Matemáticos y sus aportes (siglo XIII- XVI) PDF

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Breve compendio de la historia de las bases del cálculo, pasando a través de distintos matemáticos....

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Colegio Preparatorio Diurno de Xalapa Proyecto 1

Evolución del cálculo 1201-1600 Matemáticas V

d

tr. Callejas Tejada Luciano ejía Nájera Ángel Josué 5°C

21/09/018

ÍNDICE INTRODUCCION....

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MATEMÁTICOS Y SUS APORTES...

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Siglo XIII...

4

Leonardo de Pisa...

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Chu Shih-Chieh...

5

Robert Grosseteste...

6

Ch'in Chiu-Shao ...

7

Nasir-Eddin...

8

Siglo XIV...

9

Oresme...

9

Madhava de Sangamagramma...

10

Thomas Bradwardine...

11

Narayana Pandit...

12

Siglo XV...

13

Luca Pacioli...

13

Johann Müller...

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Nícolas Chuquet...

16

Michael Stifel...

17

Siglo XVI...

18

François Viète...

18

Simon Stévin...

19

Gerolamo Cardano...

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Rafael Bombelli...

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John Napier...

23

Thomas Harriot...

25 2

Johannes Kepler...

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Cronología-síntesis de los aportes más importantes a las matemáticas de 1201-1600...

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CONCLUSIONES... BIBLIOGRAFÍA... 33

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INTRODUCCIÓN El cálculo como tal, específicamente el cálculo infinitesimal, tienen sus orígenes a partir del siglo XVII con grandes matemáticos como Isaac Newton o Leibniz. Sin embargo, como toda ciencia, tiene un pasado. Años y años atrás, grandes personalidades de las matemáticas han aportado su grano de arena a esta área, incluyo aquellos que se especializaron en ramas tan ajenas en sus tiempos como pudiese ser la trigonometría, el álgebra o la geometría. Por lo anterior, esta obra pretende escrudiñar a detalle los grandes aportes de distintos matemáticos o incluso no matemáticos, a la matemática en sí, teniendo sumo cuidado en que estos tengan relación como cimiento de lo que más tarde se denominaría como calculo infinitesimal. Así pues, el periodo a abarcar será del 1201-1600 (siglo XII al XVI). Dicho periodo a grandes rasgos se caracterizó por ser un lapso de grandes cambios, donde se dio paso de un sistema feudal medieval en decadencia donde abundaba el oscurantismo a un sistema renacentista donde las artes y las ciencias renacieron y con ello el interés de la gente por descubrir nuevas matemáticas, floreció a más no poder. Así mismo, justo fue en este periodo en donde países ajenos a Europa, al menos entre los siglos XIII al XV) tomaron absoluto protagonismo en el constante y asombroso desarrollo de las matemáticas. Entre ellos podremos encontrar a los turcosárabes, los chinos y los indios que destacaron principalmente con la formación de grandiosos matemáticos en su escuela de Kerala, dichos matemáticos, como un adelanto, se adelantaron varios años a sus contemporáneos europeos, llegando incluso a tener cimientos del cálculo diferencial apenas venido el siglo XIV. Enfocándome más en el contenido de la obra, los aportes se organizarán por matemático, entre los cuales sólo se incluirán lo más importantes o destacados de su época a criterio del autor. A su vez, dichos matemáticos, se clasificarán por siglo. Finalmente, se incluirán una pequeña cronología-síntesis, donde se incluirán los hechos más relevantes que afectaron a la historia de los matemáticos y del cálculo entre los años 1201 y 1600. Por último, sólo recalcar que, la omisión de un tema no implica que sea menos importante, es sólo que las matemáticas tienen una historia larga y gloriosa, aunque ciertamente olvidada, pero lo que sí, es que esta disciplina ha influenciado enormemente sobre el desarrollo de la cultura humana, y por lo mismo menciono que si este libro transmite una minúscula parte de la esencia, de la historia, habrá, sin dudas, alcanzado mi objetivo planteado.

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MATEMÁTICOS Y SUS APORTES

1.- Cualesquiera dos términos consecutivos son primos entre sí (an 1, an) = 1

Siglo XIII Leonardo de Pisa 2

Fue el más notable matemático de la edad media. Nació aproximadamente en 1,170 en Pisa, Italia, donde su padre era comerciante, lo que per mitió a Leonardo viajar a Egipto, Sicilia, Grecia y Siria, aprendiendo las matemáticas árabes.

(

5−1 √¿ ¿ an∗1 = 1 ¿ an 2 ¿ lim ¿

)

n →m

, la "razón dorada"

En 1202 escribió su obra: LIber Abaci, de aritmética y álgebra elemental. Utiliza el sistema hindú-arábico de número decimal posicional influyendo para la adopción de este sistema en Europa. En este libro, explica la notación y lectura de los números, métodos de cálculo para enteros y fracción, raíces cuadradas y cúbicas y solución de ecuaciones lineales y cuadráticas por falsa posición y por método algebraico. El álgebra es retórica y no acepta soluciones negativas o imaginaras. Incluye aplicaciones comerciales y geométricas y un problema que conduce a la llamada “Secuencia de Fibonacci”. 1,1,2,3,4,8,13,21,.......,an,....

. Donde an= an*2+an*1 , para n>2. f

Se aplica en Biología a ciertos procesos de crecimiento orgánico. (Floración). En 1220 escribió su libro Practica Geometriae sobre Geometría y Trigonometría con la técnica Euclideana y su técnica personal, y en 1225 escribió su libro Liber Quadratorum, original y brillante trabajo sobre análisis indeterminado que distingue a Fibonacci como el más notable en este campo, entre Diofanto y Fermat. Fibonacci resolvió los 3 problemas que presentó John de Palermo, matemático de la corte de Federico II, en una competencia: 1° Encontrar un número tal que ( x2 + 5 ) y ( x2 - 5 ) sean cuadrados de números racionales. La respuesta de Fibonacci fué: x=

( )

49 41 2; (x 2 −5 )=(31 /12)2 ; ( x 2+ 5 )= 12 12

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Este problema aparece en su l.iber Quadratorum 2° Encontrar una solución de la ecuación cúbica: x3 + 2 x2 + 10 x = 20 Su respuesta fue: x=l.3688081075, correcta a nueve decimales. 3° Tres personas poseen cierta cantidad de dinero x, de la cual, al primero le corresponde la mitad, al segundo la tercera parte y al tercero la sexta parte. Cada uno de ellos toma una cantidad a, b y c de dinero que agotan la cantidad total. Después, el 1" regresa la mitad de lo que había tomado, el 2" la 3a parte y el tercero la sexta parte de lo que habían tomado. Cuando el total regresado se divide igualmente entre ellos, cada uno tiene lo que le corresponde. ¿Cuánto dinero había originalmente y cuanto tomó cada uno al principio? El 2° y 3° problemas aparecen en el libro de Fibonacci llamado Flos (Floración).

Chu Shih-Chieh

elemental que ejerció sin embargo una gran influencia en Corea y en Japón, aunque en China desaparición más tarde y estuvo perdido has tu separación en el siglo XIX. Mayor interés histórico y matemático tiene el Ssu-yüan yü-Chien o “Espejo Precioso de los Cuatro elementos”, escrito en 1303, libro que, por cierto, también desapareció pronto en China. Los cuatro elementos representan las cuatro incógnitas de una ecuación. En él se estudian tanto sistema de ecuaciones simultáneas como ecuaciones individuales de grados tan altos como 14. Además, en ese libro, en el año 1303, Chu Shih Chieh describió el conocido triángulo de Pascal e indicó que servía para obtener los coeficientes del binomio (a+b) n. El Método del Fan Fa es un método de cambio de variable para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones polinómicas. Dicho sistema se conoce en occidente como “El método de Horner”.

Fue el último y más importante matemático chino del período Sung. Se desconocen las fechas exactas de su nacimiento y de su muerte. Sólo se sabe que se ganaba la vida enseñando matemáticas de forma itinerante durante 20 años. En esos años, encontró el tiempo y la tranquilidad suficiente para escribir 2 tratados; el primero de ellos, escrito hacia el 1299, fue el Suan-hsüeh ch’imeng o “introducción a los estudios matemáticos”, un libro relativamente

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A continuación, un par de ejemplos: Para resolver x2+252x-5292=0, obtiene por tanteo un valor aproximado por defecto, x=19. Luego hace el cambio de variable (el Fan Fa) y=x-19 para obtener y2+290y143=0. Esta ecuación tiene como solución aproximada y=143/ (1+290)=143/291. Deshaciendo el cambio la solución aproximada es x=19+143/291. En el caso de la ecuación x3-574=0, se obtiene por tanteo x=8 y se hace el cambio y=x-8. La nueva ecuación y3+24y2+192y-62=0 tiene como solución aproximada y=62/ (1+24+192)=2/7. Por tanto, la aproximación buscada es x=8+2/7. En el Espejo Precioso aparecen ejemplos de sumas de series finitas sin demostración alguna: 12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/3! 1+8+30+80+...n2(n+1)(n+2)/3!= n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)/5! El libro comienza con un diagrama del triángulo aritmético, conocido en Occidente como triángulo de Pascal, donde figuran los coeficientes de los distintos desarrollos binómicos hasta la octava potencia, escritos en el sistema de numerales a base de varillas y con un símbolo redondo para el

cero. No pretende ser el descubridor del triángulo pues se refiere a él como El Viejo Método del Diagrama de los Siete Cuadrados Multiplicativos.

Robert Grosseteste Nació en 1 168 en Suffolk, Inglaterra. Sus estudios los realizó en la Universidad de Oxford y se convirtió en rector de esa universidad de 1 215 hasta 1 221. En relación con las matemáticas, hizo varios estudios en geometría, ópticas y astronomía. En ópticas experimentó con espejos y lentes. Robert insistía en que cada estudio en donde se tuviese que verificar una teoría, ésta debía ser puesta en experimentación comprobando sus consecuencias. Robert Grosseteste, bajo la influencia de San Agustín, el santo de Hipona, le dio al tema de la luz un lugar privilegiado en función de 2 características esenciales: su afirmación de que la luz es la primera forma corpórea de la creación y, por otro lado, el que su estudio debía ser sujeto a tratamiento matemático. El

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obispo de Lincoln veía en las matemáticas un factor imprescindible para el conocimiento del mundo natural: “La utilidad ee considerar líneas, ángulos y figuras es máxima, pues imposible resulta sin ellas saber filosofías naturales”.

Ch'in Chiu-Shao Ch’in Chiu-Shao nació alrededor de 1202 en la provincia china de Szechuan; su padre era funcionario, y Ch’in seguiría la vocación de su padre.

Grossetete es quizá el primer latino en presentar una ley de refracción, la cual estaba dada de la siguiente manera: “Supongamos que la recta AB es un rayo de luz que incide oblicuamente sobre la superficie de un medio más denso en el punto a. Extiéndase AB a lo largo de BC y sea BD una línea perpendicular a la superficie. Entonces el rayo AB va a ser refractado a lo largo de la recta BE, de forma tal que los ángulos DBE y EBC son iguales. Es decir, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refracción en una razón de dos. Así mismo, Robert reconoció la importancia del ángulo visual para epxlciar problemas de perspectiv tales coo el que objetos se vieran más cercanos, o que las cosas pequeñas se vieran más grande a larga distancia. Dejano claro que, El tamaño del objeto visible varía de acuerdo con el ángulo visual. Tradujo al latín muchas escrituras griegas y árabes e hizo muchos tratados de asuntos científicos. Uno de sus estudiantes mejor reconocidos fue Roger Bacon. Robert murió el 9 de octubre de 1 253 en Buckden, Buckinghamshire, Inglaterra y cincuenta años después fue beatificado como santo.

En sus constantes viajes, llegó a Wuhsing, donde escribió su Tratado Mate mático en 1247. Según su propia cuenta, Ch’in aprendió su matemática de un matemático anónimo. El manuscrito de Ch’in, su única escritura matemática conocida, constaba de nueve partes, cada una de las cuales tenía dos capítulos. Allí se ocupa de análisis indeterminados, cálculos astronómicos, medición de la tierra, topografía por triangulación, impuestos a la tierra, dinero, obras estructurales, asuntos militares y trueque, respectivamente. Ch’in representó el apogeo del logro chino en la arena del análisis indeterminado, que apareció por primera vez en el siglo IV. Un tipo de problema involucraba encontrar un número con varios restos dados para

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divisores dados; estos tipos de problemas ahora caen generalmente bajo el dominio del llamado teorema chino del resto. Uno podría aplicar estos resultados a cálculos de calendario y logística militar, entre otras cosas.

Nasir continuo los esfuerzos por demostrar el postulado de las paralelas partiendo de las conocidas tres hipótesis posibles sobre el cuadrilátero de Saccheri, Su demostración se basa en la siguiente hipótesis:

Qin explica por primera vez cómo expertos chinos calculaban datos astronómicos según el ritmo del solsticio de invierno. Entre sus logros está la introducción de una técnica para solucionar ecuaciones, hallar sumas de series aritméticas y solucionar sistemas lineales. También introdujo el uso del símbolo cero en las matemáticas chinas.

“Si una recta u corta perpendicularmente a otra recta w en el punto A, y si la recta p corta oblicuamente a w en B, entonces las perpendiculares trazadas desde p a u son menores que AB del lado en que p forma un ángulo agudo con w, y mayores del lado en que p forma un ángulo obtuso con w”.

Nasir-Eddin Astrónomo persa, llamado al Thussi o Khodjah ('doctor'), que nació en el Khorasan en 1201 y murió en 1274. Abrazó en sus conocimientos todas las ciencias, pero sobresalió especialmente en las matemáticas y astronomía. Los árabes le compararon a Tolomeo.

Nasir Eddin cultivó también otros de los campos característicos de los interese árabes, como la trigonometría y la astronomía. Le corresponde el mérito de haber escrito el primer tratado sistemático de trigonometría plana y esférica, en el que el material se expone como si se tratase de una materia independiente en sí misma y no como una simple criada de la astronomía. También sintetizó ideas sobre movimientos circulares uniformes, de tal modo que aclaró los siguiente: “Si un circulo rueda sin deslizar sobre la circunferencia de otro circulo de diámetro sobre y

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por el interior, entonces el lugar geométrico de un punto de la circunferencia del círculo menor será un diámetro del círculo mayor”.

Siglo XIV Nícolas Oresme Nació en 1322 en Normandía. Siguió los cursos, en París, del célebre filósofo y físico Jean Buridan, originario de Béthune y teórico del impetus. Enseñó teología en París entre 1358 y 1361. Fue nombrado archidiácono de Bayeux y más tarde designado obispo de Lisieux en 1377. Discute la geometría euclidiana y, precursor de Descartes, preconiza un sistema de coordenadas ortogonales, la longitud y la latitud, a fin de medir las variaciones de intensidad de un valor dado. Antes de 1371, Oresme desarrolla sus ideas en el Tractatus de configuratione potentiarum et mensurarum difformitattum, generaliza la idea de representar una cualidad puntual por medio de un segmento, a la de representar una cualidad lineal por medio de una superficie, una cualidad superficial por medio de un volumen, e incluso a concebir la idea de una cuarta dimensión espacial para poder representar una cualidad de volumen.

En I.iii del Tractatus, "Sobre la longitud de las cualidades", luego de discurrir sobre los nombres que le asignara, Oresme, respetando la tradición, opta por llamar longitud (longitudo) o extension (extensio) a la línea recta considerada sobre o en el seno del cuerpo afectada por una cierta cualidad, y reserva el nombre de latitud (latitudo) o intensidad (intensio), para designar el grado que adopta la cualidad en un punto dado de la extensión. En el Tractatus I.xi se indica lo que para muchos es el germen de la geometría analítica: Así, se podría decir que una cualidad es uniforme si es de igual intensidad en todas sus partes, o que una cualidad uniformemente disforme es tal que, para tres puntos cualesquiera, la relación entre la distancia del primero al segundo y la distancia del segundo al tercero es igual a la relación entre el exceso de la intensidad en el primer punto con respecto al segundo y el exceso de la del segundo con respecto al tercero, si se ha llamado primero al punto en el que la intensidad es la mayor

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Consideremos en principio una cualidad uniforme acabada en grado nulo, que es simbolizada o representada por el triángulo ABC. Una vez trazadas las rectas perpendiculares BC, FG y DE, sea HE paralela a DF y, análogamente, GK paralela a FB. Se tienen así dos triángulos CKG y GHE, que son equiángulos. De acuerdo con la proposición VI.4 de Euclides, la relación entre GK y EH es igual a la relación entre el exceso CK y el exceso GH. Y como GK es igual a FB y también EH es igual a DF, la relación entre FB y DF de las distancias entre los tres puntos de la base es igual a la relación entre CK y GH entre los excesos de las alturas que son proporcionales a las intensidades en los mismos puntos. Dado que la cualidad de la recta AB es tal que la relación entre las intensidades de los puntos de la recta es igual a la relación entre las rectas

trazadas perpendicularmente a los mismos puntos, la proposición es claramente evidente. Quizá el siguiente resultado matemático sea el más popular de Oresme: La serie armónica se define como:

∞

∑ ¿ 1/k k=1

Oresme fue la primera persona que demostró que esta serie no es convergente (concepto que como tal no existía en su época). Su demostración consistió en agrupar los términos de la sucesión en bloques de 2, 4, 8, 16, 32,.., esto a partir de k = 3, la suma de de los términos de cada bloque es mayor a ½. Consiguió así verificar que la serie armónica es mayor que una cantidad (infinita) de ½. ∞

∑ 1/k =1+ 12 +( 13 + 41 ) +( 15 + 61 + 71 + 18 )+... k=1

Madhava de Sangamagrama Nació en 1350 y murió en 1425, fue un importante matemático de Kerala, India. Madhava fue fundador de la Escuela de Kerala, y es considerado el padre del análisis matemático, por haber dado el pa so decisivo desde los procedimientos finitos de los matemáticos antiguos,

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hacia el concepto de infinito -a través del concepto de límite-, núcleo del análisis moderno clásico. Él también es reconocido como uno de los más importantes astrónomos durante la Edad Media europea, debido a sus importantes contribuciones en los campos de series infinitas, cálculo y trigonometría. Todo su trabajo matemático está perdido, y solo se sabe de él por medio de los escritos que legaron sus discípulos, principalmente Nilakantha Somayaji y Jyesthadeva. En particular, Madhava inventó los conceptos de:    

Series Infinitas. Series de Potencias. Series de Taylor. Aproximaciones racionales de series Infinitas.

Además de las contribuciones citadas, desarrolló las series de las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente, y muchos métodos para calcular la longitud de la circunferencia. El trabajo de Madhava sobre el valor de la constante matemática Pi se cita en el Mahajyānayana prakāra ("Métodos para los grandes senos"). Mientras que algunos estudiosos como Sarma creen que este libro pudo haber sido compuesto por el propio Madhava, es más probable que sea obra de un sucesor del siglo XVI. Este texto atribuye la mayoría de las expansiones a Madhava, y da la siguiente expansión de series infinitas

de π, ahora conocida como la serie Madhava-Leibniz:

Thomas Bradwardine Arzobispo de Canterbury, nació probablemente en Chichester, Sussex, en 1290 y murió en Londres el 28 de agosto de 1349. Su nombre se escribe de diversas maneras (Bragwardin, Brandnardin, Bredwardyn, etc.) aunque en documentos públicos es normalmente llamado Thomas de Br...