Matematica - Progressão Geometrica SOMA DOS Termos DE UMA PG Infinita Part 5 PDF

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𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔

𝑎𝑛 = 𝑏 𝑚 𝑠𝑒 𝑎 = 𝑏 𝑒 𝑛 = 𝑚 24 = 𝑞 4 𝑞=2 c) Em uma cultura de bactérias, uma bactéria se divide em duas a cada hora. Determine o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia na 12ª hora. 𝑎1 = 1 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑟ã𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑎 12ª ℎ𝑜𝑟𝑎

𝑃𝐺(𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3 , . . . , 𝑎𝑛 ) 𝑃𝐺(1,2,4, . . . , 𝑎12 ) 𝑎12 =?

𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1

𝑎12 = 𝑎1 . 𝑞12−1

𝑞=

𝑎𝑛 𝑎𝑛−1

𝑎12 = 𝑎1 . 𝑞11 𝑎3 4 => 𝑞 = => 𝑞 = => 𝑞 = 2 𝑎2 2 𝑎12 = 1. 211

𝑎12 = 211 bactérias 211 = 2096

𝑎12 = 2096 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. Exercício: Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 . 𝑃𝐺(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑎2 = 𝑥

𝑎1 =

𝑎2 𝑥 = 2 2

𝑎3 = 𝑎2. 𝑞 = 𝑥. 𝑞

𝑥 𝑃𝐺( , 𝑥, 𝑥𝑞) 𝑞

𝑃𝐺(𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3 ) ⇒ 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎1 = 𝑎, 𝑎2 = 𝑏 𝑒 𝑎3 = 𝑐 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 =? 𝑃𝐺(𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3 )

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 39 𝑒 𝑎1 . 𝑎2 . 𝑎3 = 729 𝑎2 = 𝑥

𝑎2 = 𝑎1 . 𝑞 => 𝑎1 =

𝑥 𝑎2 => 𝑎1 = 𝑞 𝑞

𝑎3 = 𝑎2 . 𝑞 => 𝑎3 = 𝑥. 𝑞 𝑥 𝑃𝐺 ( , 𝑥, 𝑥. 𝑞) 𝑞

𝑥

𝑞

+ 𝑥 + 𝑥. 𝑞 = 39

𝐼

𝑥 . 𝑥. 𝑥. 𝑞 = 729 𝐼𝐼 𝑞 𝑥 . 𝑥. 𝑥. 𝑞 = 729 𝑞 𝑥. 𝑥. 𝑥 = 729 𝑥 3 = 729 3

𝑥 = √729

729 = 3.3.3.3.3.3. = 9.9.9 = 93 3

𝑥 = √93 𝑥=9

𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 9 𝑒𝑚 1 𝑥 + 𝑥 + 𝑥. 𝑞 = 39 𝐼 𝑞

9 + 9 + 9. 𝑞 = 39 𝑞

𝑚𝑚𝑐(𝑞, 1,1,1) = 𝑞

9

9 9. 𝑞 39 + + = 1 𝑞 1 1 1.9 + 𝑞. 9 + 𝑞. 9. 𝑞 𝑞. 39 = 𝑞 𝑞 1.9 + 𝑞. 9 + 𝑞. 9. 𝑞 = 𝑞. 39 9 + 9. 𝑞 + 9. 𝑞 2 = 39. 𝑞

9. 𝑞 2 + 9. 𝑞 + 9 − 39. 𝑞 = 0

9. 𝑞 2 − 30. 𝑞 + 9 = 0

3. 𝑞 2 − 10. 𝑞 + 3 = 0

÷3

𝑎 = 3, 𝑏 = −10 𝑒 𝑐 = 3

−𝑏 ± √∆ 𝑞1 , 𝑞2 = 2. 𝑎 ∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐

∆= (−10)2 − 4.3.3 ∆= 100 − 36 => ∆= 64...