Subespaços e Soma de Subespaços PDF

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First and second semester course plan. Didactic content and exercises....

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Álgebra Linear

Prof. Lucia Helena

Subespaço vetorial Seja S um subconjunto de um espaço vetorial V (S  V). S é subespaço vetorial de V se e somente se: a) O ∈ S b) ∀ u, v ∈ S,

u+v∈S

c) ∀ u ∈ S, ∀ α ∈ IR, α . u ∈ S

OBS: Se S é subespaço vetorial de V, então S também é um espaço vetorial sobre IR com as operações de adição e multiplicação por escalar. Exemplos e exercícios 3

3

1) Seja V = IR e S = { ( x, y, z )∈ IR / x = 0 }. Mostre que S é subespaço vetorial de V. 2) Seja V = M 2 ( IR ) e S = { A =

x z

y ∈ M 2 ( IR ) / t = 0 }. Verifique se S é t

subespaço de V. 3) Seja V = IR 3 e S = { ( x, y, z ) ∈ IR 3 / x = 1 }. S é subespaço de V? 4) Sendo V = IR 3 e S = { ( x, y, z ) ∈ IR 3 / x + y = 0 }, S é subespaço de V? 5) Verifique se são subespaços vetoriais de IR 3 os seguintes subconjuntos: a) W = { ( x, y, z ) / y = 0 }

b) U = { ( x, y, z ) / x = 2y }

c) T = { ( x, y, z ) / z = 2 } e) H = { ( x, y, z ) / x = y 2 }

d) S = { ( x, y, z ) / z = 2y + 1 }

6) Verificar se o conjunto C = {

a b d e

c ∈ M 2 x 3 / b = a + c, e = f =0 } é f

subespaço vetorial. Soma de subespaços Dados R, S subespaços de V, R + S = { u∈V / u = r + s com r ∈ R e s ∈ S } Se R e S são subespaços de V, então R + S também é subespaço de V.

Exemplos e exercícios 1) Sendo R e S subespaços dados por: R = { ( x, 0, 0 ) ∈ IR 3 } e S { ( x, y, z ) ∈ IR 3 / x = 0 e z = 0 }, determinar R+S. 2) Sendo R = { ( x, 0, z ) ∈ IR 3 } e S = { ( a, b, 0 ) ∈ IR 3 }, determine R+S. 3) Sendo S e T subespaços dados por: S = { ( x, y, 0 ) ∈ IR 3 } e T = { ( x, 0, 2z ) ∈ IR 3 }, determine S+T. 4) Dados os subespaços, determine S+T: a) S = { ( 0, y, 0 ) ∈ IR 3 } e T = { ( 0, 0, z ) ∈ IR 3 } b) S = { ( x, y, 0, 0 ) ∈ IR 4 } e T = { ( 0, 0, z, 0 ) ∈ IR 4 } c) S = { ( x, 2x, 0 ) ∈ IR 3 } e T = { (0, x, z ) ∈ IR 3 } 3

3

d) S = { ( y, y, z ) ∈ IR } e T = { (0, z, z ) ∈ IR }...