3. podemos

q; não

está definida

dividir

o numerador

.x =

o domínio

- 4.

e

- 3

de o é o conjunto

é o conjunto

de todos

.r =

f

Seja f a função

6

de todos

os números

reais,

os números exceto

x~

::

o domínio

do gráfico

da parábola

de x ; assim,

os valores

nào

Seja

a função

X

-

I

se

x < 3

+

1

se

3 S .x

Determine

ao

as duplas

ordenadas

des-

(x. r). tal que

2x

seu gráfico.

de f está na Figura

y =

seu domínio

7

{

I obtidos

- 5, - 4 e 2. O gráfico -4) e (3.~).

x

2

exceto

,

é (-

x .,

o ponto

+

1.3.13. O gráfico

consiste

(2,4). A funçàofestá

.x.). A imagem

do ponto

definida

de f consiste

(2, 7)

para todos

de todos

os núme-

negativos.

EXEM PLO

y-

de f e esboce

e a imagem

Um esboço

reais

de todas

- 4. - 3 e 3

de x -

x=2

o todos os pontos ros

que é o conjunto

reais exceto

os valores

x=')

Determine S o lu ç ã o

estes três va-

e o denominador

3

se substituir x por - 4. - 3 e 3. Isto é. todos os números reais exceto (-4, -5), (-3, ta função é a reta ,I'=x-1. excluídos os pontos EXEM PLO

para

e obter

se

sendo,

e a imagem

.v

é zero para

valores

h

o domínio

que é o conjunto

e a imagem

de

h

e esboce

de todas

as duplas

seu gráfico.

ordenadas

(x , V ) . tal que

y

ti

y

7-----

_+--+--J._~+-_~-"_-'--....L..-'--~.rGFEDCBA

I

F ig u ra 1.3,12

F ig u ra \.3. \3

F ig u ra 1.3.14

);r

Notação de Função, Tipos de Funções e Aplicações VUTSRQPO 27

Solução

Um esboço

do gráfico

deqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h está na Figura 1.3.14. O domínio de h é (- (fJ, + o ; l. Os va-

lores de y são menores que 2 ou maiores ou Iguais a 7. Assim. a imagem deZYXWVUTSRQPONMLKJIH h é ( - OC, 2) u [7. +:x.) ou, na forma equivalente todos os números reais que não estão em [2, 7).

1.3

E xercício s

Nos Exercícios de I a 14. determine I.

4. 7.

f=

.rll.r =

:(x .

H

13.

H =

2. S.

G=

:c'· .r)I.r=\x-

4:

8.

f=

:(x.I)II=\-+-

2

G= [ ( x . .1ll.r = 5 _ 11= [C" r)I.1 = ) 3 x

10.