Matemáticas I 7 Métodos de integración PDF

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Temario de Calculo en la Universidad de Navarra, Tecnun...

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7.

Tema 7

tit

La integral indefinida Métodos de integración 7.1. Primitiva de una función. Integral indefinida Definición: Dada una función f (x) definida en un intervalo I ⊆ R , decimos que F (x) es una primitiva de f (x) en I ⊆ R si ∀x ∈ I , F ′( x) = f ( x) . De esta definición se deducen inmediatamente las dos propiedades siguientes: • •

Si F (x) es una primitiva de f (x) en I ⊆ R , entonces F ( x) + C , con C ∈ R , también es primitiva de f (x) en I ⊆ R . Si dos funciones F1 (x ) y F2 ( x) son dos primitivas de f (x) en I ⊆ R , entonces F1 ( x ) y F2 ( x) difieren en una constante, es decir, ∃C ∈ R / F1( x) = F2 ( x) + C .

Definición: Dada una función f (x) definida en un intervalo I ⊆ R , llamamos integral indefinida de f (x) en I al conjunto de todas las primitivas de f (x) en I, y se designa

∫ f ( x) dx . De acuerdo con las propiedades anteriores, si F (x) es una primitiva de f (x) en I ⊆ R ,

∫ f (x ) dx = F ( x) + C , siendo C una constante arbitraria. Definición: Se dice que una función f (x) es integrable en I si existe la integral indefinida, o lo que es lo mismo, existe una primitiva de f (x) en I. No toda función tiene función primitiva, sin embargo se verifica el siguiente teorema: Teorema: Toda función f (x) continua en I, tiene una función primitiva en I y, por tanto, es integrable.

Propiedades de linealidad Dadas dos funciones f (x) y g (x) con primitiva en I, ∀α ∈ R , 1) la función suma

f ( x ) + g ( x)

también tiene primitiva en I y se verifica

∫ ( f ( x) + g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx +∫ g ( x) dx . 2) la función α f (x) tiene primitiva en I y se verifica ∫α f ( x) dx = α ∫ f ( x) dx .

93

Funciones de una variable

7.2. Tabla de integrales inmediatas Recurriendo a las derivadas de las funciones elementales, puede construirse la siguiente tabla de integrales indefinidas, donde cada una es válida en cualquier intervalo contenido en el campo de definición de la función integrando. En la columna de la derecha u = u (x) y u ′ = u ′(x) . α

∫x

dx =

x

α +1

α +1

(α ≠ −1)

+C

u′

1

∫ x dx = ln x + C x ∫ a dx =

∫u

ax +C ln a

( a > 0, a ≠ 1)

x

dx

∫ cos 2 x = ∫ (1 + tg dx

2

u α +1 +C α +1

dx = ln u + C

u ∫ a u ′ dx =

au +C ln a

u

x ) dx = tg x + C

u′

∫ cos

2

u

dx = ∫ (1 + tg 2 u) u ′ dx = tg u + C

u′

∫ sen u dx = ∫(1 + ctg ∫ ch u u ′ dx = sh u + C ∫ sh u u ′ dx = ch u + C

dx = (cth 2 x − 1)dx = − Cth x + C 2 x ∫ dx ∫ 1 + x 2 = arctg x + C  arcsen x + C dx ∫ 1 x 2 =  − arccos x + C (x < 1 ) −

∫ sh

2

2

∫ sh

dx

2

= arg th x + C =

∫

dx x2 + 1

1 1+ x +C ln 2 1− x

(x < 1 ) (x ≠ 1 )

= arg sh x + C

dx x −1 2

u′

∫ ch

2

u

dx = ∫ (1 − th 2 u ) u ′dx = th u + C

u

dx = ∫ (cth 2 u − 1)u ′ dx = − Cth u + C

u′ 2

94

x2 − 1 + C

u ) u ′ dx = −ctg u + C

u′

∫1+ u

2

dx = arctg u + C

 arcsen u + C dx =  − arccos u + C 1− u u′ ∫ 1 − u 2 dx = argth u + C 1 1+ u +C = ln 2 1− u u′ ∫ u 2 + 1 dx = arg shu +C

∫

u′

2

(u < 1 )

(u < 1 ) (u

≠ 1)

= ln(u + u 2 + 1) + C

∫

= argch x + C = ln x +

2

2

= ln(x + x 2 + 1) + C

∫

( a > 0, a ≠ 1)

u

∫ sen x = ∫ (1+ ctg x ) dx = − ctg x + C ∫ ch x dx = sh x + C ∫ sh x dx = ch x + C dx 2 ∫ ch 2 x = ∫ (1 − th x ) dx = th x + C

∫ 1− x

(α ≠ −1)

∫ e u ′ dx = e + C ∫ cos u u ′ dx = sen u + C ∫ sen u u ′ dx = − cos u + C

∫ e dx = e + C ∫ cos x dx = sen x + C ∫ sen x dx = − cos x + C x

α ∫ u u ′ dx =

( x > 1)

u′ u 2 −1

dx = argchu + C = ln u + u 2 − 1 + C

(u > 1)

Tema 7. Integral indefinida. Métodos de integración

7.3. Métodos de integración 7.3.1. Integración por cambio de variable Teorema: Sea f (x) una función integrable en I. Sea x = ϕ (t ) una función derivable en un intervalo J, con ϕ ( J ) ⊆ I , que admite función inversa en I, t = ϕ −1 ( x ) . Entonces se verifica

∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ ′(t) dt Demostración: Sea F (x) una primitiva de f (x) en I. Se define la función compuesta G (t ) = F (ϕ (t )) . Aplicando la regla de la cadena, dϕ dF d ϕ d d G (t ) = F (ϕ (t )) = = f ( x) = f (ϕ (t ))ϕ ′ (t ) dt dx dt dt dt

de donde se deduce que G (t ) es una primitiva f (ϕ (t )) ϕ ′(t ) y por tanto,

∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ ′( t) dt . Nota: Basándose en el método de cambio de variable, cualquiera de las integrales ∫ f ( x) dx = F ( x) + C citadas en la tabla de integrales inmediatas puede ser automáticamente generalizada del siguiente modo

∫ f [u (x )]u ′(x )dx = ∫ f (u )du = F (u )+ C = F [u (x )]+ C Ejemplo: 2 ∫ sen x cos x dx

=

↑ u = sen x du = cosx dx

2 ∫ u du =

3

3

u sen x +C= +C 3 3

7.3.2. Integración por partes Teorema: Sean dos funciones u (x) y v (x) de clase C1) en I. Se verifica

∫u ( x) v ′( x) dx = u ( x)v( x) − ∫v( x) u ′( x) dx Demostración: Si se deriva el producto de funciones d [u ( x ) v (x ) ]= u′ (x )v( x) + u ( x)v′ ( x) dx y por tanto ∫ (u ′(x )v (x ) + u (x )v ′( x) )dx =u ( x) v( x) . Aplicando la propiedad de linealidad respecto de la suma y despejando, se obtiene

95

Funciones de una variable

∫ u ( x)v ′( x) dx =u( x) v( x) − ∫ u ′( x) v( x) dx . La fórmula de integración por partes se suele escribir de modo simplificado como sigue ∫ u dv = u v − ∫ v du Ejemplo: Hallar la integral indefinida I = ∫ x cos x dx Llamando u= x  du = dx ⇒  dv = cos x dx v = sen x I =

∫ x cos x dx = x sen x − ∫ sen x dx = xsen x + cos x + C

Ejemplo: En ocasiones se necesita aplicar más de una vez la fórmula de integración por partes para resolver una integral. I = ∫ x 2 e x dx

Llamando u = x 2  du = 2 x dx ⇒  x x v =e  dv = e dx

I = ∫ x 2 e x dx = x 2e x − 2 ∫ x e x dx . Aplicando de nuevo lo integración por partes para la integral obtenida, u= x  du = dx ⇒  x x dv = e dx v = e

(

)

I = ∫ x e dx = x e − 2∫ x e dx = x e − 2 x e − ∫ e dx = x e − 2 x e + 2e + C = x

2

2 x

(

x

)

2 x

x

x

2 x

x

x

= e x x 2 − 2x + 2 + C Ejemplo: Puede ser útil utilizar la fórmula de integración por partes cuando el integrando es una función trascendente. I = ∫ln x dx

Llamando u = ln x  dv = dx

96

1  du = dx ⇒ x  v = x

Tema 7. Integral indefinida. Métodos de integración

I=

1

∫ ln x dx = x ln x − ∫ x x dx = xln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C

7.3.3. Integrales de funciones racionales P (x ) siendo Q (x ) P (x ) y Q (x ) funciones polinómicas en x con coeficientes reales, Q ( x ) ≠ 0.

Recordemos que una función racional es una función de la forma R( x) =

P (x ) es propia si Q (x ) gradoP ( x) < gradoQ ( x ) . En caso contrario se dirá que la función racional es impropia. R (x ) =

Definición: Diremos que una función racional

Dada una función racional impropia, dividiendo numerador por denominador según la regla de división de polinomios, P ( x ) = A( x ) Q ( x ) + B( x ) , con gradoB ( x) < gradoQ ( x ) , de donde P (x ) B (x ) , = A(x ) + Q (x ) Q( x) es decir, toda función racional impropia se puede descomponer como suma de un polinomio, A(x), y una función racional propia. Por esta razón, a partir de ahora se estudiará solamente la integración de funciones racionales propias. (Observe que la integración del polinomio A(x) es inmediata, según la tabla de la sección 7.2.)

7.3.3.1. Descomposición en fracciones simples Recordemos que todo polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces, que pueden ser reales o parejas de números complejos conjugados. Por otra parte, obsérvese que [x − (a + bi )][x − (a − bi ) ]= ( x − a ) 2 + b 2 . Por tanto, si un polinomio Qn (x ) tiene las raíces reales r1 , ..., rk de multiplicidad n1 , ..., nk , respectivamente, y las parejas de conjugadas ( p1 ± q1i ), ..., ( ph ± q h i ) de multiplicidad m1 , ..., mh , respectivamente, se puede escribir

[

Qn ( x) = a ( x − r1 ) n1 ⋅ ... ⋅ ( x − rk ) nk ⋅ ( x − p1 ) 2 + q12

]

m1

[

⋅ ... ⋅ ( x − p h ) 2 + q h 2

]

mh

(1)

siendo a el coeficiente de la potencia de x de mayor grado de Q n (x ) . Definición: Se llaman fracciones simples a las funciones racionales de la siguiente forma A A Mx + N Mx + N I) , II ) , III ) , IV ) n n 2 2 x −r ( x − p) + q (x − r ) ( x − p) 2 + q 2

[

]

con A, M , N , p, q, r ∈ R y n ∈ N , n > 1.

97

Funciones de una variable

Teorema: Toda fracción propia puede expresarse como suma de fracciones simples. Si P( x) la fracción propia es con el denominador Q (x) factorizado como en la expresión Q( x) (1), dicha expresión tiene la forma: An 1  Ln k  L1 P( x)  A1 A2   + ...... + =  + n 1  + ........ +  2 + ...... + Q( x)  x − r1 ( x − r1) ( x − r1)  ( x − rk ) nk  x − rk

 +  

 M 1x + N1  P1 x + Q1 Pm h x + Qm h M m1 x + N m1  ... ... + + +  + + + ... +  m1 2 2 2 2 2 2 ( x − ph )2 + q2h (x − p1 ) + q1   (x − p1 ) + q1  ( x − ph ) + qh Ejemplo:

[

]

[

]

mh

 . 

P (x ) una función racional propia cuyo denominador Q (x) tiene las siguientes Q (x ) raíces: r1 = 1 , con multiplicidad 3 r2 = − 2 , con multiplicidad 2 2 ± 3i , pareja de complejas conjugadas de multiplicidad 2 5 ± i , pareja de cojugadas de multiplicidad 1.

Sea

La descomposición en suma de fracciones simples será de la forma

A A2 A3 B B2 M x+ N M 2 x + N2 P( x) = 1 + + + 1 + + 1 2 1 + + 2 2 3 2 Q( x) x − 1 (x − 1) x + 2 (x + 2) ( x − 1) ( x − 2) + 9 ( x − 2) 2 + 9 Ux + V + ( x − 5) 2 + 1 Gracias a este teorema, basta con saber integrar las fracciones simples para ser capaces de hallar la integral de cualquier función racional.

[

]

Ejemplo: La integral

∫x

2

dx es una integral racional cuyo denominador tiene dos raíces −16

simples. El integrando se descompone del siguiente modo: A B 1 , = + 2 x −16 x − 4 x + 4 de donde, A( x + 4) + B ( x − 4) = 1 ; ( A + B )x + 4 A − 4B = 1 . Igualando coeficientes, A+B = 0 4 A − 4B = 1 de donde A = 1 ; B = − 1 . 8 8 dx dx dx x −4 ∫ x 2 − 4 = 81 ∫ x − 4 − 18 ∫ x + 4 = 18 ln x − 4 − 18 ln x + 4 + C = 18 ln x + 4 + C

98

Tema 7. Integral indefinida. Métodos de integración

7.3.3.2. Integración de las fracciones simples I)

A

∫ x − r dx = A ln x − r

+C

A 1 (x − r )− n +1 + C = A +C 1− n (x − r )n−1 − n+1 Mx + N M ( x − p ) + N + Mp dx = dx = ∫ III) ∫ 2 2 ( x − p) + q ( x − p) 2 + q 2 x−p 1 dx + (N + Mp )∫ =M ∫ dx = 2 2 ( x − p) + q ( x − p) 2 + q2 M N + Mp 1 = ln ( x − p) 2 + q 2 + dx = ∫ 2 2 2 q x − p   + 1   q  M N + Mp  x− p  + C = ln ( x − p ) 2 + q 2 + arctg q 2  q  Mx + N dx IV) ∫ n ( x − p) 2 + q 2

II)

A

∫ (x − r ) dx = A∫ (x −r )

−n

n

[

dx =

]

Este tipo de integrales se resolverán mediante el método de Hermite. Sea

P( x) una función racional propia cuyo denominador Q (x) se puede expresar Q( x)

[

Q (x ) = a (x − r1 )n1 ⋅ ...⋅ (x − r k )n k ⋅ (x − p 1 )2 + q12

]

m1

[

⋅ ... ⋅ (x − p h )2 + q h

]

2 mh

Se definen dos polinomios

[

2 Q 1 (x ) = a (x − r1 )n1 −1 ⋅ ... ⋅ (x − r k )n k −1 ⋅ (x − p1 ) 2 + q1

[

2

] [

]

m1 −1

[

⋅... ⋅ (x − p h )2 + q h 2

Q 2 ( x) = a ( x − r1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − rk ) ⋅ ( x − p1 ) 2 + q 1 ⋅ ... ⋅ ( x − p h )2 + qh

2

]

]

m h −1

Se pueden determinar dos polinomios P1( x) y P2 ( x) de grado una unidad inferior a los de Q1 ( x) y Q2 ( x) , respectivamente, que verifiquen P( x) d = Q( x) dx

 P1 ( x )  P2 (x )    Q ( x)  + Q ( x ) 2   1

Una vez hallados estos polinomios, integrando la expresión anterior se obtiene

P (x )

P1 ( x )

P2 ( x)

∫ Q (x ) dx = Q1 (x ) + ∫ Q2 ( x) dx .

99

Funciones de una variable

P2 ( x ) es una función racional propia y su denominador solamente Q2 (x ) tiene raíces simples por lo que se pude descomponer en suma de fracciones simples del tipo I) y III).

Obsérvese que

Nota: El método de Hermite es válido para la resolución de todo tipo de integrales racionales con raíces múltiples en el denominador, tanto si son reales como complejas. Ejemplo: 2 5 x + 6x I=∫ dx (x + 2 )(x 2 + 1) 2 Se trata de una función racional propia cuyo denominador tiene x = −2 raíz real simple y una pareja de conjugadas x = ±i de multiplicidad 2. La descomposición adecuada según el método de Hermite sería 5x + 6x 2 2

( x + 2)( x + 1)

2

=

d  a + bx  Mx 2 + Nx + P  + dx  x 2 + 1  ( x + 2)( x 2 + 1)

Derivando y operando se obtendrían los coeficientes a, b, M, N, y P. La integral resultaría la suma de una función racional y otra integral propia que en este caso tiene una raíz real simple y una pareja de conjugadas. a + bx 5x + 6x 2 ∫ (x + 2)3 ( x 2 + 1)2 dx = x 2 + 1 +

Mx 2 + Nx + P ∫ (x + 2)(x 2 + 1) dx

Mx 2 + Nx + P ∫ ( x + 2)( x2 + 1) dx descomponiendo en suma de dos fracciones simples del tipo I) y III). Quedaría por hallar la integral

7.3.4. Integrales que se pueden reducir a integrales de funciones racionales En algunos casos, las integrales de funciones trascendentes se pueden reducir a integrales de funciones racionales mediante cambios de variable adecuados. A continuación se presenta una tabla con algunos de estos casos. En clase se trabajarán ejemplos de cada una de ellas. TIPO DE INTEGRAL Funciones racionales en sen x y cos x: Impar en sen x R (− sen x , cos x) = − R (sen x, cos x) Impar en cos x R (sen x, − cos x ) = − R(sen x, cos x) Par en sen x y cos x R (− sen x , − cos x) = R(sen x, cos x) 100

CAMBIO DE VARIABLE

∫ R(sen x, cos x) dx cos x = t sen x = t

tg x = t

Tema 7. Integral indefinida. Métodos de integración

tg

Caso general Funciones racionales en ex:

∫ R (e

x

) dx

x =t 2

e x =t

101

Funciones de una variable

Ejercicios

1. Integrales casi inmediatas o mediante cambio de variable (Ejercicios de repaso) dx

I1 = ∫ I4 =

3

∫

I 10 =

I2 = ∫

x2

3x + 2

dx

x x

I7 = ∫

dx

2

x +a

2

dx

dx

I3 = ∫

3 x+1

4

I 6 = ∫ tg 2 x dx

I 8 = ∫ 5 x x 2 + 7 dx

I9 =

∫ 3 8 − x 2 dx

I 12 =

∫

2 x − sen 2 x x + cos x 2

2

1

dx

4x

e x I 13 = ∫ 2 dx x

I 14 = ∫

I 16 = ∫ sen 2 2 x ⋅ cos 2 x dx

I 17 = ∫ esen x ⋅ cos x dx

I 18 = ∫

x

I 21 = ∫

I19 = ∫

dx a2 + b2x2

I 22 =

e ∫ 1 + e 2x dx

I 28 =

ln(ln x ) ∫ x ln x dx

I 31 = ∫

x −9 4

cos ( x )

∫ 1 + x 4 dx

I 23 =

ln x ∫ x dx

I 26 =

20 + 8 x − x 2

x 2 −3 −3 x 2 +3

2

dx

∫

I 29 = ∫

dx

I 32 = ∫

dx x ⋅(1 + x) x7 1 − x 16

dx

cos x

dx

x

I 15 = ∫ e x sec 2 (e x ) dx

2

dx

∫

x 2

I 20 =

x

I 25 =

dx

2+x3

I 5 = ∫ tg x dx

I 11 = ∫

∫ (3x + 2)5

x2

dx 1+ 4 x2

dx 1 − 25 x 2 dx

I 24 =

∫ x2 + 6 x + 13

I 27 =

sen n x ∫ cos n+2 x dx

I 30 = ∫

3

arctg x dx 1+ x 2

dx 1 + x2

Para resolver las integrales que se proponen a continuación hay que usar algunas de las relaciones trigonométricas I 33 = ∫ cos 2 x dx

102

I 34 = ∫ sen 2 x dx

I 35 = ∫ cos3 x dx

Tema 7. Integral indefinida. Métodos de integración

I 37 = ∫ sen 5 x cos 3 x dx

I 36 = ∫ cos4 x dx

I 38 = ∫ cos 5 x cos 3 x dx

2. Integración por partes (Ejercicios de repaso) I1 = ∫ x sen 2 x dx

I 2 = ∫ x ln x dx

I 3 = ∫ x 2 sen 3 x dx

I 4 = ∫ x 2 ⋅ e x dx

I 5 = ∫ e ax sen(bx) dx

I 6 = ∫ x (3 x + 5)10 dx

I 7 = ∫ arctg x dx

I 8 = ∫ ln x dx

3. Integrales de funciones racionales. 4 3 I 3 = ∫ x − 3x − 2x − 1 dx x −x

I1 = ∫

3 dx (x + 1)(x − 2)

I4 = ∫

x dx ( x + 1) 2

2 I 5 = ∫ 5 x +2 6 x + 9 2 dx (x − 3) (x + 1)

I7 = ∫

x 2 − 3 dx x 2 − 6x + 10

I8 = ∫

I 10 = ∫

dx a2 − x 2

I13 = ∫

x2 ( x2 + 1) dx x2 + 4

I 11 = ∫ 5 x + 6 x3 dx (x + 1) x+3 I 14 = ∫ 2 dx x −2x +5

I2 = ∫

2

10 x dx 2 2x − 3x − 2

5 dx (x + 4)( x + 1) 2

2

4. Integrales de la forma

I6 = ∫

2x + 8 dx + x 6 x + 13

I9 = ∫

dx x −1

I 12 = ∫

x 2 + 6 x + 17 dx x 2 + 2 x + 10

2

4

∫ R (sen x, cos x) dx

2 I 1 = ∫ 1 + sen x dx sen x⋅ cos x

I2 = ∫

dx 1 + a sen 2 x

(a > −1)

I 3 = ∫ cos 4 2 x ⋅ sen 3 2 x dx

I4 = ∫

tg x dx 1 + cos x

I5 = ∫

cos x dx + a b 2 sen x

sen x

I7 = ∫

dx cos 3 x

I8 = ∫

dx 2 sen x ⋅ cos x

I 10 = ∫

dx sen x

I 11 =

I6 =

∫ sen x + cos x

2 I 9 = ∫ sen x ⋅ dx cos x dx I 12 = ∫ sen x...