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in Ed te ic rn ió Villalobos En esta edición internacional de Matemáticas financieras se conservan las características ac n esenciales que han resultado útiles y atractivas para los usuarios de ediciones anteriores: io na l • Gran número de ejemplos resueltos con más de un método, con la finalidad d...

Description

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TERCERA EDICIÓN

José Luis Villalobos

Matemáticas financieras Tercera edición José Luis Villalobos Maestría en Enseñanza de las Matemáticas Universidad Autónoma de Guadalajara, México

Revisión técnica Karl Von Eicken Coordinador de Métodos Cuantitativos en Finanzas Universidad Nacional Autónoma de Honduras Ma. del Carmen Pérez Huerta Directora de Administración Financiera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Elías Ramírez Ramírez Profesor Investigador Departamento de Contabilidad y Finanzas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de México

José Cruz Ramos Báez María de Guadalupe Arroyo Santiesteban Ignacio García Juárez Departamento de Matemáticas Universidad Panamericana, México Adaptación Elizabeth Cascante Gómez Profesora titular Área de Finanzas y Gerencia Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnología (ULACIT) Universidad Latina de Costa Rica Con la colaboración de Pedro A. Marrone Gaudiano Profesor titular Departamento de Matemática Universidad de Panamá

Datos de catalogación bibliográfica VILLALOBOS, JOSÉ LUIS Matemáticas financieras. Tercera edición










PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-970-26-1584-2 Área: Matemáticas Formato: 18.5 ⫻ 23.5 cm

Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de Producción:

Páginas: 640

Melvin Núñez Víquez e-mail: [email protected] Felipe Hernández Carrasco Rodrigo Romero Villalobos

TERCERA EDICIÓN, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1584-4 ISBN 13: 978-970-26-1584-2 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08

Contenido

Prólogo a la edición internacional

ix

Introducción

xi

Agradecimientos Al estudiante Capítulo 1 Fundamentos de matemáticas

xiv xv 1

1.1 Los números Redondeo de números

2 2

1.2 Exponentes, radicales y leyes de exponentes

3

1.3 Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones Expresiones algebraicas Ecuaciones Solución de ecuaciones Ecuaciones lineales

8 8 9 10 10

1.4 Tanto por ciento y porcentaje en serie

14

1.5 Razones y variación proporcional Proporción inversa Proporción mixta

20 22 22

iv

Contenido

1.6 Logaritmos, exponenciales y sus propiedades Propiedades de los logaritmos

27 29

1.7 Logaritmos comunes, naturales y ecuaciones

32

1.8 Problemas de aplicación

38

Capítulo 2 Series y sucesiones

59

2.1 Terminología y clasificación de las sucesiones

60

2.2 Progresiones aritméticas Suma de los primeros términos

64 67

2.3 Progresiones geométricas Suma de los primeros términos

71 74

2.4 Algunas aplicaciones Pérdida del poder adquisitivo

79 84

Capítulo 3 Interés y descuento simple

93

3.1 Algunas definiciones Interés simple e interés compuesto

94 96

3.2 Interés simple Fórmula del interés simple

96 98

3.3 Diagramas de tiempo

105

3.4 Descuento simple Fórmula general

112 114

3.5 Interés simple exacto y comercial

120

3.6 Amortización con interés simple Amortización de renta fija Amortización de renta variable Intereses sobre saldos insolutos (renta fija) Relación entre interés simple e interés global Saldo insoluto

128 128 130 132 136 137

3.7 Ejemplos de aplicación Certificados de inversión (CI) Tarjeta de crédito Inversión en certificados del Tesoro El factoraje

142 142 143 146 147

Contenido

Capítulo 4 Interés compuesto

v

161

4.1 Introducción Variación constante Variación no constante

162 163 164

4.2 Interés compuesto

168

4.3 Tasas equivalentes, efectiva y nominal

178

4.4 Regla comercial y descuento compuesto Descuento compuesto

186 191

4.5 Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor

196

4.6 Algunos problemas de aplicación Flujo de caja Reestructuración de un crédito automotriz Constitución de un fideicomiso con tasa variable Plazos equivalentes

208 208 210 212 215

Capítulo 5 Anualidades

227

5.1 Definiciones y clasificación de las anualidades Clasificación de las anualidades Según las fechas inicial y terminal del plazo Según los pagos De acuerdo con la primera renta Según los intervalos de pago

228 229 229 229 229 230

5.2 Monto de una anualidad anticipada Tasa de interés variable

233 239

5.3 Valor presente de las anualidades ordinarias Ajuste del número de rentas Anualidad general

245 249 251

5.4 Rentas equivalentes Rentas anticipadas Rentas vencidas Anualidad general

255 255 257 260

5.5 Anualidad diferida Tasa variable de interés Anualidad General

264 267 268

5.6 Perpetuidades

273

vi

Contenido

5.7 Algunos problemas de aplicación Costo estimado por consumo de agua Aportaciones a un fondo para el retiro Pagos equivalentes en dos anualidades Utilidades en cultivo de agave Ahorro para estudios profesionales Deuda externa del país Alquiler de viviendas Inversión a plazo fijo en el Banco del Ahorro Nacional Préstamos con periodo de gracia Crédito hipotecario con renta variable Capítulo 6 Amortización de créditos

280 280 280 281 283 284 285 286 287 288 289 303

6.1 Definiciones y sistemas de amortización Amortización gradual Amortización constante Amortización con renta variable

304 304 304 304

6.2 Amortización gradual Renta mínima

305 306

6.3 Saldo insoluto, derechos transferidos y cuadros de amortización Cuadro de amortización

312 314

6.4 Amortización constante Intereses en la amortización constante

319 323

6.5 Amortización de renta variable Variación aritmética Variación geométrica

328 328 333

6.6 Problemas de aplicación Traspaso de un bien considerado su plusvalía Amortización de un crédito de una institución

339 340 349

Capítulo 7 Constitución de fondos

363

7.1 Conceptos generales y definiciones

364

7.2 Fondo de renta fija

364

7.3 Cuadro de constitución de fondos

369

7.4 Fondos de renta variable Variación aritmética Variación geométrica

375 375 381

Contenido

7.5 Problemas de aplicación Rentas que varían aritméticamente en bloques Intereses en un fondo de renta variable Fondo de renta variable considerando inflación Fondo de ahorro para el retiro o Pensiones Capítulo 8 Acciones, bonos y obligaciones

vii

388 388 391 392 393 403

8.1 Introducción Los certificados del Tesoro (CT) Pagaré bancario Aceptaciones bancarias Bonos ajustables del gobierno central o ajustabonos Bonos de desarrollo del gobierno central Certificados de participación ordinarios (Cpos) Bonos del Tesoro Papel comercial Bonos bancarios

404 404 405 405 405 405 405 405 406 406

8.2 Bonos y obligaciones Fechas Valores Partes Rendimientos y tasas

406 407 407 408 408

8.3 Transferencia de bonos y obligaciones

410

8.4 Prima y descuento

419

8.5 Valor contable Acumulación del descuento Amortización de la prima

426 426 429

8.6 Precio entre fechas de cupón Precio de mercado Precio neto o efectivo

435 435 439

8.7 Obtención de la tasa de rendimiento Tasa promedio Método de interpolación Método iterativo Compraventa entre fechas de cupón

446 447 450 451 452

8.8 Acciones y otros títulos de inversión Compra con descuento Compraventa con tasa efectiva Denominación en dólares

458 460 463 464

viii

Contenido

Capítulo 9 Anualidades contingentes

475

9.1 Probabilidad de un evento Los números en las probabilidades Probabilidad de dos o más eventos

476 478 479

9.2 Esperanza matemática

486

9.3 Valor presente de un pago contingente

494

9.4 Tablas de mortalidad Probabilidad de que una persona de x años, viva n años más Probabilidad de que teniendo x años no se cumplan los x + n Probabilidad de que una persona de x años fallezca entre los x + m y los x + m + n años de edad Símbolos o valores de conmutación

500 503 503

9.5 Rentas vitalicias Rentas vitalicias anticipadas Anualidades vitalicias diferidas

512 518 519

Capítulo 10 Depreciación de activos

531

504 505

10.1 Definiciones y conceptos Métodos

532 533

10.2 Método de la línea recta Cuadro de depreciación Depreciación con inflación en el método de la línea recta

534 535 536

10.3 Método de unidades de producción o de servicio Valor contable Depreciación con inflación

544 545 547

10.4 Método de la suma de dígitos Valor contable Depreciación con inflación en el método de la suma de dígitos

552 553 557

10.5 Método de la tasa fija Depreciación de tasa fija con inflación

561 566

10.6 Método del fondo de amortización Valor contable Depreciación con inflación en el método del fondo de amortización

572 575 577

Apéndice A Respuestas de ejercicios impares

591

Apéndice B Tabla 1. Número de cada día del año

613

Índice analítico

617

Prólogo a la edición internacional

Los procesos de cambio y la realidad financiera que se plantean hoy en día obligan a los profesionales en los campos de administración, contaduría, ingeniería, economía y carreras afines, a manejar herramientas y técnicas financieras que les permitan obtener información básica para la toma de decisiones, tanto en inversión como en la selección de fuentes de financiamiento que les brinden condiciones favorables. Desde esta perspectiva, la aplicación adecuada de las matemáticas financieras se torna un factor fundamental en la administración moderna, pues facilita las herramientas que se utilizan en los procesos de toma de decisiones, que le permitan a la empresa ser competitiva en el mercado donde se desarrolla y, a la vez, usar de manera óptima los recursos disponibles. Esta obra precisamente se orienta a brindar al lector las técnicas básicas para aplicar en forma adecuada los procedimientos que les faciliten conocer el uso del dinero, su valor y su capacidad de compra a través del tiempo, así como su aplicación en proyectos de inversión. Esta edición conserva las mismas características de las ediciones anteriores. Se mantuvo el número de problemas propuestos y resueltos con la finalidad de guiar al estudiante en el desarrollo de los diversos temas. También, en sus primeros capítulos se sigue incluyendo una introducción a las matemáticas que, en general, refuerza las bases que le permitan a los estudiantes fortalecer sus conocimientos. Esta edición plantea como novedad la utilización del dólar como moneda genérica, de tal forma que sea más aplicable a todos los países latinoamericanos y que se pueda convertir a la moneda local, según su tipo de cambio, para los objetivos necesarios.

x

Presentación

En el apéndice A se encuentran las respuestas de los ejercicios impares y en el apéndice B se incluye la tabla 1 (número de cada día del año). Además en la página Web www.pearsoneducacion. net/villalobos se incluyen: • Un glosario de términos financieros que se utilizan en el libro. • Un instructivo para calculadora científica que también es útil para la calculadora financiera HP-12C. • Varias tablas financieras que han resultado muy útiles para calcular plazos cuando los tiempos se miden en días. • Una tabla con las aplicaciones que aparecen al final de cada capítulo. Esperamos que esta obra contribuya significativamente al desarrollo profesional de todos sus usuarios. LIC. ELIZABETH CASCANTE G. M.B.A.

Introducción

Porque en los tiempos modernos todo mundo aspira a lograr el máximo beneficio como comprador y los más atractivos rendimientos como inversionista, las matemáticas financieras se han constituido en una de las áreas más útiles e interesantes de la matemática aplicada. La realidad financiera y comercial en nuestros países demanda cada vez más un mayor número de profesionales y personal capacitado para asesorar y dar orientación apropiada a quienes disponen de capitales para invertir y ponerlos a generar intereses y otros beneficios, así como a quienes se ven en la necesidad de conseguir dinero prestado ya sea en efectivo, en bienes o en servicios. A estos profesionales —administradores, actuarios, contadores, economistas y hombres de negocios en general— se dedica esta obra, que es resultado de un esfuerzo por mostrar, de forma clara, sencilla y accesible, los procedimientos y las técnicas que nos permiten conocer cómo el dinero pierde o cambia su valor y capacidad de compra con el paso del tiempo; decimos esto porque es posible asegurar que el estudio de la matemática de las finanzas se reduce a ello: a aprender cómo utilizar de manera correcta las herramientas y la metodología para trasladar, en el tiempo y de forma simbólica, los capitales y los montos que intervienen en cualquier operación de carácter financiero y comercial. Esta tercera edición, con algunas novedades, conserva las características esenciales que resultaron útiles y atractivas para los lectores de las ediciones anteriores, entre las que destacan: • Una gran cantidad de ejemplos se han resuelto con más de un método, principalmente para comprobar los resultados, ya que saber que algo está bien hecho es altamente motivante para quienes estudian matemáticas o cualquier otra área del conocimiento o actividad del ser humano.

xii

Prólogo

• Suponiendo situaciones de la vida real, se justifican casi todas las fórmulas y resultan de fácil comprensión, aun para quienes no habían tenido contacto con los temas que aquí se abordan. • Creemos que los principales obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas son la carencia y el olvido de los conocimientos básicos de nuestros estudiantes, por ello se han incluido en los primeros capítulos, donde se repasan las reglas y los procedimientos del álgebra elemental, así como las progresiones aritméticas y geométricas. Consideramos que con ello, se facilitarán, en buena medida, la comprensión y la asimilación de los capítulos posteriores, aunque, es justo agregarlo, no se perderá continuidad si no se incluyen en un curso regular de matemáticas financieras. • Con la idea de que una imagen dice más que mil palabras, se añadieron gráficas, principalmente las que se refieren a los diagramas de tiempo, los cuales, como se verá a partir del capítulo tercero, son útiles para representar y visualizar las cantidades de dinero en el tiempo, lo que facilita el procedimiento y la resolución de los problemas propuestos. • Se incluyen tablas y cuadros de amortización de créditos y de constitución de fondos, que ilustran las formas en que se amortiza o se reduce un préstamo, así como la forma en que crece el capital que se acumula en un fondo, cuya utilidad inmediata estriba en que tales cuadros constituyen por sí mismos un importante método para comprobar los resultados analíticos. En el apéndice que puede consultar www.pearsoneducacion.net/villalobos se incluyen: • • • •

Las respuestas de los problemas pares e impares propuestos. Un glosario de términos financieros que se vienen en el libro. Un instructivo para calculadora científica, pero también útil para la financiera HP 12 C. Varias tablas financieras, incluyendo la primera, que ha resultado muy útil para calcular plazos cuando los tiempos se miden en días. • También viene una tabla de las aplicaciones que aparecen al final de cada capítulo. Las novedades de esta tercera edición que destacan son: • Se han actualizado las cantidades de dinero, los tiempos y los plazos, pero sobre todo las tasas de interés y de descuento en todos los problemas propuestos y resueltos, para acercarlos más a la realidad actual de los países latinoamericanos. • En forma adicional a los ejercicios de falso y verdadero, de completar oraciones y de respuestas breves, se han incluido problemas de opción múltiple, lo cual enriquece las oportunidades de repasar y reafirmar los conocimientos adquiridos en el aula. También se incrementó el número de ejemplos de aplicación en cada capítulo. Asimismo, se adicionaron temas que no se trataron en la edición anterior, entre los que sobresalen: • Razones y ecuaciones de proporcionalidad (capítulo 1).

Prólogo

• Amortizaciones con interés simple (capítulo 3). • La regla comercial y el descuento compuesto, así como las operaciones con interés compuesto (capítulo 4). • Un instructivo de solución de problemas con calculadora financiera, además del que se tenía para la científica. • El estudio de las anualidades contingentes y las rentas vitalicias, que es la novedad más importante, así como una sección de temas de probabilidades (capítulo 9).

xiii

Agradecimientos

A todos los profesores que utilizan y recomiendan mi libro como texto u obra de consulta en sus cursos, a quienes también agradezco sus valiosas sugerencias e importantes comentarios para esta tercera edición. A Pearson Educación, a los editores Luis Cruz Castillo y Felipe Hernández Carrasco, así como a todo el personal que de alguna manera participó en la realización y también a los involucrados en la promoción de este libro. A los revisores técnicos, por su tiempo y experiencia vertidos en el mejoramiento de la calidad del proyecto. A quienes me ayudaron con la captura del material manuscrito y con la resolución de algunos problemas y ejercicios propuestos. Sus comentarios, sugerencias y opiniones sobre el trabajo que tienen en sus manos serán bienvenidos en la dirección electrónica del autor: [email protected], o en la editorial.

Al estudiante

Es probable que tu interés y tu entusiasmo por aprender matemáticas no sea tan importante como tu dedicación y preferencia por otras asignaturas, por lo que hacer referencia a las causas que dieron lugar a estas actitudes o pretender justificarlas no es tan importante como encauzarlas a la búsqueda de recursos que propicien tal vez no el gusto por las matemáticas, pero sí su mejor comprensión, sobre todo en un sentido conceptual y de contexto, sin m...