Matematica- Progressão Geometrica SOMA DOS Termos DE UMA PG Infinita Part 3 PDF

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Termo geral da PA 02/03/2021 Seja a PA PA(a1,a2,a3,a4,a5,..., an-1, an) de razão r a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1+ r+ r => a3 = a1+ 2r a4 = a3 + r = a1+ 2r+r => a4 = a1+ 3r . . . ´ . . . an = a1 + ( n – 1).r a30 = a1 +( 30 – 1).r

a30 = a1 + 29.r

Neste sentido, a fórmula utilizada que caracteriza o termo geral de uma PA é representada desta forma:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 Onde, temos:

𝑎𝑛 = 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴 n = Número de termos da P.A. ou posição do termo numérico na P.A

Exemplos.: 1- Qual é o décimo termo da Progressão Aritmética (3,12,21,...)? a1 = 3 2 e a2 = 12 a10 = ? n = 10

𝑎1 = 3, 𝑎2 = 12, 𝑎3 = 21, . . . , 𝑎10 =, 𝑛 = 10

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑎10 = 𝑎1 + (10 − 1). 𝑟 𝑎10 = 𝑎1 + 9. 𝑟 𝒓 = 𝒂𝒏 − 𝒂𝒏−𝟏 𝒓 = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟑−𝟏 𝒓 = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 𝒓 = 𝟐𝟏 − 𝟏𝟐 𝒓=𝟗

𝑎10 = 𝑎1 + 9. 𝑟 𝑎10 = 3 + 9.9 𝑎10 = 3 + 81 𝑎10 = 84 𝑏) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑜 𝑎1000

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑎1000 = 𝑎1 + (1000 − 1). 𝑟

𝑎1000 = 𝑎1 + 999. 𝑟 𝑎1000 = 3 + 999.9 𝑎1000 = 3 + 9991 𝑎1000 = 9994 2- Encontre o primeiro termo de uma P.A., sabendo que a razão é -2 e o décimo terceiro termo é -15

𝑟 = −2, 𝑎13 = −15, 𝑛 = 13, 𝑎1 ?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑎13 = 𝑎1 + (13 − 1). 𝑟 𝑎13 = 𝑎1 + 12. 𝑟 𝑎1 = 𝑎13 − 12. 𝑟 𝑎1 = −15 − 12. (−2) 𝑎1 = −15 + 24 𝑎1 = 9 3- Determinar o número de termos da PA (-3,1,5,...,113)

𝑛 =? , 𝑎1 = −3, 𝑎2 = 1, 𝑎3 = 5, … , 𝑎𝑛 = 113

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 𝑟 = 1 − (−3) 𝑟 = 1 + 3 => 𝑟 = 4

113 = −3 + (𝑛 − 1). 4 113 + 3 = (𝑛 − 1). 4 116 = (𝑛 − 1). 4

116 =𝑛−1 4 19 = 𝑛 − 1 𝑛 = 19 + 1 𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑜 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑛

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑎𝑛 − 𝑎1 = (𝑛 − 1). 𝑟

𝑎𝑛 − 𝑎1 =𝑛−1 𝑟 𝑎𝑛 − 𝑎1 +1=𝑛 𝑟

𝑎𝑛 − 𝑎1 𝑛 = 1+ 𝑟 𝑛 =1+

113 − (−3) 4

𝑛 =1+

113 + 3 4

𝑛 =1+

116 4

𝑛 = 1 + 19 𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠

4- Determine uma P.A. de três termos sabendo que sua soma é 15 e o seu produto é 80.

𝑃𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) 𝑎2 = 𝑥 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 => 𝑎3 = 𝑥 + 𝑟 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 => 𝑎1 = 𝑎2 − 𝑟 => 𝑎1 = 𝑥 − 𝑟...