Semana 2 - Calculo - Profesor PDF

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REGLA DE L’HOPITAL, DERIVACIÓNIMPLÍCITA, PARAMÉTRICA Y TASAS DECAMBIOL’HOPITAL, IMPLIED, PARAMETRIC AND EXCHANGE RATE RULESVOLUMEN DE VENTAS DE PSEncuentre la tasa o razón de cambio del volumen de ventas de las consolas PS4 con respecto a los gastos de publicidad, cuando estos gastos suman 40 000 dó...

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REGLA DE L’HOPITAL, DERIVACIÓN IMPLÍCITA, PARAMÉTRICA Y TASAS DE CAMBIO L’HOPITAL, IMPLIED, PARAMETRIC AND EXCHANGE RATE RULES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

VOLUMEN DE VENTAS DE PS4 Encuentre la tasa o razón de cambio del volumen de ventas de las consolas PS4 con respecto a los gastos de publicidad, cuando estos gastos suman 40 000 dólares. Considere que se cumple la relación:

Donde: 𝑥 es el gasto en publicidad, 𝑦 es el volumen de ventas

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SABERES PREVIOS (PRE REQUISITOS)

 Gráficas de funciones  Derivación.  Regla de la Cadena.

CONTENIDO DE LA SESIÓN ฀ Regla de L’Hopital

฀ Derivación Implícita. ฀ Derivación paramétrica. ฀ Problemas de Tasas de

cambio relacionadas.

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LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve e interpreta problemas aplicados al estudio de

fenómenos naturales, económicos y tecnológicos, haciendo uso de la regla de L’Hopital, derivada de

funciones implícitas, paramétricas y tasas de cambio relacionadas.

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REGLA DE L’HOPITAL Existen diversos tipos de indeterminaciones de límites, la más común es

En este caso la regla de L’Hopital nos dice que siempre que

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Ejercicios : 5. Reconoce la forma indeterminada en cada límite: – – –

lím

𝑥+2

𝑥→0 𝑥 2 −4 1

Lím 𝑥→3

lim 𝑥

𝑥→0

𝑥−3 2𝑥

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−

5

𝑥 2 −𝑥−6

Ejercicios : 10. Determine los siguientes limites usando la regla de L’Hôpital – – –

lím

𝑥 3 +𝑥+2

𝑥→0 𝑥 3 +3𝑥 (sin 2𝑥 )2

lím

𝑥→0

𝑥2 ln sen 𝑥

lim 𝑥→𝜋/2 2𝑥−𝜋 2

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REGLA DE L’HOPITAL El movimiento de una partícula esta descrito por la siguiente expresión:

¿Se puede despejar

¿Y de la expresión:

en función de

?

?

¿En cuál de las dos ecuaciones se puede obtener

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?

DERIVACIÓN IMPLICITA

Este método se utiliza para encontrar la derivada de una función, cuando la variable dependiente (y), no se encuentra en la forma y=f(x). En tales casos se derivará directamente la expresión, teniendo en cuenta que “y” es una función de x. Por ello cuando se derive y, se escribirá : y’.

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PROCEDIMIENTO Para una ecuación que suponemos define implícitamente a y como una función diferenciable de x, la derivada dy/dx puede encontrarse como sigue: 1.

Derive ambos miembros de la ecuación con respecto a x.

1.

Agrupe todos los términos que contenga dy/dx en un miembro de la ecuación y agrupe los demás términos en el otro miembro.

1.

Factorice dy/dx como factor común en el miembro que contenga los términos dy/dx.

1.

Despeje dy/dx.

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Ejercicios : 6. Encuentre ฀

𝑑𝑦 𝑑𝑥

de la relación implícita

𝑥𝑦 = 5𝑦𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 2 .

7. Encuentre la derivada ฀

𝑒 3𝑥

2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥

en

+ 𝑦 cos𝑥 − ln 𝑦 2 𝑥 = 10. 𝑑𝑦

8. Hallar la derivada en 𝑑𝑥 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 − 1 = 0 . DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

EN GENERAL En el caso de una función implícita la ecuación que relaciona a las variables “x” e “y”, también se puede expresar en la forma:

En estas condiciones, la derivada

, se obtiene

aplicando la siguiente fórmula:

Donde: Fx es la derivada de F(x,y) respecto a x, considerando a y constante. Fy es la derivada de F(x,y) respecto a y, considerando a x constante. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en (2, -1) Solución: Y

(2,-1) X

-1

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DERIVADA DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS

Considere una función de la forma donde

.

Decimos que f esta definida en forma paramétrica. Usando la regla de la cadena se prueba que

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Ejercicios : 9. Calcular y evalué la derivada de las funciones paramétricas: –

–

𝑥 = 𝑡 5 + sin 𝑡 𝑓: 𝑦 = sin(𝑡 + 2)

𝑥 = 2 𝑡 − sen 𝑡 𝑔: , evalué 𝑦 = 2 1 − cos 𝑡

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𝑑𝑦 𝜋 𝑑𝑥 4

.

Ejemplo: Considere la función

donde

. Calcule

Solución:

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TASAS RELACIONADAS TASAS DE CAMBIO

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Ejercicios : 1. La razón de cambio de la posición respecto del tiempo es la aceleración. ฀

2. El costo marginal es la razón de cambio del costo. ฀

3. El costo marginal es equivalente a lo que cuesta producir una unidad adicional. ฀

4. La rapidez de cambio de la velocidad es la aceleración. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Ejercicios : 11. Una escalera de 10pies de largo está apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de 3pies/seg. ¿Con qué rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior está a 6 pies del suelo?

฀ 12. Encuentre la tasa o razón de cambio del volumen de ventas de las consolas PS4 con respecto a los gastos de publicidad, cuando estos gastos suman 40 000 dólares.

Considere que se cumple la relación: 𝑥𝑦 − 20𝑥 + 10𝑦 = 0, donde 𝑥 es el gasto en publicidad, y es el volumen de ventas

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Ejercicios : 13 En un modelo atmosférico para predecir el lugar geométrico del ojo de un tornado se notó que las variables que miden la posición

satisface 𝑒 3𝑥 𝑦 + 5𝑥 3 𝑦 − ln 𝑦 2 𝑥 = 10 . Calcule la razón de cambio de la variable “y” respecto de “x”. 2

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Ejemplo: Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1m la superficie sube a razón de 1 cm por minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente? Solución: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

COSTO DE PRODUCCIÓN El costo de producción de unidades de cierto producto es

“x”

dólares, y el nivel de la producción durante “t” horas en una línea de producción particular es unidades. ¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de cuatro horas? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

CONCLUSIONES La derivación implícita permite encontrar la derivada de funciones del tipo F(x,y)=0 con y=f(x) independientemente si y está despejado o no en función de x ฀ La derivación paramétrica permite obtener la razón de cambio de y con x. ฀ Para resolver problemas sobre razones relacionadas se hace uso de la regla de la cadena y la derivada implícita. ฀

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DIAPOSITIVA N° 23

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 515.15 LARS 2011 Larson, R. Cálculo 1: de una variable. ฀ 510 HAR/M 2015 Haeussler,, Ronald J. Matemáticas para la administración, economía y ciencias sociales. ฀

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DIAPOSITIVA N° 24...