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Anotações e resumo, contudo apresentando detalhes importantes da matéria de Cálculo II. ...

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GEX106 – CÁLCULO II – S1 2017 Turmas 19A e 22A - Aulas 5 a 10

6.1

ÁREA ENTRE DUAS CURVAS

UMA REVISÃO DE SOMA DE RIEMANN

(pg. 413)

Seja y  f  x  uma função contínua e não negativa em um intervalo  a, b . Queremos calcular (definir) a área A compreendida entre o eixo dos x’s, o gráfico da função y  f  x  e as retas x  a e x  b . Receita em quatro passos: 

Dividir o intervalo  a, b em n subintervalos e usá-los para dividir a região sob a curva y  f  x  em n faixas verticais;



Chamando de xk a largura do k-ésimo intervalo, aproximar a área da k-ésima

 

faixa por f x*k xk , em que x*k é qualquer ponto no k-ésimo intervalo; 

Aproximar a área total pela soma das aproximações das áreas de cada faixa (essa soma é chamada de soma de Riemann): A

n

* f  xk   xk  k 1



O limite dessa soma, quando o número de intervalos cresce  n    e o tamanho da cada intervalo diminui  max xk  0 é, por definição, a área procurada:

A O problema é calcular

lim

n

  

max x k  0 k 1

b

f xk* xk   f  x  dx a

n

f  xk* xk , que, se existir, deve ser invariante max x  0 k lim

k

1

para diferentes escolhas da partição inicial e diferentes escolhas dos valores de x *k . 1

Não está no livro: Sabemos que se

d F  x  f  x dx



 f  x dx  F  x  C

Suponha que exista uma função G  x  que, para cada x   a , b , forneça a área sob a função f  x  no intervalo  a, x . Claramente, G  a   0 e G  b   A . Além disso, para h  0 , a área no intervalo  x, x  h é dada por G  x  h   G  x  e pode ser aproximada por h฀ f  x . Então:

h  f x 

 G x  h   G  x 

f  x  Fazendo h  0  



G x  h  G  x

f  x  lim

h G x  h  G  x

h 0

฀

h G  x    f  x dx  F x   C

G a   0

G b   A



F  a  C  0

d G  x dx

C   F a 





G  x   F  x   F a 



F b   F a   A   f  x dx

b a

ÁREA ENTRE f  x e g  x 

(pg. 414)

O PRIMEIRO PROBLEMA DE ÁREA Suponha f  x  e g x  funções contínuas em um intervalo

 a, b ,

com

g x   f x  . Queremos a área A compreendida entre os gráficos de g x  e f  x , no intervalo  a, b . O problema pode ser resolvido de maneira semelhante ao problema da área sob uma função não negativa. Considere as figuras (a) e (b) abaixo:

2

Observe que g x   f x  n

f  x   g  x   0 . Então:



   

* * A    f xk  g x k  x k k 1



A

n

 f  x*   g  x*  x k k  k  max x  0 k 1 lim k

b

   f  x   g x  dx a

FÓRMULA PARA A ÁREA

6.1.2

(pg. 415)

Se f  x e g x  funções contínuas em um intervalo  a, b , com

g x   f x  em cada x  a , b  , então a área da região delimitada acima por y  f  x , abaixo por y  g  x  , à esquerda por x  a e à direita por x  b é dada por: b

A    f  x   g  x  dx a

Lista 2.1

Para 10/05/2017 Exercícios 6.1 (pg. 419)

Exemplo 1

ímpares de 1 a 17

Determine a área da região limitada acima por y  x  6 , abaixo por

y  x 2, à esquerda por x  0 e à direita por x  2 .

3

Exemplo 2

2 Encontre a área da região englobada pelas curvas y  x e y  x  6 .

2

Exemplo 4 (pg. 417) Encontre a área da região englobada por x  y e y  x  2 .

REVERTENDO OS PAPÉIS DE x e y Exemplo 5

(pg. 418)

2 A área da região englobada por x  y e y  x  2 , integrando em

relação a y.

4

6.2

VOLUMES POR FATIAMENTO; DISCOS E ARRUELAS (pg. 421)

VOLUMES POR FATIAMENTO Sabemos que um cilindro circular reto de raio r e altura h tem volume V dado por:

V  área de uma seção transversal   altura    r 2h Supondo uma área plana e um eixo x, perpendicular a essa área, sabemos que o sólido gerado pelo deslocamento dessa área na direção do eixo é o que se denomina cilindro reto. Alguns cilindros retos:

deslocamento de um retângulo

deslocamento de

deslocamento de

um disco

um anel

deslocamento de triângulo

O volume de um cilindro reto é sempre dado por:

V  área de uma seção transversal  altura 

O PROBLEMA

(pg. 422)

Suponha um sólido que se estende ao longo do eixo x, limitado à esquerda pelo plano x  a e à direita pelo plano x  b . Determinar o volume V desse sólido, supondo que se conheça a área A x  da seção transversal do sólido por qualquer ponto x  a , b  . A solução: Dividir o intervalo a, b em n subintervalos. Significa dividir o sólido em n fatias.

 

O volume da k-ésima fatia é próximo de A x*k x k , em que xk é a largura da k-ésima

 

fatia e A x *k é a área da seção transversal por um ponto qualquer x *k no k-ésimo subintervalo. O volume total pode então ser aproximado por uma soma de Riemann: V

n

* A  x k  x k  k 1

Tomando-se o limite:

V

lim

n

 

b

 A x *k x k   A x dx

max  xk  0 k

1

a

5

Caso o sólido que se estende ao longo do eixo y, limitado abaixo e acima, respectivamente, por y  c e y  d , e se conheça a área A y  da seção transversal por qualquer ponto y c, d  , o volume V é dado por:

V 

lim

max  yk  0

n

 

d

A y *k y k  A y dy

k1

c

Exemplo 1 (pg. 423) A fórmula para o volume de uma pirâmide reta de altura h e base quadrada de lado a.

6

SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

(pg. 424)

São os sólidos gerados pela revolução de uma região plana ao redor de uma reta (eixo de revolução) que esteja no mesmo plano da região. Exemplos:

Cilindro circular reto 6.3

Esfera sólida

Cone sólido

cilindro circular reto oco

VOLUME POR DISCOS PERPENDICULARES AO EIXO x

(pg. 424)

O PROBLEMA Trata-se de determinar o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região delimitada acima por uma função contínua e não negativa f  x , à esquerda pela reta x  a e à direita pela reta x  b .

Por qualquer x  a , b  a seção transversal é um círculo cuja área é: 2

A  x     f  x  . O volume de revolução é dado, então, por: b

b

a

a

2

V   A  x  dx     f  x  dx

7

Exemplo 2 (pg. 425)

O volume do sólido gerado pela revolução em torno do

eixo x, da região delimitada acima pela curva y  x , à esquerda pela reta x  1 e à direita pela reta x  4 .

Exemplo 3

O volume da esfera de raio r.

8

VOLUME POR ARRUELAS PERPENDICULARES AO EIXO x

(pg. 425)

O PROBLEMA Considere as funções f  x e g  x  , ambas f  x , abaixo por outra g x  , à esquerda pela reta x  a e à direita pela reta x  b .

Por qualquer x  a , b  a seção transversal é uma arruela raio maior igual a

f  x e raio menor g x  , cuja área é, então: 2



2

2

A  x     f  x     g  x     f  x    g  x 

2

.

O volume de revolução é dado, então, por: b

b

a

a



2

2



V   A x dx     f x   g x  dx

Exemplo 4 (pg. 428)

Determinar o volume do sólido gerado pela revolução, em

torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos das funções f  x 

g x   x , acima do intervalo  0, 2 .

Região definida por f  x  e g x 

O sólido de revolução resultante 9

1  x2 2

e

VOLUME POR DISCOS OU ARRUELAS PERPENDICULARES AO EIXO y (pg. 426)

Discos d

Arruelas 2

V    u  y   dy c

Exemplo 5 (pg. 427)

d



2

2



V    w  y   v  y  dy c

Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em

torno do eixo y, da região limitada por y  x , y  2 e x  0.

10

OUTROS EIXOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6

(pg. 427)

Determinar o volume do solido gerado quando a região abaixo da curva

y  x2 e acima do intervalo  0, 2 for girada em torno da reta y   1 .

Lista 2.2

6.3

Para 17/05/2017 Exercícios 6.2 (pg. 428...)

Exercícios 1, 3, 5, 7, 11, 13 e 15.

Exercícios 6.3 (pg. 436...)

Exercícios ímpares de 1 a 15

VOLUMES POR CAMADAS CILÍNDRICAS

(pg. 432)

CAMADA CILÍNDRICA Dois cilindros retos concêntricos determinam um sólido chamado de camada cilíndrica.

O volume de uma camada cilíndrica pode ser calculado por: [área da seção transversal]*[altura]

r r    r21   r11 h    r2  r1  r2  r1  h  2  2 1   r2  r1  h  2 





 2   raio médio  r  h

11

Um corte vertical na camada cilíndrica permite que o mesmo volume possa ser aberto sobre um plano e aproximado por:

 2  r  r  h

 r1  r  r2 

Esta última aproximação é que será usada para resolver o seguinte problema: O PROBLEMA Sejam f  x e g x  funções contínuas e não negativas, com g  x   f  x  para todo x  a , b  . Considere a região R contida entre f  x e g  x  , no intervalo  a, b . Queremos o volume V gerado pela rotação dessa região em torno do eixo y. A SOLUÇÃO A partição do intervalo  a, b em n subintervalos resulta na partição da região R em n faixas. A rotação cada uma dessas faixas em torno do eixo y, resulta em um sólido que pode ser aproximado por uma camada cilíndrica de espessura xk e altura

   

f x*k  g xk* , em que x *k é qualquer ponto no k-ésimo subintervalo. Portanto, o volume desse sólido pode ser aproximado pelo volume da cama cilíndrica, dado por

   

2 x*k  f x*k  g x *k   x k   O volume V pode, então, ser aproximado pela soma de Riemann: n

   

* * * V   2 x k  f x k  g x k  x k k 1

Tomando o limite:

V 

n

2 x*k  f  xk*   g  xk*   xk   max  x  0 k 1 lim k

b

  2 x  f  x   g  x   dx a

12

Exemplo 1 (pg. 434) Usar o método de camadas cilíndricas para determinar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos y da região envolta por y  x , x  1 ,

x  4 e o eixo x.

A região

Corte do sólido resultante Exemplo 2 (pg. 435) Usar o método de camadas cilíndricas para determinar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos y da região R delimitada por y  x e

y  x 2 , no primeiro quadrante.

13

Exemplo 3 (pg. 435) Usar o método de camadas cilíndricas para determinar o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y   1 da região R abaixo de y  x 2e acima do intervalo  0, 2

6.4

COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA

(pg. 438)

O gráfico da função y  f  x  é chamado de uma curva lisa ou curva suave no intervalo  a, b se f   x  é contínua em  a, b .

O PROBLEMA DO COMPRIMENTO DE ARCO Queremos obter uma fórmula para o comprimento de uma curva lisa y  f  x  em um intervalo  a, b .

A SOLUÇÃO Suponha o intervalo  a, b dividido em n subintervalos e que o comprimento da curva no subintervalo xk   xk 1, xk 

possa ser aproximado pelo comprimento do

segmento de reta secante Lk : 14

2

Observe que Lk 

2

xk   yk 

2

2  y   1  k  xk  1   f  xk*  x k ,  x     k

 

porque o Teorema do Valor Médio garante que existe x *k   x k 1 ,x k 

tal que

yk  f x*k . Então o comprimento total L pode ser aproximado por uma soma de xk

 

Riemann: n

n

 

2

L   Lk   1  f  xk*  xk   k 1 k 1

Tomando o limite:

L

k

Exemplo 1 (pg. 440)

n

max  x 0  k 1

lim

 

2

b

2 1   f  x *k  x k   1   f   x  dx  

a

Determinar o comprimento do arco da curva y  x3 2 no

intervalo 1, 2 .

15

GEX106 CÁLCULO II Lista 2.1

TURMAS 19A e 22A

Para 10/05/2017 Exercícios 6.1 (pg. 419)

Lista 2.2

Cap 12 12.1

S1 2017 AULAS 11 A 14

ímpares de 1 a 17

Para 17/05/2017 Exercícios 6.2 (pg. 428...)

Exercícios 1, 3, 5, 7, 11, 13 e 15.

Exercícios 6.3 (pg. 436...)

Exercícios ímpares de 1 a 15

FUNÇÕES VETORIAIS

(pag. 841)

INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES VETORIAIS

CURVAS PARAMÉTRICAS EM 2 OU EM 3 Considere f  t  , g  t e h t  funções “bem comportadas” da variável t. Cada ponto em 2 é definido por um par ordenado  x, y  . Se x  f t  e y  g  t  , então, conforme o valor de t varia, o conjunto de pontos   x  t  , y  t   define uma curva em 2 . De maneira semelhante, o conjunto de pontos   x t  , y t  , z t   define uma curva

em 3 . A variável t é denominada “parâmetro da curva” e as igualdades x  f  t  ,

y  g t e z  h t  são denominadas “equações paramétricas” da curva. Valores crescentes de t determinam a “orientação da curva ” ou “sentido de crescimento da curva”.

Exemplo 1 (pg. 842):

x  f t   1 t

y  g t   3t

z  h  t   2t

Trata-se de uma reta que, para t  0 passa pelo ponto  x, y, z   1,0,0  e, em t  1 , passa pelo ponto  x, y, z    0,3, 2  .

1

GEX106 CÁLCULO II Exemplo 2:

TURMAS 19A e 22A

x  a cos t 

y  a sin t 

S1 2017 AULAS 11 A 14

z  ct

 a  0; c  0

Trata-se de uma curva chamada “hélice circular”

FUNÇÕES VETORIAIS

(pg. 843)

Suponha, em 3 , uma curva paramétrica dada pelas funções x t  , y t e z t  .







Defina os vetores unitários i na direção x, j na direção y e k na direção z. Com isto, a cada ponto  x t  , y t  , z  t   descrito pela curva, pode-se associar um vetor ancorado    na origem  0,0,0 e extremo dado por x t  i  y t  j  z t  k , com notação:      x  t  i  y  t  j  z t  k  x  t  , y  t  , z  t   r  t   r

No caso de um espaço bidimensional:     r  r t   x t  , y t   x  t  i  y t  j



Define-se o domínio da função vetorial, dom  r t  ,

pela interseção dos

domínios das funções x t  , y t e z t  . Caso esses domínios não sejam especificados,



define-se o domínio natural de r  t  como a interseção dos domínios naturais das funções componentes.

2

GEX106 CÁLCULO II Exemplo 4 (pg. 844)

TURMAS 19A e 22A

S1 2017 AULAS 11 A 14

Determinar o domínio natural da função vetorial

 r  t   x t , y t , z t  ln  t  1  , e t , t     ln  t 1  i  e t j  tk

Os domínios naturais das funções componentes:



x t   ln  t 1 



dom  x t     ,1   1, 

y t  e t



dom  y t    , 

z t   ln  t 1 



dom  z t    0,  

 dom r t     ,1  1,       ,     0,     0,1  1,  

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO VETORIAL  Define-se o “gráfico de uma função vetorial” r t   x t  , y t  , z t  , como

a curva paramétrica gerada pelas funções paramétricas x t  , y t e z t  . Fixando o ponto





inicial de r  t na origem, essa curva é a curva descrita pelo extremo final de r  t  .

Exemplo 6 (pg. 844) Esboçar o gráfico e um vetor posição de:     a  r  t   cos  t  i  sin  t  j 0  t  2       b r  t   cos t  i sin  t  j  2 k  0  t  2 

 a

 b

3

GEX106 CÁLCULO II

TURMAS 19A e 22A

S1 2017 AULAS 11 A 14

FORMA VETORIAL DE UM SEGMENTO DE RETA

(pg. 845)

Recordando:

a 

  Define-se a “norma” (tamanho) de um vetor r  x, y, z como r  x2  y2  z2 .

b

O resultado do produto de um vetor r  x, y, z por uma constante C é o vetor



 C r  C x ,C y ,C z com norma   C r  C 2x 2  C 2 y 2  C 2z 2  C x2  y 2  z 2  C r ,





mesma direção (reta suporte) que r e, caso C  0, mesmo sentido que r ; caso



C  0 , sentido oposto ao de r.

c 



Um vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido que r é dado por

   u r r Fim da recordação.



Se r0 é um vetor com ponto inicial na origem, a expressão paramétrica para a   reta r que passa pelo seu ponto final e é paralela a um vetor v é dada por:

   r  r0tv 

t   ,  



Se r0 e r1 são vetores com ponto inicial na origem, a expressão paramétrica para



a reta r que passa pelos seus pontos finais é dada por:

    r  r0  t r1  r0   

 





Caso 0  t  1 , a expressão r  r0  t  r1 r0  1 t  r0  t r representa o





segmento de reta traçado do ponto final de r0 ao ponto final de r1. Lista 2.3

Para 24/05/2017 Exercícios 12.1 (pg. 845...) Exercícios 1, 3, 17, 19, 21 e 23. Exercícios 12.2 (pg. 856...) Ímpares de 19 a 39 (cuidado em 31 e 33)

4

GEX106 CÁLCULO II 12.2...