Matiii -18 19 - Frequência PDF

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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Departamento de Matem´atica

Sebenta de

Matem ´ atica III

Rui Almeida 14 de Agosto de 2018

Conte´ udo 1 Equa¸c˜ oes e Sistemas de Equa¸c˜ oes Diferenciais

3

1.1

Defini¸co˜ese conceitos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Equa¸co˜es diferenciais de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Existˆ encia e Unicidade de Solu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

M´etodo de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3

Equa¸co˜es diferenciais de vari´ aveis separadas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4

Equa¸co˜es diferenciais de vari´ aveis separ´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

a

6

1.2.5

Equa¸co˜es diferenciais lineares de 1 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.6

Equa¸co˜es diferenciais totais exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9

1.2.7

Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.8

Equa¸co˜es homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.9

Equa¸ca˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.10 Equa¸ca˜o de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3

1.4

Equa¸co˜es diferenciais lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1

Solu¸ca˜o geral da equa¸ca˜o homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2

Solu¸ca˜o geral da equa¸ca˜o n˜ ao homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Sistemas de equa¸co˜es diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1

Sistemas e equa¸co˜es de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2

Existˆ encia e unicidade da solu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Transformada de Laplace

21

2.1

Defini¸ca˜o da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Condi¸co˜es de existˆencia da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1

Linearidade

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2

Transformada de polin´ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3

Transformada de sen(at) e cos(at) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.4

Transformada de derivadas y ′ , y ′′ , ..., y(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5

Resolu¸ca˜o de EDO usando Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6

Resolu¸ca˜o de SEDO usando Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Equa¸c˜ oes lineares de ordem 2 e superior

26

3.1

Existˆ encia e unicidade da solu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2

Solu¸ca˜o geral das equa¸co˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3

Equa¸co˜es lineares homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4

Independˆencia linear entre fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5

Solu¸ca˜o geral das equa¸co˜es lineares homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

Matem´ atica III

Sebenta

3.6

M´etodo de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7

Equa¸co˜es lineares homog´eneas de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.7.1

Ra´ızes reais diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7.2

Ra´ızes reais iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7.3

Ra´ızes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Transformadas de Laplace

31

4.1

Defini¸ca˜o da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2

Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1

Condi¸co˜es de existˆencia da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1

Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.2

Derivada da Transformada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.3

Transformada da Derivada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.4

Deslocamento em s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3

Transformadas de Fun¸co˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4

C´ alculo de transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5

Resolu¸ca˜o de equa¸co˜es diferenciais por meio da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6

Equa¸co˜es diferenciais lineares com coeficientes vari´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.7

Equa¸co˜es diferenciais lineares com entrada descont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.8

Deslocamento no dom´ınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.9

Impulso unit´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.10 Convolu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.11 Resolu¸c˜ao de equa¸co˜es integro-diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2

Rui Almeida

Cap´ıtulo 1

Equa¸ c˜ oes e Sistemas de Equa¸ c˜ oes Diferenciais 1.1

Defini¸co ˜ese conceitos b´ asicos

Muitos problemas importantes da engenharia, da f´ısica, da biologia e das ciˆencias sociais s˜ ao formulados por equa¸co˜es que envolvem a derivada de uma fun¸c˜ao desconhecida. Exemplo 1 Seja P (t) a densidade (ou n´ umero de indiv´ıduos) da popula¸ca ˜o de uma certa esp´ ecie no instante de tempo t. Podemos assumir que a taxa de crescimento da popula¸ca ˜o ´e proporcional a sua densidade. Em termos matem´ aticos, dP = λP (1.1) dt Aqui,λ representa a taxa de crescimento (se λ > 0) ou decrescimento (se λ < 0). A equa¸ca ˜o (1.38) e´ chamada equa¸ c˜ ao diferencial ordin´ aria de primeira ordem porque envolve apenas a primeira derivada de uma fun¸ca˜o P que depende de uma u ´nica vari´ avel t. Defini¸c˜ ao 2 Uma equa¸ c˜ ao diferencial ordin´ aria e´ uma equa¸ca˜o da forma f (t, y, y ′ , ..., y (n) ) = 0,

(1.2)

envolvendo uma fun¸ca ˜o inc´ ognita y = y(t) e algumas das suas derivadas em ordem a t. Na pr´ atica, assumiremos que podemos resolver (1.2) na derivada y (n) , isto ´e, vamos considerar y (n) = f (t, y, y ′ , ..., y (n−1) ), Defini¸c˜ ao 3 Chama-se ordem da equa¸ca ˜o diferencial a ` maior das ordens das derivadas que nela aparecem. Exemplo 4

•

• a equa¸ca ˜o diferencial y ′ + −2y = et R: ´e de primeira ordem; • a equa¸ca ˜o diferencial y ′′′ + 5y ′ − y = cost R: e´ de terceira ordem; • a equa¸ca ˜o diferencial y v − ty ′′ = t2 + 5 R: ´e de quinta ordem; ”Resolver”a equa¸ca˜o diferencial consiste em encontrar o conjunto de fun¸co˜es y = y(t) que a satisfa¸cam. Se a fun¸ca˜o desconhecida depende de uma u ´nica vari´ avel independente, temos uma equa¸ca˜o diferencial ordin´ aria (EDO). As equa¸co˜es dos exemplos anteriores s˜ ao ordin´ arias. 3

Matem´ atica III

Sebenta

Se derivadas parciais de uma fun¸ca˜o de duas ou mais vari´aveis aparecem na equa¸ca˜o, tem-se uma equa¸c˜ao diferencial parcial (EDP). A equa¸ca˜o da difus˜ ao ou da condu¸c˜ao de calor α2

∂u(x, t) ∂u(x, t) = ∂t ∂x2

´e um exemplo de equa¸ca˜o diferencial parcial. Defini¸c˜ ao 5 Chama-se solu¸ c˜ ao de uma equa¸ca˜o diferencial de ordem n no intervalo I a uma fun¸ca˜o y = g(t) definida nesse intervalo, juntamente com as suas derivadas, at´ ea ` ordem n, que satisfaz a equa¸ca ˜o diferencial, ou seja, f (t, g(t), g ′ (t), ..., g (n) (t)) = 0, ∀x ∈ I . Defini¸c˜ ao 6 Chamam-se condi¸ c˜ oes iniciais as condi¸co ˜es relativas a ` fun¸ca ˜o inc´ ognita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da vari´ avel independente. Defini¸c˜ ao 7 Chamam-se condi¸ c˜ oes de fronteira as condi¸co˜es relativas a ` fun¸ca ˜o inc´ ognita e suas derivadas dadas para valores distintos da vari´ avel independente. Uma EDO ´e dita linear se a fun¸ca˜o f em (1.2) ´e linear com respeito as vari´ aveis y ′ , ..., y (n−1) , y (n) . Consequentemente, uma EDO pode ser escrita como: a0 (t)y n + a1 (t)y n−1 + ... + an (t)y = g(t)

(1.3)

em que a0 ; a1 , ..., an e g s˜ ao fun¸co˜es somente de t. Uma EDO que n˜ ao ´e linear ´e dita n˜ ao-linear. Em outras palavras, uma EDO n˜ ao-linear n˜ ao pode ser escrita como (1.27). Exemplo 8

• y ′ + −2y = et e´ linear;

• t2 y ′′′ + 5y ′ − y = cost R: ´e linear; • t2 y ′′′ + 5y ′ y = cost R: ´e n˜ ao-linear;

4

Rui Almeida

Matem´ atica III

1.2

Sebenta

Equa¸co ˜es diferenciais de 1a ordem

1.2.1

Existˆ encia e Unicidade de Solu¸c˜ ao

O primeiro problema que se p˜ oe ´e se existe alguma fun¸ca˜o que satisfaz estas condi¸co˜es e nesse caso essa fun¸ca˜o e´ a u ´nica. O teorema seguinte indica uma condi¸ca˜o simples para que isso aconte¸ca. Teorema 9 Seja o problema de condi¸ca ˜o inicial ( y ′ (t) = f (t, y) y(a) = α

,

t ∈ [a, b]

Se existir L > 0 tal que      ∂f (t, y) < L,   ∂y

∀(t, y ) ∈ D

Onde D e´ um convexo, ent˜ ao o problema tem uma solu¸ca˜o u ´nica para t ∈ [a, b]. Normalmente o convexo que se toma ´e D = {(t, y) ∈

2

: a ≤ t ≤ b, y ∈

}

Exemplo 10 Mostre que o problema de valor inicial  y ′ = sin(y ) y(t ) = y 0

0

tem solu¸ca ˜o u ´nica para qualquer intervalo contendo t0 . Resposta

∂f (t, y) = cos(y ) ∂y Seja D ⊂

2

tal que D ´e um convexo e (t0 , y) ∈ D.

Para (t, y) ∈ D

     ∂f (t, y) = |cos(y )| ≤ 1  ∂y 

logo o problema de valores iniciais tem solu¸c˜ ao ´ unica para qualquer intervalo contendo t0 . 

5

Rui Almeida

Matem´ atica III

1.2.2

Sebenta

M´ etodo de Picard

Directamente do teorema 9 podemos obter um m´ etodo para aproximar a solu¸c˜ao. O m´etodo de Picard aproxima a solu¸ca˜o y(t) do problema de valores iniciais ( y ′ (t) = f (t, y) , t ∈ [a, b] y(a) = α por outra fun¸ca˜o yn (t) recorrendo a` express˜ ao : yi+1 (t) = y0 +

t

Z

f (x, yi (x)) dx.

t0

Atrav´es do teorema 9 prova-se que quando n → ∞, yn (t) tende para a solu¸ca˜o y(t) do problema, se forem satisfeitas as condi¸co˜es do teorema. Uma estimativa do erro pode ser obtida por Ea ≈ |yn (t) − yn−1 (t)| Exemplo 11 Considere o problema de valores iniciais  y ′ = 3t + y y(0) = 1

.

1. Encontre uma aproxima¸ca ˜o y3 (t), do problema, utilizando o m´ etodo de Picard. Resposta y1 (t) = y0 (t) +



Z

t

f (x, y0 (x)) dx = 1 + 0

Z

t

f (x, 1) dx = 1 +

0

Z

t

3x + (1) dx = 1 +

0

3 2 t +t 2

Z t Z t 3 3x + (1 + x2 + x) dx = 1 + t + 2t2 + y2 (t) = y0 (t) + f (x, y1 (x)) dx = 1 + 2 0 0 Z t Z t 1 2 1 3 3x + (1 + x + x + x ) dx = 1 + t + 2t2 + y3 (t) = y0 (t) + f (x, y2 (x)) dx = 1 + 2 2 0 0

1 3 t 2 2 3 1 4 t + t 3 8

2. Indique uma estimativa do erro absoluto da aproxima¸ca ˜o anterior, em t = 1. Resposta O erro em t = 1 pode ser estimado por |y3 (1) − y2 (1)| = |4.79166667 − 4.5| = 0.291666667 

Exerc´ıcios 1. Considere o seguinte problema de condi¸ca˜o inicial  y ′ = ty y(0) = 1

,

t ∈ [0, T ]

Diga se a solu¸ca˜o do problema existe e ´e u ´ nica.

2. Mostre que o problema de condi¸ca˜o inicial

tem solu¸ca˜o u´nica para x ∈ [a, b].

 y ′ = 1 2 1+y y(a) = α

3. Utilize o m´etodo de Picard para obter a solu¸ca˜o do seguinte problema  y ′ = y − 1 . y(0) = 2 6

Rui Almeida

Matem´ atica III

1.2.3

Sebenta

Equa¸ c˜ oes diferenciais de vari´ aveis separadas

Defini¸c˜ ao 12 Uma equa¸ca ˜o diferencial de vari´ aveis separadas ´e uma equa¸ca ˜o do tipo g(y)dy = f (x)dx . ´ ˜ METODO DE RESOLUC ¸AO A solu¸ca˜o geral da equa¸ca˜o diferencial de vari´aveis separadas obt´em-se por primitiva¸ca˜o de ambos os membros da equa¸ca˜o, ou seja,

Z

.

g(y )dy =

Z

f (x)dx + C

Integrando membro-a-membro, obtemos G(y) = F (x) + c em que c ´e uma constante e F (x) e G(y) s˜ ao primitivas def (x) e g(y), respectivamente. Exemplo 13 Determine a solu¸ca ˜o geral da EDO 1.

dy dx

=

x2 1+y 2

2.

dy dx

=

3x2 +4x+2 , 2(y−1)

t3

em que y = y(x) e´ uma fun¸ca ˜o de x R: y = c e3 − y(0) = 1 R: y =

√ c t2 +1

−

t2 3

−

1 3

1 3

7

Rui Almeida

Matem´ atica III

1.2.4

Sebenta

Equa¸ c˜ oes diferenciais de vari´ aveis separ´ aveis

Defini¸c˜ ao 14 Chama-se equa¸ca ˜o de vari´ aveis separ´ aveis a uma equa¸ca ˜o do tipo f1 (t)h1 (y)dt = f2 (t)h2 (y)dy na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode factorizar em fun¸co˜es, dependentes s´ o de t ou s´ o de y . ´ ˜ METODO DE RESOLUC ¸AO Dividindo ambos os membros pelo produto f2 (t)h1 (y) a equa¸ca˜o fica com as vari´aveis separadas f1 (t) h2 (y) dt = dy f2 (t) h1 (y) O integral geral desta equa¸ca˜o tem a forma Z

f1 (t) dt = f2 (t)

Z

h2 (y) dy + C h1 (y)

As equa¸co˜es do tipo dy = f (ax + by + c) (1.4) dx onde a e b s˜ ao constantes, n˜ ao s˜ ao equa¸co˜es de vari´aveis separ´ aveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substitui¸ca˜o v = ax + by + c

=⇒

dy dv =a+b dx dx

(1.5)

Exerc´ıcio 15 Determine a solu¸ca ˜o geral das equa¸co˜es: • (i) • (ii)

2(y − 1)y ′ = 3x2 + 4x + 2; R: y +

y3 3

=

x3 3

+c

(1 + t) dy − y = 0 R: implicita y 2 − y = x3 + 2x2 + 2x + 3 ou y = 1 − dt

8

√ x3 + 2x2 + 2x + 4

Rui Almeida

Matem´ atica III

1.2.5

Sebenta

Equa¸ c˜ oes diferenciais lineares de 1a ordem

• Se Q(x) = 0 , a equa¸ca˜o e´ de vari´ aveis separ´ aveis. • Se Q(x) 6= 0 a equa¸ca˜o admite um factor integrante fun¸c˜ao s´ o de x, I(t, y) = e

R

P (t)dt

.

As equa¸c˜ oes lineares s˜ ao as que podem ser escritas na forma dy + p(x)y = f (x) (1.6) dx Para resolver este tipo de equa¸ca˜o podemos tentar transforma-la na forma simples. No caso particular em que a fun¸ca˜o p for uma constante a, o lado esquerdo ser´ a semelhante a` seguinte derivada dy (y eax) = eax(y ′ + ay) dx consequentemente, podemos multiplicar os dois lados da equa¸c˜ao diferencial por exp(ax) e obtermos dy (y eax) = dx y eax

eaxf (x) Z eaxf (x) dx + c

=

(1.7)

(1.8)

No caso geral em que p depende de x, usamos a primitiva de p(x) em vez de ax e o fator integrante pelo qual deveremos multiplicar a equa¸ca˜o ser´a µ(x) = exp

"Z

p(x) dx

#

(1.9)

multiplicando os dois lados da equa¸ca˜o diferencial por µ obt´em-se d (yµ(x)) = dx

µ(x)f (x) Z = µ(x)f (x) dx + c

yµ

Exemplo 16 Encontre a solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o diferencial y dy = 3 dx y − 2x

(1.10)

y(2) = 1

A equa¸ca˜o n˜ ao ´e de vari´aveis separ´ aveis, nem linear, mas se invertermos a equa¸ca˜o obteremos

dx y 3 − 2x = y dy a qual ´e uma equa¸ca˜o linear. Escrita na forma padr˜ao

(1.11)

dx 2 + x = y2 y dy

(1.12)

vemos que o fator integrante ´e µ = exp

Z

2 dy y

multiplicando os dois lados da equa¸ca˜o por µ obtemos



= y2

d (y 2 x) = y 4 dy

(1.14)

y5 +C 5 Para calcular o valor da constante de integra¸ca˜o, substitu´ımos a condi¸ca˜o inicial 9 1 2 = + C =⇒ C = 5 5 e a solu¸ca˜o (de forma impl´ıcita) ´e =⇒ y 2 x =

5y 2 x = y 5 + 9

(1.13)



(1.15)

(1.16)

(1.17)

Exerc´ıcio 17 Determine a solu¸ca ˜o geral das equa¸co˜es: 1.

dy dt

− 3t2 y = t2 ;

3

R: y =

cet 3

−

1 3 c (t2 +1)

2. (1 + t2 )dy + (ty + t3 + t)dt = 0 R:y = √

−

t2 3

9

− 31 Rui Almeida

Matem´ atica III

1.2.6

Sebenta

Equa¸ c˜ oes diferenciais totais exactas

Defini¸c˜ ao 18 A equa¸ca ˜o diferencial M (x, y )dx + N (x, y )dy = 0 diz-se total exacta se existir uma fun¸ca ˜o g com derivadas parci...