Resumos de Matematica - Parte 3 PDF

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da potenciação).Será que 150 é um quadrado perfeito?

7. RADICAIS. A radiciação é a operação inversa da potenciação e sua notação é a seguinte:

Fatorando 150 obtemos 52.2.3 Mas

n

Aqui usaremos uma nomenclatura um pouco diferente.Observe a tabela: Radiciação Radicando Índice Raiz

Exemplos: 16  4 , pois 42  16 3

27  3 , pois 3  27 3

Condição de existência de radicais: n



n for par, o radical existe para a  0. n for impar, o radical existe para qualquer base.

Exemplos:

(b)

3

Aplicamos essa propriedade expressões fatoradas. n Considere N  a .b , a n N

para será

a .b  a. b , ou seja, o fator que simplifica com o índice é excluído do radical. n

n

n

5 2.2.3 será reduzida

a 5 6. Conclusão: 150  5 6 Propriedades dos radicais. (P1) Todo radical é uma potência de expoente fracionário.

n

8  2 , pois  2   8 . 3

a a p

p n

Note que o índice é o denominador da fração.

Simplificação de radicais: Você já ouviu falar em números chamados de quadrados perfeitos. São os números que tem raiz quadrada exata, usando a potenciação calculamos que os 10 primeiros números quadrados perfeitos, que são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. (Isso decorre imediatamente [IFBA- Barreiras

propriedade:

23  2

2

3

a

n

Exemplo:

9 não existe, pois  3  = 9

(a)

simplificar

a  a ,que em resumo, toda vez que temos uma potência no radicando e o expoente é igual ao índice, podemos eliminar a raiz. n

Assim a expressão

a  b existe, se:



podemos

expressão 52.2.3 ? Usaremos a seguinte

a  b  bn  a

Potenciação a Potência n Expoente b Base

como

Exemplos:

1 2

2 2 ,

2 3

3  33 2

P2) Multiplicação de radicais:

Matemática Básica

n

a .b  n a .n b

Página 16

P3) Divisão de Radicais: Potenciação

P4)

 a n

p

a na  b nb

n

de

Radicais:

 n ap

P5) Radicais Sucessivos: n p a  n . p a (Substituímos por um único radical, com o índice, sendo o produto dos índices anteriores). P6) Radicais equivalentes: Podemos multiplicar (ou dividir) índice e expoente, por um mesmo numero, de modo a obter radicais equivalentes. Exemplo:

10

5

3 

10:5

5:5

 3

3

Uma aplicação dessa propriedade está na multiplicação de radicais com índices diferentes.

Exemplo: Efetue

3

3

.



3. 3 5 :

5 

2.3 1.3

3

.

3.2 1.2

5  6 33 .6 52  6 33 .52

32  8  2 2)Agora, a expressão pode ser escrita como radical único, basta simplificar 32  4 2 e 8  2 2 , daí 4 2 2 2  2  5 2.

Racionalização de denominadores. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador de uma fração. Basicamente, existem 3 casos de racionalização. 1°CASO - Quando a raiz for quadrada: Multiplicamos os termos da fração pelo radical do denominador. Exemplo:

Exemplos: 1) A adição 2  3 não pode ser representada como radical único,porque os radicais não são semelhantes. [IFBA- Barreiras

2

 2

2



2 2

2° CASO - Quando o radical é da forma a  b : Multiplicamos os termos da fração pelo conjugado do denominador. Na prática, basta trocar o sinal do 2° termo da expressão que contém o radical. Assim, o conjugado de a  b é a  b . Exemplo:

Adição e subtração de radicais. Somamos ou subtraímos radicais semelhantes, ou seja, aqueles que têm mesmo radicando.

1 1. 2   2 2. 2





1. 3  2 1 3 2   3 2 3 2 . 3 2 3 2 2







 

3 2 3 2  9 2 7 Note que o conjugado de 3  2 3 2 .

Matemática Básica

2



é

Página 17

3° CASO- PARA UMA RAÍZ DE INDICE n > 2: Se o denominador é um radical da n p forma a então devemos multiplicar os termos da fração por um radical da forma

n

an  p

.

Exemplo: 2 2 2.3 2 2.3 2     3 4 3 2 2 3 2 2 . 3 2 3 2 2.2 

2.3 2 3



23 TESTES:

4) Se os números reais positivos x e y x  5 y , então a são tais que xy vale: expressão 2y 25y a) b)13y c) 3 2 2 5 d) e)13 2

x 3 y  ( com x > 0, y > y x 0) é o mesmo que: 5) A expressão

2.3 2 3  2 2

a)

x y

b) 6

x y

d) 3

x y

e) 3

y x

1) São dadas as igualdades: I.

a5  b5  a  b , sendo a e b dois números reais positivos. 5

c) 6

y x

3

II. a 2  a a , sendo a um número real positivo. III. 3 a  b  6 ab , sendo a e b dois números reais positivos. IV.

a b  a b , sendo a e b dois números reais positivos. 6

3

2)

b) 1

O 1 4

c) 2

valor

1 3

d) 3

da

b) 12

c) – 3

c) 24

2

8) d) 28

e) 32

c) 16

[IFBA- Barreiras

d) 20

Simplificando

3 5xy   3 25x 2y 2    encontramos:

expressão

3) Sendo a  24 e b  6 , o valor do produto a . b é: a) 10

b) 2

2

4 3

2

b) 20

7)

e) 4

16  8   2   8 é:

a) 16

a) – 2

e B  3 4 8

d) 3

,

e) 4

2

Quantas das alternativas são falsas? a) 0

6) Se A  3 4  8 então A . B vale:

a) 5x y

b) 5xy

d) 5y

e) xy

Considerando

a

 x

2

expressão ,

c) 5x

2  1,41,

a

2

1  representação decimal de   2  é: 2  

e) 24

Matemática Básica

a) 2,66 d) 3,65

b)2,65 e) 4,66

c) 3,66

Página 18

9) Qual é a forma mais simples de se

a b 4  b, ab considerando a e b dois números reais positivos?

escrever

a

expressão

 9  6 c)2  3  2  e)2  9  3  3

4

e) ab

10) A expressão 80  10 5  125  45  20 é igual a : a)2 5

b)3 5

d)5 5

e)6 5

b)4



3

 3

3

6 3 2

3

63

3

  2

7 5 

7 5





7  5 é:

a) 36

b)12  35

c 12  2 35

d)10  2 35

e  12

c) 3

da

expressão

d)2

e) 2

16)

Racionalizando o 24  6a denominador da expressão , 2 3  3a obtém-se:

12) Qual é a expressão algébrica que representa o resultado da multiplicação

(ES-UTFPR)

a) 4 3  6a

b) 4 3  3a



c) 3. 2  a

x 3 y2 x ?  6 y x y y x

b) 3 y

d) 6 x

e) 6 y

5  24 é equivalente

13) A expressão a:

d)

a) 5  24

b) 2  3

d ) 5

e) 5 2 6

[IFBA- Barreiras





d) 2 3. 2  a



17) Se a  8 e b  2 , então o valor de a 1  b 1 é:

c) 3 x

a)

6

b )2

expressão

15)(CMC-PR) A forma mais simples de escrever a expressão

c) 4 5

11) O valor 31 3 1 é:  3 1 3 1

a) 3

a

 d )2 

3

3

b d) a 4

a) 3

3

a )2

a c) 4 b

b) 3 ab

a) ab

14)Racionalizando 6  2 3 2 , obtemos: 3 9

3 2 4 8 2

b) e)

3 2

c)

2 2

1 10

c) 2  3

Matemática Básica

Página 19

18)

b6 2 obtemos 6

a  2. 3 2

Considere

k

e

. Dividindo-se a por b, um número da forma 8. EXPRESSÕES ÁLGEBRICAS.

.Então k é:

Chamamos de termo algébrico (ou monômio), o termo que apresenta números e letras.

a) ímpar b) divisível por 5 c) quadrado perfeito d) irracional e) 1

1 Exemplos: 3ax ,  x 2 . 2

19) Sendo a  2 2  3 e b  2  3 3 , Qual o valor de a 2  b 2  2 6 : a) 30

b) 36

c) 38

d) 40

O monômio 3ax representa 3.a . x

e) 50 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:

20)

 1  1  k  2  . 2   3 3 

Se

m2

2 3

2

, então

k  13  m  23

e é

igual a:

Multiplicamos as partes numéricas e as partes literais dos termos semelhantes. Na multiplicação da parte literal, aplicamos a propriedade da multiplicação de potências de mesma base. Exemplo:

61 a) 27 65 d) 27

62 b) 27 67 e) 27

 2. 3  .  x 4 .x 2   6 x 6

21) Racionalizando-se o denominador da fração

2 2  3 1

, obtém-se:

2 x4 .  3 x2 

64 c) 27

x6

Dividimos as partes numéricas e as partes literais dos termos semelhantes. Na divisão da parte literal, aplicamos a propriedade da divisão de potências de mesma base. Exemplo:

8 y5 : 4 y3

 8 : 4  .  y 5 : y3   2 y 2 [IFBA- Barreiras

Matemática Básica

Página 20

POTENCIAÇÃO: Elevamos a parte numérica e parte literal ao expoente separadamente. Para a parte literal, aplicamos a propriedade da potenciação de potencias. Exemplos:

 3x  4

3

 3 . x 3

4



3

 27x 12

x12

TESTES: 1) A expressão 2 2 2 2  10 x y  15xy    8x y  20 xy  é equivalente a: a)  2 x2 y2  5 xy

b) x 2 y 2  xy

c)2 x2 y2  5 xy

d )5 x2 y2  2 xy

c) 3

d) 4

e) 5

3) Onze jogadores disputaram um torneio de damas. Cada participante jogou com os demais duas partidas,uma em cada turno do torneio.No final, dois jogadores ficaram empatados em primeiro lugar e houve um jogo extra para determinar o campeão. Sabendo que o número de partidas disputadas durante o torneio é dado pela expressão n. n  2  ,onde n

a) 200 d) 250

b) 95

[IFBA- Barreiras

c) 99

d) 100

4a  2a

b) 210 e) 400

x

2x

valor ?

c) 240

6) O valor numérico da expressão

 2x y 3

2

 x2 y  , para x = y = - 1 é:

a) – 243 d) 243

5

b) – 1 e) 2

c) 1

7) Reduzindo os termos semelhantes da expressão 1 4 x 2 y 3  xy 2  6 x 2 y 3  xy 2  2 x 2 y 3 , 4 obtém-se:

representa o número de participantes, quantas partidas foram disputadas até se conhecer o campeão? a) 90 200

a x  10 .então o

numérico da expressão

2) Para a = 0,5 e b = -2,5, o valor da a 3 é: expressão algébrica b2 b) 2

a) aumentou 2°C b) diminuiu 6°C c) diminuiu 2°C d) aumentou 5°C e) Permaneceu constante. 5) Sabe-se que

e) x 2 y 2  10 xy

a) 1

4) Um grupo de estudantes de meteorologia pesquisou as variações de temperatura de uma certa cidade.Após longa coleta de dados, o grupo conclui que a temperatura podia ser calculada 1 pela expressão  t 2  4t  10 , na qual t 6 representa a hora do dia. Sabendo que a temperatura foi medida duas vezes em um determinado dia, primeiro às 12 horas e depois às 18 horas, podemos afirmar que entre essas duas medições, a temperatura:

e)

Matemática Básica

3 a ) xy2 4

b )3xy2

3 c )2x2 y3  xy2 4

d )2x 2 y 3  3xy 2

1 e )x 2 y 2  xy 2 2

Página 21

8) A expressão que representa perímetro do retângulo abaixo é:

o Como resolvemos uma equação? Para descobrir o valor de x, devemos isolamos a incógnita,que usualmente são isoladas no 1° membro. Vamos resolver a equação apresentada como exemplo. x  2  3x  5

a) 6x + 4 6 d) 12x + 8

b) 8x +4

c) 10x +

e) 14x + 10

9) A forma mais simples de escrever  a  2 b 3   b : a2 

a b3 b6 d) a a)

Para deixar no 1° membro somente termos em x, vamos inicialmente, retirar 3x do 2° membro subtraindo 3x nos dois membros. x  2  3x  3x  5  3x

3

   

é:

b) b e)

6

Operando os dois membros temos:

c)

1 b6

 2x  2  5

Agora observe que temos + 2 “sobrando” no 1° membro. Daí, vamos subtrair 2 (  2) dos dois membros. Assim:

a b

GABARITO: 1 A

2 e

3 d

 2x  2  2  5  2

4 b

5 c

6 b

7 a

8 d

9 C

Operando, temos:  2x  3

9. EQUAÇÃO DO 1° GRAU. Equações do resolução)

1°grau:

(conceito

e

Equações são sentenças matemáticas onde letras, também chamadas de incógnitas, representam números, os quais devemos descobrir seus valores, usando operações matemáticas. Exemplos de equação:

x  2  3x  5 1 membro

Como – 2 está multiplicando x,devemos dividir por –2 os dois membros.Assim:  2x 3   2 2

Daí temos que

x

3 2.

TESTES: 1) Calculando o termo desconhecido de 4 x  6  2  6  6 x  1 ,encontramos:

2 membro

[IFBA- Barreiras

Matemática Básica

Página 22

a) 2,6 5,6 2)

b) 3,6

O

c) 4,6

valor

de “x” 13x  2x  3  19 é:

a) 2 17

na

d)

8) O valor de x que satisfaz a igualdade 8 x  1 2x  1 2 é: 6 3

equação a) 0

b) 3

c) 11

d) 9)

3)

A

solução

da

b) 0

c) 2

d) –2

e) 3

10)

x x 3  2 2 2

b) Impar d) Primo.

5) A solução da equação x 

b)

1 4

c)

1 3

6) A solução da equação número:

1 5

5 x 11  é um 4 2

O

7) A equação 3 x  2  

6x  1 : 2

a) não admite solução. b) admite infinitas soluções. c) admite 0 como raiz. d) admite 2 como raiz.

[IFBA- Barreiras

a)

valor

de

na

x

b)

19 5

3 4

c)

27 . 7

b) 27

equação

d) –35 na

equação

d)  2 3  2x  x  0 é: 5

c) - 9.

12) A raiz da equação

d) 9.

1 2 x  5  x  1 5 3

é: a)

a) menor que 1. b) maior que 1 e menor que 3. c) maior que 3 e menor que 5. d) maior que 5.

3 2

d)

c) –25

11) A raiz da equação 6 

x 1 1  é: 4 2

d)

x

b) –15

a) 1

a) Par c) Fracionário.

de

29 18

x1 x 1 x  1  é: 4 2 3

é um número:

1 2

valor

a) –5

4) O valor de x na equação

a)

O

c)

3x  5 3x  1   4 é: 5 4

equação

3x  5 x  1 5 x  9   é? 2 2 6

a) 1

19 18

b)

13)

47 13

b)

A

53 13

c)

solução

47 7

da

d)

53 7

equação

2 x  1 5 x  1  x  2   é um número: 3 8 6

a) fracionário. c) múltiplo de 5 14)

A

solução

b) par d) divisível por 3 da

equação

1 x  2 3x 1   x  é um número: 2 3 4

Matemática Básica

Página 23

a) primo. c) múltiplo de 5 perfeito 15) O número

b) par

Considere a seguinte situação: d) quadrado Qual o número cujo dobro somado com 4 é igual a 6 ?

1 será solução da equação 5

kx  2  3 x  1 , na incógnita x, se o valor

de k for: a) –5

b) –2

c) 1

d)

1 . 5

Como queremos descobrir quem é esse número vamos representá-lo usando uma incógnita, nesse caso x. Podemos expressar a pergunta usando a seguinte sentença matemática:

2x  4  6

16)(EPCAR) O valor de x que é solução da equação 5  3x 3x  2( x  5)   0 é tal que

Resolvendo a equação, temos:

2x  6  4 2x  2 2 x 2 x 1

2

a) –6 < x < 0 c) 3 < x < 10

b) –12 < x < –8 d) 12 < x < 1

17) (EPCAR) Com base na igualdade 5 x  3 4 2x 19 x  8 1     2 5 3 6 2

,

pode-se

afirmar que:

Logo, o número procurado é 1. TESTES:

a) tem apenas uma solução e esta solução é um número par. b) tem apenas uma solução e esta solução é um número ímpar. c) tem uma infinidade de soluções. d) não tem nenhuma solução. GABARITO: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 a a e c c c a D D 1 A a d c a b a d

1) Um número acionado a um quarto de si próprio é igual a 45.Qual é esse número? a) 9

É muito comum, usarmos equações para resolução de problemas.

[IFBA- Barreiras

c) 36

d)72

2) Se o triplo mais a metade da idade se João resulta 21 anos, então a sua idade é: a) 31 anos c) 7 anos

0

10. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E EQUAÇÕES DE 1º GRAU.

b) 18

b) 63 anos d) 6 anos

3) Um número subtraído de sua metade é igual a 5.Esse número é: a) 5 d)10

b) 8

c) 6

4) Fábio e Eduardo pesam juntos 6...