Matemáticas 2020 1 - Un libro para entrar Umsa PDF

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Un libro para entrar Umsa...

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Proceso de admisión

2020

Matemática

ACTUALIZACION:

Dr. Jhemis Teddy Molina Gutierrez Ing. Joacir Colombo Quezada

Este libro es una reimpresión de la gestión 2014

La Paz, Septiembre de 2019

AUTORIDADES Dr. Javier Peñaranda Méndez DECANO Dr. Fernando Dávalos Crespo VICEDECANO

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 CONTENIDO

TEMA1 CONJUNTOS ........................................................................................................ 3 TEMA 2SISTEMAS NUMÉRICOS ................................................................................. 10 TEMA 3 NOTACIÓN CIENTÍFICA ................................................................................. 14 TEMA 4 ÁLGEBRA .......................................................................................................... 16 TEMA 5 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................. 26 TEMA 6 FACTORIZACIÓN ............................................................................................. 40 TEMA 7 EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS............ 50 TEMA 8 ECUACIONES ................................................................................................... 52 TEMA 9 LOGARITMOS ................................................................................................... 59 TEMA 10 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ....................................................... 67

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 TEMA 1 CONJUNTOS

En la teoría de conjuntos, definimos a un conjunto como la colección de objetos o elementos que tienen una característica especial que permite que los mismos estén agrupados. Estos objetos o elementos pueden ser: Personas, animales, plantas, números, figuras, etc. De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto: 

Elementos: Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto. Ejemplo: José pertenece al Curso Preuniversitario de la Carrera de Medicina. Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del alfabeto, números o símbolos que nos ayuden a identificarlos: a,b,c....1,2,3....., , ,  ,...



Notación: Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras mayúsculas del alfabeto, tales como:

A, B, C… X, Y, Z Un Conjunto se escribe de la siguiente manera: Nombre del conjunto = {elementos} Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}

REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden representar:  Por Extensión: Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos que lo componen siempre y cuando se pueda. Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 Por Comprensión: Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todos sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos. Ejemplo: Usando los conjuntos anteriores FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERÍA, NUTRICIÓN Y TECNOLOGÍA MÉDICA 3

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A  x/x es vocal del alfabeto 

B

x / x  Z,0  x  9





Gráficamente Se puede representar a un conjunto a través de los Diagramas de Venn, que son Curvas Cerradas, indicando a todos sus Elementos dentro de la Curva. Ejemplo: Usando el conjunto anterior A = {a, e, i, o, u} .a

.u

.e .i

Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado se hace uso de los símbolos

y, respectivamente.

En el ejemplo anterior podemos decir que: a A b

A

CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto Unitario Un conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo:

C = {x/ x

2 , x =4} = {2}

Conjunto Finito Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos. Ejemplo: A= {3, 5, 7, 8}

El conjunto A tiene 4 elementos

B= {x/x = 2k, k=0, 1, …, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERÍA, NUTRICIÓN Y TECNOLOGÍA MÉDICA 4

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 Conjunto Infinito

Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se pueden terminar de contar. Ejemplo: A= {x/x = 2k, k=0, 1, 2, 3, 4 … } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…} Conjunto Universo Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por Ejemplo: A = {x/x

}

Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces concluimos que 𝕌

Conjunto Vacío También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún elemento y es denotado por la letra griega Ø ó { }. Ejemplo: A = {Números pares cuya última cifra sea impar} = { } = Ø

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión

Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota de la siguiente forma: A  B  {x / x  A  x  B}

B B

Igualdad Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A y B son iguales, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen al conjunto A. Esta relación se la denota de la siguiente forma:

.a

B

.o

.e

=

.a

.o

.e

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de dos Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de B o de ambos conjuntos y se denota por: A B {x / x  A x  B}

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Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que x pertenece a “A” ó x pertenece a “B”. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A  B= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Intersección de dos Conjuntos (



)

La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” y a “B” y se denota por: A  B {x / x  A  x  B} Que se lee, “A” intersección “B” es el conjunto formado por los elementos x, tal que x pertenece a “A” y x pertenece a “B”. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {1, 2}

Diferencia de Conjuntos (–) La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” que no pertenecen a “B” y se denota por: A  B {x / x  A  x  B}

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Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {3, 4, 5}

Diferencia Simétrica ( ) La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por: AB  {x / x  A  x  B} Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {3, 4, 5, -2, -1, 0}

Complemento de un Conjunto (C) Dado el conjunto universo y A



. El complemento de un conjunto “A” es el

conjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto “A” y se denota por: A c AC {x / x U  x  A}

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Ejemplo: Si

= {xN/x < 10} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces: AC = {2, 4, 6, 8, 9}

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 TEMA 2 SISTEMAS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURALES Los números naturales son los que se emplean para contar. Los números naturales son la sucesión de los enteros positivos cuyo conjunto se simboliza por N. N = {1, 2, 3,…} Los números naturales son cerrados, o cumplen con las propiedades de clausura, respecto de las operaciones de adición y multiplicación: Si a ε N y b ε N entonces (a + b) ε N (clausura para la adición) Si a ε N y b ε N entonces (a × b) ε N (clausura para la multiplicación) Ejemplo. 2 ε N y 3 ε N 2 + 3 = 5 ε N (clausura para la adición) 2 × 3 = 6 ε N (clausura para la multiplicación) NÚMERO ENTEROS Los enteros constan de los números naturales, el cero y los negativos de los números naturales, cuyo conjunto se designa por Z. El conjunto de los enteros, de manera concisa, se escribe Z = { x | x N

ó x = 0 ó x = –n para algún n en N }

Se escribe también Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … } El conjunto de los enteros Z incluye al conjunto de los números naturales N. El conjunto de los enteros Z es cerrado respecto de las operaciones de la adición, de la multiplicación y también de la sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es, a su vez, un entero. Observación. El conjunto de los enteros Z no es cerrado respecto de la operación de división. Por ejemplo, el cociente de los enteros 5 y 9 no es necesariamente un entero. Todos los enteros positivos, con excepción del número uno, se pueden clasificar ya sea como números compuestos o como primos. FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERÍA, NUTRICIÓN Y TECNOLOGÍA MÉDICA 10

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Un entero positivo se llama compuesto si es distinto de uno y puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos, los cuales son sus factores. En ciertos casos, algunos de estos factores se pueden repetir. Por ejemplo, 6 y 24 son números compuestos porque 6 =

2×3

y

24= 6 × 4. Un número entero positivo se llama primo si es distinto de uno y no es compuesto; en otras palabras, la única forma en que podemos expresar un número primo p como el producto de dos enteros positivos es: p = p × 1 ó p = 1 × p. Ej. 2, 3, 5, 7, 11 … son números primos, mientras que 4, 6, 8, 9 … no son números primos. Todo entero compuesto se puede descomponer en un producto de números primos, puesto que cada factor compuesto puede, a su vez, descomponerse en factores menores hasta que, en último término, todos los factores sean primos. NÚMEROS RACIONALES Un número racional es el que puede expresarse como el cociente de un entero p por un entero q diferente de cero. El conjunto de los números racionales se designa por Q, y brevemente se escribe Q = { x | x = p/q donde p  Z, q  Z, q ≠ 0 } El conjunto Q de los números racionales es cerrado respecto de las operaciones de adición, multiplicación, sustracción y división (excepto por cero); es decir, que la suma, producto, diferencia y cociente (excepto por cero) de dos números racionales es también un número racional. Llevando a cabo la operación de la división, todo número racional se puede representar como un decimal. Algunas representaciones "terminan" después de un número finito de cifras, esto es, las últimas cifras son cero. Por ejemplo: a)

4 2

2

3

b) 60   0,75 80

4

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En cambio, otras expresiones decimales nunca terminan, tales como: c) 1  0,3333.... 3

d) 8  1,142857142857..... 7

En estas últimas expresiones decimales, se puede observar que en cada período, los dígitos, después de un cierto momento, se repiten con

el

anterior, formando un grupo como “3” y “142857”. Esto es siempre verdad para todos los números racionales. Por tanto, la condición necesaria y suficiente para que un número sea racional, es que en su expresión decimal con cifras infinitas éstas presenten periodicidad. NÚMEROS IRRACIONALES El conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales. Es decir, los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. El desarrollo decimal de un número irracional es infinito y no periódico, por ejemplo: √2 = 1.414213562 … π = 3.14159265 … El conjunto de los números irracionales se simboliza por Q’. NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que son racionales o irracionales, y está constituido por números positivos, negativos y el cero. Los números reales se pueden representar por puntos de una línea recta. Se elige un punto llamado origen para representar el cero. Los números a la derecha del cero, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del cero son los llamados números negativos. FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERÍA, NUTRICIÓN Y TECNOLOGÍA MÉDICA 12

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El cero mismo no es ni positivo ni negativo. Los conjuntos de números, que en forma gráfica se puede observar a continuación, se relacionan de la manera siguiente: N

Z

Q (Q

Q’)

R

TM1. Conjuntos de Números en forma gráfica

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 TEMA 3 NOTACIÓN CIENTÍFICA INTRODUCCIÓN

La notación científica es la forma abreviada para expresar cantidades numéricas suficientemente grandes o al contrario cantidades suficientemente pequeñas. Para lograr este cometido se usan potencias de base diez (10) con lo cual se permite que las expresiones, en las mediciones científicas, puedan ser más explicitas, más compactas y más sencillas de utilizar, para lo cual se utiliza la siguiente nota notación:

a 10n Donde: a  R y puede ser un número comprendido en el rango 1  a  10 n  Z ya sea positivo (+) o negativo (-). La base de la potencia es 10. La notación científica básicamente consiste en representar una cantidad como producto de un número por una potencia de 10. Si se quiere escribir un número ordinario en notación científica o el proceso inverso se procede de la siguiente manera:

Para números mayores a 1: Por ejemplo para la cantidad 950 000 (novecientos cincuenta mil), se pone un punto decimal y se recorre 5 lugares de derecha a izquierda y, de esta forma, se obtiene: 9.5x105. Si se quiere realizar la operación inversa, es decir convertir un número escrito en notación científica a decimal, se recorre el punto decimal hacia la derecha y en los espacios en blanco se rellena con ceros. Por ejemplo si se tiene la siguiente cantidad 1.5x106 se escribiría 1 500 000 (un millón quinientos mil).

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 Para los números menores a 1:

Por ejemplo sea la cantidad 0.00000025 para escribir en notación científica se recorre el punto hacia la derecha 7 lugares obteniéndose 2.5x10 -7. Para realizar la operación inversa: sea la cantidad 3.8x10 -8 se recorre el punto 8 lugares hacia la izquierda y se obtiene: 0.000000038. En los siguientes ejemplos se muestra como se puede expresar algunas cantidades en notación científica: a) 312.546 = 3.12546 x102

e) 0.000 000 0637 = 6.37 x10-8

b) 1 452.25 = 1.45225 x10 3

f) 17 000 000 = 1.7 x 10 7

c) 0.089752 = 8.9752 x10-2

g) 5 830 000 = 5.83 x 10

d) 0.00005 = 5 x10-5

h) 0.000 000 000 007 = 7 x 10-12

6

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.Para realizar operaciones como se trabaja con potencias de base diez se usan las mismas reglas de potenciación.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.Para poder efectuar estas operaciones con notación científica, primeramente se debe asegurar que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso contrario hay que procurar que lo sean. Ejemplos: a) 4.28x 10 6 +1.254 x106 = 5.534 x 10 6 b) 3.141 x 10 3 – 2.912 x 10 2 = 3.141 x 10 3 – 0.2912 x 10 3 = 2.8498 x 10 3 c) 2.60x108+3.55x107+8.23x106= 2.60x108+0.355x108+0.0823x108 = 3.0373x108 d) 5.6 x 10 3 + 6.56 x 10 3 = 12.16 x 10

3

e) -3 x 10 11 + 9 x 10 11 = 6 x 10 11 f)

2 x10 6 + 4 x10 5 = 2 x10 6 + 0.4 x10 6 = 2.4 x10 6 FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERÍA, NUTRICIÓN Y TECNOLOGÍA MÉDICA 15

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.Para realizar las multiplicación simplemente se multiplican los valores decimales y se suman las potencias de 10, con lo cual se obtienen resultados que (en algunos casos) se debe volver a expresar en notación científica. De igual manera se procede en la división, con la única diferencia que se deben restar las potencias de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador. Ejemplos: a) a3 . a5 = a3+5= a8 b) (1.589 102)x( 4.346 103) = ( 1.589 4.346) x102-3 = 6.905794 x 10-1 .

c)

.

.

= a5-3= a2

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 TEMA 4 ÁLGEBRA DEFINICIÓN

El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las sumas, restas, multiplicación y división de conjuntos de números. Estos números se representan por símbolos o variables. De igual forma se puede decir que es una extensión de la aritmética cuyo objetivo es simplificar y generalizar todo lo referente a los números, empleando para ello letras, números, guarismos, etc. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es un conjunto de letras, números y signos que indican una serie de operaciones a realizarse, es decir, son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por ejemplo, la expresión 8a3 b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3 b2c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal. Una expresión algebraica esta conformada por dos o más términos. Por ejemplo los siguientes términos son expresiones algebraicas:

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la parte de una expresión conformada por letras y números, el cual, esta separado de otro término a través de un signo (positivo o negativo).

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.Un término está compuesto por un signo, un coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:

Variable.- Es toda magnitud que cambia de valor y puede ser expresada por las últimas letras del abecedario. Constante.- Es toda magnitud que tiene un valor y no cambia.

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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADÉMICA 2020 TÉRMINOS SEMEJANTES

Son todos los términos que tienen la misma parte literal y están elevados a un mismo exponente. En cuanto al coeficiente y signo, estos pueden ser distintos o no.

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES. Profundizando un poco más en lo mencionado anteriormente, existen básicamente los siguientes tipos de expresiones algebraicas:

a)

Monomios : Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son: 4x4y2

como se p...