TFI Calculo 2 PDF

Preview

Summary

calculo II. Ejercicios...

Description

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

Trabajo Final Integrador Asignatura: Cálculo 2 Tema: Aplicaciones del Cálculo Integral Nombre del Grupo: G5

Integrantes:

Año: 2020

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

1. Objetivos El presente trabajo se desarrollará para los temas correspondientes a la asignatura y forma parte de su evaluación. Tiene por objetivo la aplicación de los conocimientos adquiridos en el cursado de Cálculo 2 en los temas de Integración Múltiple y Métodos Numéricos. El trabajo debe desarrollarse en forma grupal. Cada grupo estará conformado por 3 (tres) estudiantes y presentarse en forma oral en la mesa de exámenes finales de Cálculo 2. La evaluación se realizará contemplando los siguientes criterios:

• • •

El contenido del trabajo presentado La calidad de la presentación El desempeño del grupo en la defensa del trabajo (participación, comunicación, interacción de los integrantes).

2. Enunciado

2.1. Se proyecta la construcción de un silo para almacenamiento de materiales granulados, similar a los mostrados en la figura:

Nota: el diámetro del casquete esférico superior es de 4 mts y del casquete inferior es de 1 mts 2.2 Calcular, empleando integrales múltiples, el volumen de material contenido en el tanque parcialmente lleno como indica la figura. 2.3 Considerando que el tanque es de acero y el espesor de las paredes es 3.2mm, y el material en su interior tiene una densidad constante. Calcular la masa total del tanque y su contenido. 2.4 Desarrollar un método que permita, a partir de las dimensiones del silo y el nivel de material h (medido desde el borde superior del cono), conocer el volumen material contenido en el mismo (método numérico, algoritmo, etc.). Fundamentar la selección y el procedimiento desarrollado.

3. Elaborar un informe escrito utilizando la presente plantilla de entre 6 (seis) y 10 (diez) páginas.

4. Presentar el tema en forma de exposición oral durante la mesa de examen final.

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

5. Desarrollo 2.2 Primero construimos las ecuaciones para lograr la forma del silo con las diferentes figuras. Casquete inferior:

𝑧 Parte cónica del silo:

Parte cilíndrica. 2

𝑥 2 + 𝑦2 =

( ) → 𝑥 2 + 𝑦2

=

Casquete superior es: 𝑧

Figura 1. Imagen donde se identifican Las cónicas que conforman el silo.

Volumen del casquete inferior. Planteamos en coordenadas esféricas. 𝜋 𝑉

𝐷 𝑑𝑉𝜌

𝑚

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

Figura 4. Representación gráfica del recinto en 3D.

Figura 5. Proyección del casquete en el

plano z=0.

Volumen del cono. Calculamos en coordenadas cilíndricas.

𝑉

𝐷 𝑑𝑉

𝑟

𝑑𝑟

𝜋𝑚

Figura 6. Representación del recinto cónico en 3D. proyección del cono truncado en el

Figura 7. Representación gráfica de la Plano z=0.

Volumen de la parte cilíndrica. Calculamos el volumen del contenido hasta una altura h. 𝑉

𝐷 𝑑𝑉

𝑚

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

El volumen del material dentro del silo es la suma de los volúmenes acumulados por los recintos anteriormente calculados. Cabe acotar que la altura h es medida desde el borde superior del cono.

Entonces: 𝜋 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑚

𝜋𝑚

Figura 8: Altura “h”, hasta la que se encuentra el contenido del silo.

Del volumen hallado en el punto 2.2, le restamos el volumen que ocupa la pared del silo (hasta la altura h), con lo cual obtendremos el valor exacto del volumen del material contenido dentro de dicho silo.

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑚

𝑚

El material que contiene dentro el silo es de densidad constante: 𝛿 = 𝑘 [𝑚

𝑘�3].

Entonces la masa del material dentro del silo es:

𝑚𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑚𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑘� 𝑘�

Ahora calculamos la masa total, es decir, la masa del silo más la masa del material dentro del mismo (el cual se encuentra hasta una altura h, medido desde el borde superior del cono). 𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑_𝑠𝑖𝑙𝑜 + 𝑚𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ≅ 1389,45 𝑘� + 𝑘 ∙ (4,884 ∙ ℎ − 3,809) 𝑘�

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

2.4 A continuación, se realizará el cálculo del volumen del contenido dentro del silo, donde se aplicarán métodos numéricos para hallar el mismo. En un comienzo se realizarán los cálculos pertinentes para hallar el volumen del cono truncado mediante el método de discos. Luego de plantear la integral, aproximamos el valor mediante la regla de Simpson. Regla de Simpson 𝑏

𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≃ 𝑆𝑛, donde: 𝑏−𝑎 𝑆𝑛

*La integral planteada por el método de discos (eje de rotación “z”) para el volumen del cono es: 𝑉𝑜𝑙 𝑑𝑧 Aplicamos la regla de Simpson (con n=6):

𝜋

𝑑𝑧 ≃ 𝜋 𝑆𝑛

Figura 13. Región y eje de giro (z).

𝑆𝑛

𝑆𝑛

𝑉𝑜𝑙 = 𝜋

𝑚3

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

*La integral para calcular el volumen del casquete inferior mediante método de discos es: 𝑉𝑜𝑙

𝑑𝑧

⇒ 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒�𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛. Aplicamos la regla de Simpson (utilizamos n=6): 𝜋

𝑑𝑧 ≃ 𝜋 𝑆𝑛

Figura 14. Región de y eje de giro (z)

𝑆𝑛

𝑉

𝑑𝑧 ≃ 𝜋 𝑆𝑛 ≃ 0,2617 𝑚3

Optamos por el método de Simpson para los dos casos anteriores, básicamente porque utilizando una menor cantidad de particiones “n” se logra una buena aproximación, comparando con el método de trapecios, con el cual se necesita aumentar el valor de “n” para acercarse al valor real, todo esto comparando con los valores de volúmenes exactos obtenidos anteriormente. Como sabemos que el volumen de un cilindro es Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, entonces se procederá a calcular el área de la base del cilindro.

𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

𝑑𝑥

𝑉𝑜𝑙.𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

Figura 15. Gráfico donde se representa el recinto de integración.

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

A partir de acá podemos aplicar el método numérico de Simpson para obtener un acercamiento al volumen real del cilindro.

Resolución del Método de Simpson para el área

𝑑𝑥

Total de particiones n = 20.

ℎ=𝑏

−𝑛𝑎 =>

ℎ=

= 0,125 Aplicamos la siguiente fórmula:

𝐼

𝑰 = 𝟐, 𝟒𝟒𝟐𝟗𝟕𝟓𝟏𝟐𝟒 Este valor corresponde al Área de la semicircunferencia, para obtener el valor del área de la circunferencia total lo multiplicamos por dos, entonces obtenemos que 𝑰 = 𝟒, 𝟖𝟖𝟓𝟗𝟓𝟎𝟐𝟒𝟖 En conclusión decimos que:

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]

"2020 - Año del General Manuel Belgrano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

𝑉𝑜𝑙.𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 El volumen contenido por el silo hasta la altura h, obtenido por medio de los métodos numéricos es: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ≈ 4,4159 𝑚3 + 0,2617 𝑚3 + 4,885 ∗ (ℎ − 1,73) ≈ [4,885 ∗ (ℎ − 1,73) + 4,6776] 𝑚3 = [4,885 ∗ ℎ − 3,773]𝑚3

Conclusión Lo que queremos expresar para dar como cierre a este informe, es que logramos aprender y ver como en el futuro no tan lejano podríamos llegar a aplicar y volcar los conocimientos obtenidos en calculo 2 a la práctica. Sabiendo que tenemos las herramientas y el conocimiento para aplicarlas; donde con este informe obtuvimos lo que podríamos decir que fue una simulación de una aplicación real.

Facultad de Ingeniería - UNaM – Juan Manuel de Rosas 325 - Oberá (Mnes.) CP 3360 – Teléfonos/Fax: +54 03755 422169/422170 Fax: Interno 104. www.fio.unam.edu.ar. E-mail: [email protected]...