MATEMÁTICAS FINANCIERAS TERCERA EDICIÓN PDF

Preview

Summary

MATEMÁTICAS FINANCIERAS TERCERA EDICIÓN HÉCTOR M A N U E L V l D A U R R I AGUIRRE MATEMÁTICAS FINANCIERAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3a. Edición HÉCTOR M . VlDAURRI AGUIRRE THOMSON Australia • Brasil • Canadá • España • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur TMOIVISOIM Matemáticas financiera...

Description

MATEMÁTICAS

FINANCIERAS TERCERA

HÉCTOR M A N U E L V l D A U R R I

EDICIÓN

AGUIRRE

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3a. Edición HÉCTOR M .

VlDAURRI AGUIRRE

THOMSON

Australia • Brasil • Canadá • España • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

TMOIVISOIM

Matemáticas financieras. 3a. ed. Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Director editorial y de producción: José Tomás Pérez Bonilla

Gerente de producción: René Garay Argueta

Editor de desarrollo: Lilia Moreno Olvera

Editor de producción: Alejandro A. Gómez Ruiz

Diseño de portada: Daniel Aguilar

Supervisora de manufactura: Claudia Calderón Valderrama

COPYRIGHT © 2004 por International Thomson Editores, S.A. de C.V., una división de Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. Impreso en México Printed in México 2 3 4 06 05

DERECHOS RESERVADOS. Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra bajo cualesquiera formas, electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en algún sistema de recuperación de información, o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Para mayor información contáctenos en: Séneca núm. 53 Col. Polanco México, D.F., 11560

Datos para catalogación bibliográfica: Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel Matemáticas financieras ISBN 970-686-368-0 1. Generalidades. 2. Variación proporcional y porcentaje. 3. Sucesiones y series. 4. Interés simple y descuento simple. 5. Interés compuesto e inflación. 6. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas. 7. Amortización y fondos de amortización. 8. Otras anualidades. 9. Bonos y obligaciones. 10. Depreciación.

Puede visitar nuestro sitio en http://www.thomsonlearning.com.mx

División Iberoamericana México y América Central Thomson Learning Séneca núm. 53 Col. Polanco México, D.F., 11560 Tel. 52 (55) 1500 6000 Fax 52 (55) 5281 2656 [email protected]

América del Sur Thomson Learning Calle 39 núm. 24-09 La Soledad Bogotá, Colombia Tel. (571) 340 9470 Fax (571) 340 9475 clithomson @ andinet.com

El Caribe Thomson Learning 598 Aldebaran St. 00920, Altamira San Juan, Puerto Rico Tel. (787) 641 1112 Fax (787) 641 1119

España Paraninfo Thomson Learning Calle Magallanes núm. 25 28015 Madrid España Tel. 34 (0) 91 446 3350 Fax 34 (0) 91 445 6218 [email protected]

Cono Sur Buenos Aires, Argentina thomson@ thomsonlearning.com. ar

Esta obra se imprimió en el 2006 Grupo GEO Impresores, S.A DE C.V.

d>

Acerca del autor

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre Es profesor del Departamento de Matemáticas y Física del Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO) y de la Universidad Marista La Salle, en Guadalajara, Jalisco. Estudió la carrera de Ingeniería Química en la Universidad de Guadalajara; ha trabajado en la industria privada y como profesor universitario, tiene alrededor de 22 años de experiencia docente, durante los cuales ha impartido las materias de matemáticas financieras, álgebra superior, cálculo diferencial e integral e ingeniería económica en diversas universidades de la ciudad de Guadalajara. Fue instructor externo de Banca Serfín en las materias de matemáticas financieras y finanzas y es autor de una serie de artículos sobre matemáticas financieras aplicadas publicados en el periódico Mural, de la ciudad de Guadalajara.

Dedicatoria

A mi querida familia.

y

Agradecimientos

!' Deseo agradecer al ingeniero Alberto Calva Mercado el haberme permitido reproducir dos de sus excelentes artículos que ha escrito en diversos diarios del país. Un agradecimiento especial a la Lic. Lilia Moreno, editora de Thomson, por toda su valiosa ayuda.

Contenido PREFACIO

xv

CAPÍTULO I. PRELIMINARES 1.1 La calculadora y las operaciones aritméticas 1.2 Potencias y raíces 1.3 Memoria 1.4 Notación científica 1.5 Logaritmos 1.6 Leyes de los logaritmos 1.7 Sistemas de logaritmos 1.8 Aplicaciones de los logaritmos

I 2 7 9 12 18 20 27 32

TEMAS ESPECIALES La regla de cálculo Los logaritmos en escena CAPÍTULO 2. VARIACIÓN PROPORCIONAL Y PORCENTAJE 2.1 Variación proporcional 2.2 Porcentaje 2.3 Utilidad sobre el costo y sobre el precio de venta 2.4 Descuento comercial TEMA ESPECIAL El reparto de utilidades CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES 3.1 Introducción 3.2 Sucesiones aritméticas 3.3 Sucesiones geométricas

20 40 43 44 68 76 81 57 87 88 93 102

Contenido

TEMA ESPECIAL Gauss y las sucesiones Leyenda sobre el tablero del ajedrez CAPÍTULO 4. INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO SIMPLE 4.1 Interés simple 4.2 Valor presente. Interés simple comercial y exacto 4.3 Amortización con interés simple 4.4 Descuento simple TEMAS ESPECIALES Poderoso caballero: Don dinero El interés y la usura El Nacional Monte de Piedad Tarjeta de débito Tarjeta de crédito Cetes Factoraje CAPÍTULO 5. INTERÉS COMPUESTO E INFLACIÓN 5.1 Interés compuesto 5.2 Interés compuesto con periodos de capitalización fraccionarios 5.3 Tasa de interés nominal, equivalente y efectiva 5.4 Ecuaciones de valor 5.5 Interés compuesto a capitalización continua 5.6 Inflación TEMA ESPECIAL El anatocismo CAPÍTULO 6. ANUALIDADES VENCIDAS, ANTICIPADAS Y DIFERIDAS 6.1 Introducción 6.2 Anualidades vencidas 6.3 Anualidades anticipadas 6.4 Anualidades diferidas

101 108 III 112 122 141 163 119 128 140 152 156 172 177 181 182 204 210 218 233 241 207 259 260 262 292 313

TEMAS ESPECIALES Anualidades y capitalización continua Bonos del Ahorro Nacional

289 311

CAPÍTULO 7. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN 7.1 Amortización de deudas 7.2 Fondos de amortización

3E3 324 342

Contenido

TEMAS ESPECIALES ¿Es cierto que le venden sin intereses? Unidades de inversión CAPÍTULO 8. OTRAS ANUALIDADES 8.1 Rentas perpetuas 8.2 Anualidades generales 8.3 Anualidades variables TEMA ESPECIAL Afores CAPÍTULO 9. BONOS Y OBLIGACIONES 9.1 Introducción 9.2 Valor presente de los bonos y obligaciones 9.3 Precio entre fechas de pago de cupones 9.4 Cálculo de la tasa de rendimiento TEMA ESPECIAL Los bonos en México CAPÍTULO IO. DEPRECIACIÓN 10.1 Introducción 10.2 Método de línea recta 10.3 Método de la suma de dígitos 10.4 Método del porcentaje fijo 10.5 Método del fondo de amortización Respuestas a los ejercicios

335 338 349 350 356 363 383 393 394 398 405 410 415 421 422 423 432 435 438 443

x¡¡¡

El ayer es un cheque cancelado; el mañana un pagaré sin fecha; el hoy es nuestro único efectivo, por lo tanto, gastémoslo inteligentemente. KAY LYOMS

Este texto está dirigido a toda persona interesada en aprender los fundamentos de la matemática financiera, la cual le dará las herramientas necesarias para entender y manejar de manera eficiente el dinero. El libro es útil para estudiantes de preparatoria y licenciatura en las áreas de contabilidad, economía, finanzas, administración de empresas y como auxiliar en los cursos de ingeniería económica y evaluación de proyectos de inversión. Asimismo, es útil como referencia para estudiantes de maestría en las áreas mencionadas. La matemática financiera es una parte de la matemática aplicada que estudia los modelos matemáticos relacionados con los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero, llamadas capitales. Sobre los inicios de la matemática financiera no se sabe gran cosa, simplemente que ésta ha existido desde tiempo inmemorial. La aritmética comercial estaba bien desarrollada para el 1500 a.C. y parece ser que la matemática financiera se desarrolló como un complemento a las transacciones comerciales. Sin embargo, no se conoce cuándo y quién introduce los conceptos fundamentales en los que se basa. Por ejemplo, del concepto de interés simplemente sabemos que surgió cuando una persona se dio cuenta que si alguien le debía dinero, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda. La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo.

Prefacio

CARACTERÍSTICAS BÁSICAS Se revisaron todos los capítulos del texto. Esto trajo como consecuencia que varios de ellos se hayan reescrito nuevamente. Espero que con esto el material sea más claro y útil. ' % Se reacomodaron algunos temas, lo que hizo que el número de capítulos bajara a diez, en lugar de los trece de la edición anterior. Se revisaron y actualizaron todos los temas especiales. El tema de la inflación pasó a ser tema normal debido a su importancia cada vez mayor en el análisis financiero y económico. Alrededor del 95% de los ejemplos resueltos y de los ejercicios de final de sección se modificaron totalmente o se actualizaron. Asimismo, hay varios ejemplos y ejercicios nuevos. f

En algunos capítulos, al final de los ejercicios, se presenta una sección titulada Ejercicios Especiales, la cual contiene ejercicios adicionales que complementan el tema o bien son ejercicios un poco más difíciles. La mayoría de las fórmulas utilizadas en el texto se demuestran. Esto tiene como objetivo que los lectores no vean las fórmulas como algo que aparece como por arte de magia. > En algunas secciones se dan referencias adicionales de sitios en Internet que el lector puede visitar para complementar lo dicho en el texto. Al final del libro se dan las soluciones de todos los ejercicios propuestos.

Generalidades

Objetivos Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno podrá: Explicar y utilizar las reglas de prioridad de las operaciones aritméticas. Utilizar adecuadamente la calculadora. Explicar y utilizar los logaritmos.

40 Cap. 1

Generalidades

La calculadora y las operaciones aritméticas La invención de los circuitos integrados y del diodo emisor de luz (LED por sus siglas en inglés) hizo posible la aparición de las calculadoras electrónicas portátiles hacia 1972, aproximadamente, aunque con grandes limitaciones en cuanto a las operaciones que podían efectuar. Posteriormente, los avances en el desarrollo de los chips junto con la invención de las pantallas de cristal líquido (LCD por sus siglas en inglés), que sustituyó a los LED, permitieron que las calculadoras electrónicas evolucionaran hasta convertirse en una poderosa herramienta de cálculo. De entonces a la fecha, la calculadora se ha convertido, junto con la computadora, en una herramienta básica de las actividades laborales, académicas y de la vida cotidiana. La calculadora es una herramienta útil empleada para efectuar los cálculos aritméticos tediosos; puede utilizarse para comprender mejor ciertos conceptos matemáticos y desarrollar cierta habilidad en el área. Sin embargo, la calculadora no sustituye el razonamiento ni interpreta resultados, estas actividades continúan siendo exclusivas del ser humano. En este capítulo se verán algunos aspectos básicos del empleo de las calculadoras en general; sin embargo, no se pretende reproducir un manual de instrucciones. El lector debe estudiar el manual del usuario de su calculadora. Las calculadoras electrónicas se clasifican en cuatro tipos: Calculadoras básicas. Calculadoras científicas. Calculadoras financieras. Calculadoras graficadoras. La calculadora básica, llamada también estándar, es aquella que permite obtener únicamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones; asimismo, es posible efectuar cálculos de porcentajes y de raíces cuadradas. Cuenta con una memoria volátil y algunas tienen la tecla de cambio de signo. La calculadora científica posee las mismas funciones que la básica y, además, permite realizar el cálculo de funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, estadísticas, etcétera. Cuenta al menos, con una memoria constante y algunas son modelos programables. La calculadora financiera posee varias de las características de la científica, además está programada para llevar a cabo la resolución de problemas de interés compuesto, anualidades, amortizaciones, etcétera. La calculadora graficadora cuenta con todas las características de una calculadora científica avanzada, se puede programar y tiene una pantalla rectangular

La calculadora y las operaciones aritméticas

que permite la representación gráfica de funciones en dos y/o tres dimensiones. Algunas graficadoras están programadas para llevar a cabo la resolución de problemas financieros. Con el fin de aprovechar al máximo este libro, se recomienda que el lector tenga una calculadora, bien sea científica, financiera o graficadora. Cada tecla de las calculadoras científicas, financieras y graficadoras llevan a cabo más de una función. La función marcada sobre la tecla recibe el nombre de función primaria y las funciones impresas arriba de las teclas se llaman funciones secundarias. Las funciones secundarias se eligen presionando antes la tecla de cambio y después la de la función deseada. La tecla de cambio varía con la marca y modelo de calculadora, algunas vienen marcadas como 2nd , en otras como Para utilizar otras funciones, la calculadora debe ponerse en determinado modo de funcionamiento mediante la tecla Mode . Como el uso de esta tecla varía con la marca y modelo de calculadora, el lector debe consultar el manual de su calculadora. Con respecto a la forma como las calculadoras llevan a cabo las operaciones aritméticas, se tiene: ,

Lógica algebraica.

j» Lógica aritmética. c ^ Lógica RPN. Las calculadoras con lógica algebraica están programadas para realizar los cálculos de acuerdo con las reglas del álgebra, para el orden de las operaciones, llamadas reglas de prioridad.

Reglas de prioridad de las operaciones Para evaluar expresiones matemáticas es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos sólo tengan un resultado. El orden es el siguiente: , En primer lugar se llevan a cabo todas las operaciones que se encuentren dentro de signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves). En segundo lugar se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces. Enseguida se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Al final se realizan las sumas y las restas. Cuando un conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridad, las operaciones se realizan de izquierda a derecha.

40 Cap. 1

Generalidades

Las calculadoras con lógica aritmética realizan las operaciones en el orden en que van apareciendo los números y los operadores, al ser ingresados; esto es, no siguen las reglas de prioridad. El resultado de u n cálculo llevado a cabo de esta manera estará equivocado la mayoría de las veces.

Ejemplo Resuelva la operación: 75 + (15) (32) } Solución: 75 + (15) (32) = 75 + 4 8 0

Primero se lleva a cabo la multiplicación.

= 555

Al final se efectúa la suma.

Al efectuar la operación anterior directamente con una calculadora con lógica algebraica, la secuencia de tecleo sería en el orden en que se encuentra escrita la expresión; esto es 75 l+J 15

32 t i

555

Si se utiliza una calculadora con lógica aritmética, el resultado sería el siguiente: 75 l + | 15 [ x . 32 ^

2 880

El resultado anterior está equivocado debido a que no se llevó a cabo utilizando las reglas de prioridad. En este caso, la calculadora realizó primero la suma (75 b t 15 t 90) y el resultado lo multiplicó por 32 (90 1>C 32 = \ 2 880). En general, las calculadoras científicas y las graficadoras utilizan lógica algebraica y las financieras utilizan lógica aritmética; las calculadoras básicas emplean lógica aritmética. Por tanto, es necesario tener cuidado al realizar operaciones aritméticas con una calculadora financiera o básica. Las calculadoras con lógica en Notación Polaca Inversa, conocida simplemente como notación RPN, por sus siglas en inglés (Reverse Polish Notation), se basan en una lógica matemática no ambigua que no utiliza paréntesis en los cálculos en cadena, desarrollada por el matemático polaco Jan Lukasiewicz (1878-1956). En este libro no se utilizará la notación RPN, de manera que si la calculadora utilizada por el lector es de este tipo, deberá tener en cuenta que el procedimiento de cálculo será diferente.

La calculadora y las operaciones aritméticas

Ejemplo 1.2 Resuelva la operación: (7.8) (12.25) 2 + 780

Solución: (7.8) (12.25) 2 + 780 = (7.8) (150.0625)+ 780

Primero se lleva a cabo la elevación al cuadrado.

= 1170.4875 + 780

A continuación se realiza la multiplicación.

= 1950.4875

Finalmente se efectúa la suma.

Al efectuar la operación anterior con una calculadora basada en lógica algebraica, la secuencia de tecleo sería: 7.8 _X 12.25 x^

780 [=_ 1950.4875

Ejemplo 1.3 Calcule: (16.5) (178) + (21.7) (14.3) - (10.7) (11)

N

Solución:

(16.5) (178) + (21.7) (14.3) - (10.7) (11) = 2 937 + 310.31 - 117.7

Primero se efectúan las multiplicaciones.

= 3129.61

La suma y la resta se llevan a cabo al final, siguiendo el orden de izquierda a derecha.

Para obtener el resultado de manera directa, mediante una calculadora, la secuencia de tecleo sería la siguiente: 16.5

178 [ + 21.7 [X 14.3

10.7 [X 11 [=_ 3129.61

Ejemplo 1.4 Evalúe: (80 - 13.85 - 4.76) (14) - (75.5 + 27.9 - 14) - 3

O

40 Cap. 1

Generalidades

Solución: (80 - 13.85 - 4.76) (14) - (75.5 + 27.9 - 14) = (61.39) (14) — 89.4 -5- 3

3

Primero se efectúan las operaciones que están entre paréntesis.

= 859.46 — 29.8

Se realiza la multiplicación y la división.

= 829.66

Al final se lleva a cabo la resta.

La secuencia de tecleo para el resultado directo es: 13.85 1 ^ 4 . 7 6 l i j | x j 14 t J l L 7 5

[C_80

5

liL27-9 L .

14

ÍL

3

829.66

Ejemplo 1.5 Obtenga el valor de: 70 -s- 5 X 20 X 0.35

% 70

Solución: 5 X 20 X 0.35 = 98

Como la multiplicación y la división se encuentran en el mismo nivel de prioridad, el cálculo se efectúa procediendo de izquierda a derecha.

La secuencia de tecleo es: 70

Ejemplo

5 X_ 20 X_ 0.35 =

98

2)

Calcule: (96.3X14.8)+ (73.4X6.1) (17.6X15) Solución: La expresión anterior significa que el resultado del numerador se divide entre el resultado del denominador; esto es, ((96.3X14.8)+ (73.4X6.1)] [(17.6X15)]

Potencias y raices

La secuencia de tecleo es: {_(_ 96.3 l x

14.8 ±

73.4 X 6.1 j j ^

17.6 X 15|_)_ ^

7.094621212

Otra forma de tecleo es: 9 6 3

1>L

14 8

- JL

73

- 4 2 í 6.1 N : 1872.98

17.6

15

7.094621212

En este momento es necesario señalar que las respuestas obtenidas por el lector al resolver los problemas pueden diferir levemente de las respuestas dadas en el libro, ya que las aproximaciones decimales varían con el método de cálculo. Igualmente, las respuestas varían si se utiliza una calculadora de 8 dígitos en vez ...