Sammlung Aufgaben - WS 18/19 PDF

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WS 18/19...

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Polyederschnitt

Blatt GK - 01

1. In dem gegebenen Schrägriss eines Würfels ist das Bild jener ebenen Figur zu konstruieren, die von der Ebene durch die Punkte P, Q und R aus den Seitenflächen des Würfels ausgeschnitten wird !

R

P

Q

2. Die Schnittpunkte der durch die Punkte A und B definierten Geraden g mit den Seitenflächen des dargestellten ebenflächig begrenzten Körpers sind zu konstruieren!

B

A

Strahlensatz

Blatt GK - 02

P

A

0

A'

0

M0

P' = M'

B

0

B'

P

S

Kathetensatz / Höhensatz

Blatt GK - 03

Gegeben ist ein Rechteck. Konstruieren Sie ein flächengleiches Quadrat unter Ausnutzung a) des Kathetensatzes b) des Höhensatzes

Ellipsen

Blatt GK - 04

Zur Ellipse mit den halben Achsenlängen a = 5 cm , b = 3 cm konstruiere man die Ellipsentangenten in den Punkten der Ellipse, die 3 cm vom linken Brennpunkt entfernt sind.

M

Von einer Ellipse sind die Hauptscheitel A (0, 0) und B (7, 0) sowie eine Tangente t ( y = 0,5 x + 1 ) gegeben. Man konstruiere den Tangentenberührungspunkt T sowie die Nebenscheitel C und D.

y

x

Papierstreifenkonstruktion

Blatt GK-06

a) Von einer Ellipse sind die Hauptscheitel A und B sowie ein weiterer Punkt P gegeben. Konstruieren Sie die Nebenscheitel C und D der Ellipse.

P

B

A

b) Von einer Ellipse sind die Nebenscheitel C und D und ein weiterer Punkt P gegeben. Konstruieren Sie die Hauptscheitel A und B der Ellipse. C P

D c) Von einer Ellipse sind der Mittelpunkt M , ein Scheitelpunkt sowie ein weiterer Punkt P gegeben. Konstruieren Sie die drei anderen Scheitelpunkte der Ellipse.

S

M P

Scheitelkrümmungskreise

Blatt GK-07

Konstruieren Sie die Ellipse mit dem Mittelpunkt M , den Halbachsen a = 8 cm und b = 5 cm und A, B Î g mit Hilfe der Scheitelkreiskonstruktion und der Scheitelkrümmungskreise.

g

M

Affinität

Blatt PA - 01

Eine ebene perspektive Affinität sei durch die Affinitätsachse s und das Punkt-Bildpunkt- Paar ( P, P * ) festgelegt. Es ist das perspektiv-affine Bild F * der gegebenen Figur F zu konstruieren.

P s F

P*

Orthogonalität

Blatt PA - 02

Gegeben ist eine Affinität durch die Affinitätsachse a0 und das Punktepaar (X , X * ) . Konstruieren Sie die beiden Geraden a, b mit a ^ b und a Ç b = X , für deren affine Bilder a * ^ b* gilt.

X

a0

X*

Orthogonalität

Blatt PA - 03

Der Kreis k mit dem Mittelpunkt M geht durch perspektive Affinität (Affinitätsachse a ) in eine Ellipse k * mit dem Mittelpunkt M * über. Konstruieren Sie die Achsen der Ellipse k * . Zeichnen Sie die Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise. Hinweis:

Beachten Sie die Orthogonalität der Ellipsenachsen.

M* a

k M

Affinität

Blatt PA-06

Durch den Mittelpunkt M und einen Eckpunkt A ist ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF (Bezeichnung im mathematisch positiven Sinn) festgelegt. Konstruieren Sie das perspektiv affine Bild k * des Umkreises k dieses Sechsecks. Die Affinität ist gegeben durch die Affinitätsachse s = BF und das Punktepaar ( D, D* ) . Nutzen Sie zum Zeichnen der Ellipse die Zweikreiskonstruktion und die Scheitelkrümmungskreise.

D*

A

M

Ellipse

Blatt PA-08

Das Parallelogramm ABCD sei die (schiefe) Parallelprojektion eines Quadrates. Konstruieren Sie die Ellipse des dem Quadrat einbeschriebenen Kreises. a) mittels RYTZscher Achsenkonstruktion b) mittels perspektiver Affinität Nutzen Sie zum Zeichnen die Scheitelkrümmungskreise.

C

B

D

A

Affinität

Blatt PA-10

Von einer Ellipse k sind die Hauptscheitel A, B un die Nebenscheitel C , D gegeben. Zu konstruieren sind die Schnittpunkte der Geraden g mit der Ellipse k.

C

A

B

g

D

Grund- und Aufrißspurpunkte

Blatt ZN - 01

Für die vier Geraden p = AB , q = CD , r = EF , s = MN untersuche man die Lage bezüglich Grundund Aufrißebene:

a) Man konstruiere alle Grund- u. Aufrißspurpunkte der Geraden p, q, r , s.

F ’’ C ’’

E ’’ D ’’

N ’’

B ’’ A’’ x12

C’ = D’

B’ A’

M ’’ M’

E’ N’

F’

b) Man skizziere mit Hilfe der Spurpunkte den Geradenverlauf jeweils in einem Schrägrißbild !

Kugel

Blatt ZN - 08

Gegeben sind ein Punkt A (7 ; - 1; 6,5 ) sowie eine Gerade g = PQ mit P (6,5 ; - 4 ; 0 ), Q (2,5 ; 3 ; 7) . A sei ein Punkt des Äquators a und g die Achse der (Globus-) Kugel F . Man zeichne in Grundund Aufriß die Kugel F und den Äquator a .

A’’

Q ’’

P ’’ x12

Q’

P’ A’

Oktaeder

Blatt ZN - 10

Ein regelmäßiges Oktaeder ist ein ebenflächiger Körper, der aus acht gleichseitigen Dreiecksflächen gebildet wird. Der Grundriß eines solchen Oktaeders ist vorgegeben, sein tiefster Eckpunkt liege 1 cm über P1 . Zu konstruieren sind der Aufriß und unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit die Bilder des Körpers in den Bildebenen P 3 und P 4, die durch die Rißachsen x23 und x 34 vorgegeben sind. (Für die Festlegung der Sichtbarkeit ist der Körper vor der jeweiligen Rißebene anzunehmen.)

x 23

x 12

D¢

C¢

E¢ = F ¢

A¢

B¢

x34

Würfel mit Loch

Blatt ZN - 13

Konstruieren Sie in Grund- und Aufriß den auf P 1 stehenden, im Grundriß gegebenen Würfel mit einem sechseckigen durchgehenden Loch (regelmäßiges sechsseitiges Prisma, Kantenlänge des Basissechsecks a = 20 mm). Die Achse des Prismas verlaufe von der Mitte der (rechten) vorderen Seitenfläche des Würfels zur Mitte der hinteren. Eine Seite des Sechsecks sei parallel zu P 1.

x12

Wahre Gestalt

Blatt ZN - 14

Konstruieren Sie die wahre Gestalt des in der Ebene S = s1s2 liegenden Dreiecks ABC. Nutzen Sie dazu einen geeigneten Seitenriß (Rißebene P 3 ) zu P1 und einen weiteren Seitenriß zu P 3, in dem die Ebene S parallel zur Bildebene liegt.

s2

x12 A’ C’

B’ s1

Pyramide mit quadratischer Grundfläche

Blatt ZN - 16

ABCD sei das Quadrat, dessen Punkt C in Ð2 oberhalb Ð1 liege. Es sind Grund- und Aufriss einer geraden Pyramide mit der Höhe h = 7 cm und der Basisfläche ABCD zu konstruieren. Die Spitze der Pyramide liege oberhalb Ð1.

A''

B''

B'

A'

x12

Kugel

Blatt ZN - 18

Gegeben sind eine Ebene S = s1s 2 und ein Punkt T Î P 1 . a) Zu konstruieren sind Grund- und Aufriß der Kugel Ö, die P 1 im Punkt T sowie Ó berührt. b) Der Berührpunkt N von Ö mit Ó sei der Nordpol von Ö. Es ist der Breitenkreis 45° n.B. zu konstruieren. s2

x12

T

s1

Kegel mit Etikett

Blatt ZN - 19

Auf einen Drehkegel Ö ( r = 4 cm , Öffnungswinkel a = 60 ° ) wird ein kreisförmiges Etikett ( re = 4 cm ) aufgeklebt, dessen Rand die Kegelspitze enthält. Man zeichne den Kegel mit Etikett in Grund- und Aufriß. Dabei soll der tiefste Punkt des Etiketts auf der vordersten Erzeugenden des Kegels liegen.

S’’ a

S’

Wahre Gestalt

Blatt ZN - 20

Konstruieren Sie von dem in Grund- und Aufriß gegebenen Dreieck ABC die wahre Gestalt. Hinweis: Nutzen Sie das Drehen um eine geeignete Höhen- oder Frontgerade.

C ’’

B ’’

A’’

x12

C'

B' A'

Dreieck I

Blatt ZN - 21

Konstruieren Sie in Grund- und Aufriß das in der Ebene S = s 1 s 2 liegende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C, wobei C auf der zweiten Spur s2 liegen soll. Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Ebene um die zweite Spur zu drehen. Falls es mehrere Lösungen gibt, sind alle einzuzeichnen.

s2

B ''

A ''

x12

s1

Kugel

Blatt ZN - 23

Konstruieren Sie den Schnittkreis der Ebene S = s1s2 mit der Kugel F = (M , r) in Grund- und Aufriß. Hinweis:

Nutzen Sie zur Konstruktion jeweils einen geeigneten Seitenriß.

s2

M ¢¢

x 12

M¢

s1

Oktaeder

Blatt ZN - 24

In Grund und Aufriß seien eine Frontgerade g und ein Punkt A durch ihre Bilder gegeben. Konstruieren Sie das reguläre Oktaeder, von dem g eine Raumdiagonale und A ein Eckpunkt sind. Hinweis: Das reguläre Oktaeder ist ein Polyeder mit acht gleichseitigen Dreiecken als Polyederseiten. Das reguläre Oktaeder ist bezüglich der drei Raumdiagonalen axialsymmetrisch. Jeweils zwei Raumdiagonalen bestimmen eine Ebene durch vier Eckpunkte, die das Oktaeder in einem Quadrat schneiden.

g’’

A’’

x12 A’

g’

Seitenriß

Blatt ZN - 26

Konstruieren Sie Grund- und Aufriß des Quadrats ABCD, dessen Diagonale BD auf der Geraden g = PQ liegt. Hinweis: Nutzen Sie einen Seitenriß, in dem das Quadrat in wahrer Gestalt erscheint.

Q¢¢

A¢¢

P¢¢

x12

Q¢

A¢ P¢

Spuren

Blatt ZN - 28

Konstruieren Sie die Spuren s1, s2 der Ebene S = ABC mit A (3,-1,1) , B ( 6,6,3) , C (1,4,9) . Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die Spurpunkte von zwei Geraden der Ebene.

C ''

B ''

A ''

C'

A'

B'

Spiegelpunkt

Blatt ZN - 30

Konstruieren Sie das Spiegelbild Q des Punktes P bezüglich der (Spiegel-) Ebene S = s1 s2 . Hinweis: Konstruieren Sie zunächst den Lotfußpunkt L auf der Ebene S .

P ’’ s2

x 12

P’

s1

Inzidenz Punkt - Ebene

Blatt ZN - 31

Konstruieren Sie von den in der Ebene S = s1 s2 liegenden Punkten P, Q, R und S die jeweils fehlenden Risse..

s2

S ’’

R’ Q ’’

x 12

P’

s1

Kreis

Blatt ZN - 32

Konstruieren Sie in Grund- und Aufriß den Kreis k in der Ebene S = s1s 2 mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r = 4 . s2

x12

M'

s1

Breitenkreise

Blatt ZN - 33

Konstruieren Sie in Grund- und Aufriß den Äquator und den Breitenkreis 60° n.B.

N ’’

S ’’

Würfel

Blatt ZN - 36

Der auf P1 stehende Würfel mit den Eckpunkten A, B, C, ..., H ist so nach vorn zu kippen, daß die Raumdiagonale BH senkrecht steht. Konstruieren Sie den gekippten Würfel im Aufriß. Hinweis: Nutzen Sie den Seitenriß in P 3 (Rißachse x13 ), in dem die Drehachse a senkrecht steht, um den erforderlichen Drehwinkel zu konstruieren.

x12 D=H ’

A=E ’

C=G ’

B=F ’

x13

Schnitt zweier Dreiecke

Blatt ZN - 54

Konstruieren Sie unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit den Schnitt der Dreiecke ABC und KLM .

K ’’ C ’’

M ’’ L’’

A’’

B ’’ x12 L’

C’

A’

B’ M’

K’

Geländespuren

Blatt KP - 01

In den Punkten M, N und R der Erdoberfläche wurden je Tiefen bis zu einer geologischen Schicht gemessen. Dabei ergaben sich folgende Meßwerte: M: 4 m, N: 13 m, R: 6 m. Man konstruiere die Spurlinie der geologischen Schicht an der Erdoberfläche. Die geologische Schicht (genauer: ihre Grenzfläche) ist als eben anzunehmen.

78 78

80 N’ 79

A’

78 77 76 75

M’

74 R’ 73 72 B’ 71 70 69 68 67 66 P’

78

Straße

Blatt KP - 02

Konstruieren Sie im dargestellten Geländegebiet für das geplante Straßenprojekt die erforderlichen Böschungsebenen (Auftrag: iAuf = 1,8 , Abtrag: iAb = 1,5 ). Es sind alle Haupthöhengeraden und alle Schnittgeraden zu zeichnen. Kartenmaßstab 1 : 200, Höhenangaben in [m].

94

93 94 93 92

92 91 90

91

90 90

89

91

92 88

87

93

Weg

Blatt KP - 03

Gegeben sind zwei waagerechte Ebenen E1 und E2 mit den Höhen 82 m und 74 m. Zwischen beiden Ebenen liegt eine Hangebene E3, die E1 in g1 und E2 in g2 schneidet. Ein (ebener) Weg führt von E1 nach E2. Der Weg ist gegen das Gelände im Auftrag mit v = 2 : 3 und im Abtrag mit v = 1 : 1 abzuböschen. Konstruieren Sie den Hauptschichtenplan von Gelände, Weg und Böschung.

g1 (82) E1 (82 )

g 2 (74) E2 (74 )

E3

82

74

Maßstab: 0 1

5

10

15

20

Geländeprofile

Blatt KP - 04

Vom Punkt A (240) zum Punkt B (190) ist das Teilstück einer Hochstraße mit konstantem Gefälle zu projektieren. Es stehen drei Linienführungsvarianten zur Auswahl. Welche Variante besitzt die kleinste Maximalhöhe der Stützpfeiler? Zur Analyse sind die Geländeprofile entlang der Linienführungsvarianten zu verebnen. (Die Geländehöhe im Punkt B ist mit 173 m anzunehmen.)

230

220

210

200

190

180

B 170

170

180

230 190 200 220 190

Variante 1 230 180

Variante 2

180 230

Variante 3 190

200

230 210

A 230

220

220

220

210

Plateau

Blatt KP - 07

In einem geneigten ebenen Gelände, festgelegt durch die graduierte Fallgerade f , das in ein Höhenplateau z = 8 übergeht, ist ein horizontaler Platz der Höhe z = 12 und ein vom Höhenplateau z = 8 dahin führender Weg anzulegen. Konstruieren Sie die Böschungsflächen für den Auftrag 1:1 und den Abtrag 5:3 Anzugeben sind die Höhenlinien und Schnittgeraden des Geländes und der Böschungsebenen Hinweis: Die Böschungssituation in den Ecken des Platzes ist vereinfacht ohne Böschungskegel zu konstruieren.

16 15 14 13 12 f’

z = 12

11

10

9 Längenmaßstab 0

1

2

3

8

z=8

Baugrube

Blatt KP - 09

Die durch ihren Sohlengrundriß gegebene Baugrube (Kote der Sohle: 79) ist gegen das Gelände (Plateau E 1 in Höhe 80, ebener Hang E2 , Plateau E 3 in Höhe 83) mit der Abtragsneigung 1:1 abzuböschen. Kartenmaßstab 1 : 100

83 82

81

E3 (83)

80

E1 (80)

Böschungskegel

Blatt KP - 10

Auf einem Baustofflager werden mittels Förderband Sand (vS = 1: 2) und Kies ( vK = 1:1, 4 ) nebeneinander aufgeschüttet. Es enstehen zwei Kegel mit der Spitze S¢ (6) bzw. K¢ (8) . Wegen eines zu knapp gewählten Abstandes überschneiden sich die beiden Kegel. Man konstruiere das Höhenlinienbild der beiden Kieshaufen (Maßstab 1:200, Basishöhe des Lagerplatzes: 0 m).

S' (6)

K' (8)

Anstiegswinkel

Blatt KP - 11

In einer durch ihren Hauptschichtenplan gegebenen Ebene liegen zwei Geraden g¢1 und g¢2 durch P¢ . Man konstruiere die Anstiegswinkel der beiden Geraden.

g1 '

P' (8)

10

9

g2'

8

7

6

5

Maßstab 0

1

2

3

4

5

Böschung

Blatt KP - 12

Über einen Damm (Höhe der Dammkrone z = 12 ), der auf einem Plateau der Höhe z = 8 aufgeschüttet ist, ist ein Weg gemäß vorgegebenem Grundriß anzulegen und mit dem Böschungsverhältnis v = 1 : 2 gegen das Gelände abzuböschen.

8

12

8 9 10 11 12

12 11 10 9 8

8 Maßstab 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Grundkonstruktionen I

Blatt KP - 15

Gegeben sind vier Punkte A, B, C, D in kotierter Projektion. Konstruieren Sie a) die Graduierung der Geraden g = AB b) den Hauptschichtenplan der Ebene S = ABC c) die Graduierung der Fallgeraden f von S durch C d) den Neigungswinkel j von S durch Konstruktion sowie durch Berechnung nach Messen von iS . e) den Abstand d = DS.

A’ (3,7)

B ’ (-1,2)

C ’ (2,5) = D ’ (5)

0

1

2

3

4

5

6

Grundkonstruktionen II

Blatt KP - 16

Gegeben sind die Gerade g durch ihre kotierte Projektion und von einer Geraden l das Bild l¢ . Die Geraden g und l liegen in einer Ebene D . Konstruieren Sie a) den Hauptschichtenplan der Ebene D , für die l eine Fallgerade ist b) den Neigungswinkel g der Geraden g c) den Neigungswinkel j der Ebene D . 1 Einheit = 1 cm.

0 1 2 3 4 5 6 l’

g’

Grundkonstruktionen III

Blatt KP - 17

Gegeben sind eine Ebene S durch ihren Hauptschichtenplan, eine in S gelegene Gerade s sowie der Grundriß einer Höhengeraden h . Konstruieren Sie a) den Hauptschichtenplan der Ebene D , die die Ebene S in der Geraden s schneidet und zu h parallel ist. b) den Neigungswinkel j der Geraden s . Maßeinheit der Koten: m Maßstab 1 : 75.

19 18 17 16 15 14 13 12 s’

h’...