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Memoria de prática Péndulo de Phol...

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Sergio Casado

OSCILACIONES FORZADAS

Sergio Casado Obesso 1º ITI

Memoria Laboratorio Física, 1

Sergio Casado

Índice -

Resumen

-

Introducción

-

Métodos y materiales

-

Resultados

-

Desarrollo de errores

-

Cuestiones

-

Discusión y conclusión

-

Referencias

Memoria Laboratorio Física, 2

Sergio Casado

Resumen La práctica acerca de las oscilaciones forzadas tiene como objetivo el estudio del movimiento oscilatorio libre, el amortiguado y el forzado. En la primera práctica se pretende demostrar que tras mover el disco de cobre a una determinada distancia del centro de equilibrio y soltarla, oscila hasta detenerse debido a la amortiguación del muelle helicoidal. El fin de la segunda práctica es probar que al ejercer una fuerza de amortiguación mediante un freno magnético aportando una tensión cada vez mayor va disminuyendo gradualmente la amplitud. Por último, en la tercera práctica se quiere verificar que hay una frecuencia de excitación con una amplitud máxima y al modificar dicha frecuencia, aumentándola o disminuyéndola, la amplitud irá variando, pero nunca será mayor que la de excitación.

Introducción Para llevar a cabo las prácticas a cerca de las oscilaciones forzadas hemos necesitado el Péndulo de Pohl, mediante el cual medíamos diferentes periodos y amplitudes en función de si había fuerza de amortiguación, estaba en funcionamiento el motor que modificaba el periodo del péndulo o sin aplicar una fuerza de amortiguación o del motor. En el caso del movimiento oscilatorio libre cuando desplazamos el disco de cobre del centro de equilibrio, la fuerza que ejerce el muelle helicoidal sobre el disco de cobre tenderá a devolverla al punto de equilibrio, debido a la constante elástica del muelle helicoidal que tiene como predisposición a estar en el equilibrio. La ecuación de movimiento viene definida por: 𝑘∗

Φ(𝑡) = Φ𝑜 cos (𝜔𝑜 𝑡) / 𝜔𝑜 = √ 𝐼

𝑧

Por otro lado, en la segunda práctica de oscilaciones amortiguadas, el freno magnético dificultará la oscilación a el disco de cobre haciendo que cada vez sea menor su amplitud. Esto se debe a que a dicho freno magnético se le aporta una intensidad de corriente. En función de cuál sea el coeficiente de amortiguación puede haber diferentes casos: sobreamortiguamiento (𝜉 2 > 𝜔𝑜2 ) no llegaba a oscilar, se para en la posición de equilibrio. Amortiguamiento (𝜉 2 = 𝜔𝑜2 ) parecido al sobreamortiguamiento pero más rápido. Subamortiguamiento (𝜉 2 < 𝜔𝑜2 ) oscila y va disminuyendo la amplitud en función del tiempo. En este último caso la ecuación de movimiento del péndulo será: 𝐶

Φ(𝑡) = Φ𝑜 exp(−𝜉𝑡) cos (𝜔𝑡) / 𝜉 = 2𝐼

𝑧

/ 𝜔 = √𝜔𝑜 − 𝜉 2

Por último, en el caso de las oscilaciones forzadas, un motor va unido a una varilla excitadora que modifica la posición del muelle helicoidal alterando el periodo y la amplitud del disco de cobre. En este experimento habrá un punto en el que tendrá una amplitud máxima con una determinada tensión del motor, al modificar dicha tensión del motor variará la amplitud y el periodo del péndulo.

Φ(𝑡) = 𝐴cos (Ω𝑡 + 𝛿) / 𝐴 =

𝑓𝑜

√(𝜔𝑜2 −Ω2 )2 +4𝜉2 Ω2

Memoria Laboratorio Física, 3

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Métodos y materiales En este experimento hemos estado utilizando el Péndulo de Pohl. Que consta de varias partes: una corona circular plana que indica las unidades para poder medir la amplitud, un disco de cobre con un indicador situado en el punto de equilibrio que al oscilar mostrará la variación de amplitud y un muelle helicoidal que permite la amortiguación del disco de cobre. En función de la práctica que se quiera hacer se deberá de usar diferentes componentes, si se quiere estudiar una oscilación amortiguada, se deberá utilizar el freno magnético conectado a una corriente, que cuanto mayor sea dicha corriente mayor será el amortiguamiento. Por último, para demostrar las oscilaciones forzadas, se empleará un motor que irá rotando a diferente frecuencia. El motor mueve una biela conectada a una varilla excitadora que alterará la posición inicial del muelle helicoidal modificando la oscilación del disco de cobre. Dependiendo del experimento que se quiera estudiar se utilizaran distintos métodos. En las oscilaciones libres situamos el disco de cobre a una determinada amplitud y tras soltarlo estudiamos el periodo; para no acumular mucho error en una sola medición se mide el periodo de 20 oscilaciones, para así poder tener el periodo de una sola oscilación con mayor precisión. En las oscilaciones amortiguadas empleamos un freno magnético que hará que gradualmente disminuya la amplitud, cuanto mayor sea la corriente del freno magnético menor será la amplitud y antes llegará al punto de equilibrio. En las oscilaciones forzadas se irá variando la tensión del motor para conseguir llegar al punto de frecuencia de excitación donde tendrá la mayor amplitud posible. Tras llegar a dicho punto se modificará la tensión para ver la evolución de la amplitud que irá disminuyendo.

Resultados Tabla1: Medida del periodo t20 Medida t20 (s)

t1 ± 0,01 s t2 ± 0,01 s t3 ± 0,01 s t4 ± 0,01 s t5 ± 0,01 s 36,56 36,66 36,72 36,65 36,62

Error del cronómetro: Error estándar de la media: (s) ± To = (Ʃt20 /5) / 20 (s) Error de To (s) ± ω0= 2π/To (Hz) Error de ωo (Hz) ±

Ʃt20/5 ± 0,026 36,642

± 0,01 S 0,026 1,8321 0,0013

3,42950 0,00245 Memoria Laboratorio Física, 4

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Resultados Tabla2: Variación de la amplitud en función del voltaje del freno Tabla2.1: variación de la amplitud en con un freno electromagnético de 4V ±ε ln(φ)

t (± 0,01) (s) 0

φ (± 0,1) (u) 19,8

Ln(φ) (±ε ln(φ)) 2,99

To/2

18,8

2,93

2To/2

18

2,89

0,033 0,034 0,035

3To/2

16

2,77

0,036

4To/2

14,2

2,65

5To /2

13,6

2,61

0,038 0,038

6T0/2

12,2

2,5

0,04

7To/2

11,4

2,43

8To/2

10,2

2,32

0,041 0,043

9To/2

9,6

2,26

0,044

10To/2

8,6

2,15

0,046

11To/2

8

2,08

0,048

12To/2

7,2

1,97

0,051

13To/2

6,6

1,89

0,053

14To/2

6

1,79

0,056

Tabla2.2: variación de la amplitud en con un freno electromagnético de 6V

t (± 0,01) (s) 0

φ (± 0,1) (u) 19,8

To/2

15,8

2To/2

12,4

3To/2

9,4

4To/2

7,2

5To /2

5,6

6T0/2

4,4

7To/2

3,2

8To/2

2,4

9To/2

1,8

10To/2

1,4

11To/2

1

12To/2

0,8

13To/2

0,4

14To/2

0,4 Memoria Laboratorio Física, 5

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Resultados Tabla2.3: variación de la amplitud en con un freno electromagnético de 8V t (± 0,01) (s) 0

φ (± 0,1) (u) 19,8

To/2 2To/2

13,2 8,2

3To/2

5,4

4To/2 5To /2

3,4 2

6T0/2

1,2

7To/2 8To/2

0,8 0,4

9To/2

0,2 -Pendiente (a ± 0,0013) → -0,0950

-Coeficiente de correlación lineal r → 0,999 -Ordenada en el origen (b ± 0,01) → 3,026

-Coeficiente de amortiguamiento (ξ ± 0,0013 ) → 0,0950 -Decrecimiento logarítmico (lnK ± 0,0025) → 0,17319 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,00

. -Recta de mínimos cuadrados: 𝐿𝑛(𝜙) = −0,095𝑡 + 3,026 -Razón de amortiguamiento (K ± 0,003) → 1,189

Vb=4V Vb=6V Vb=8V recta minimos cuadrados ln(ϕ) Exponencial (Vb=4V) Exponencial (Vb=6V) Exponencial (Vb=8V) Lineal (recta minimos cuadrados ln(ϕ))

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00

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Sergio Casado

Resultados Tabla3: Estudio de la variación de la amplitud en función del motor Tf ( ± 0,01) Ω (± εΩ ) ± εΩ φ i ( ± 0,1i ) φ d ( ± 0,1 ) φ ( ± 0,284 ) 1,878 3,346 0,0335 5,2 4,6 4,9 1,836 3,422 0,0342 5 4,4 4,7 1,818 3,456 0,0346 4,8 4,2 4,5 1,762 3,566 0,0357 4 3,4 3,7 1,656 3,794 0,0379 2,6 2 2,3 1,636 3,841 0,0384 2,4 1,8 2,1 1,55 4,054 0,0405 1,8 1,2 1,5 1,512 4,156 0,0416 1,6 1 1,3 1,932 3,252 0,0325 4,8 4,2 4,5 2,15 2,922 0,0292 2,8 2,2 2,5 2,236 2,810 0,0281 2,4 1,8 2,1 2,538 2,476 0,0248 1,8 1,2 1,5 -Frecuencia de resonancia experimental; Ω𝑒𝑥 𝑟 (± 0,0335 )= 3,346 (En gráfica color naranja) -Frecuencia de resonancia teórica; Ω𝑡𝑟 (± 0,0025) = 3,4327 (En gráfica color morado) -Frecuencia natural wo (± 0,00245)= 3,4295 (En gráfica color amarillo) 6 5,5 5 4,5 4

3,5 3 2,5 2 1,5 1 2

2,5

3

3,5

4

4,5

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Desarrollo del cálculo de errores: -Error estándar de la media: a través de Excel DESCEST.M(datos x)/RAIZ(n) → 0,026. En este caso hemos tomado 5 medidas por lo que n será 5. -El error de T es el error estándar de la media entre 20 → -El error de ωo se calcula a través de: -El error del ln(𝝓) →

𝜕𝑦

𝜕𝜙

1

𝜕𝑤𝑜 𝜕𝑇𝑜

2𝜋

𝜀𝑡20 20

=

0,026 20

εTo → | 𝑇2 · ℇ𝑇𝑜 | = 0,00245 𝑜

𝜀𝜙 → | | · 𝜀𝜙, este error irá variando en función de la amplitud que haya. 𝜙

-A través de la estimación lineal vamos a conseguir el error de a, b → ESTIMACION.LINEAL(datos de y; datos de x;1;1) En datos de y ponemos los valores del ln(𝜙). En los datos de x ponemos los valores del To correspondiente. El error de a ±𝜀𝑎 = 0,0013; ±𝜀𝑏 = 0,01 -Comparando las ecuaciones de ln Φ(t) = at + b y lnΦ(t) = lnΦo −ξt podemos sacar el error del coeficiente de amortiguamiento ya que -ξ ±𝜀𝜉 = a ±𝜀𝑎 . -El error de la razón de amortiguamiento (K) lo sacamos con una derivada parcial: 𝜕𝑘

𝜕𝑘

𝜀𝑘 = |𝜕𝜀 | 𝜀𝜉 + | 𝜕𝑇| 𝜀𝑇 → 𝜀𝑘 = |ⅇ 𝜉𝑇 𝜉| · 𝜀𝜉 + |ⅇ 𝜉𝑇 𝑇| · 𝜀𝑇 = 0,003 -El error de ln(K) →

𝜕𝑦

𝜕𝜙

1

𝜀𝜙 → | | 𝜀𝑘 = 0,0025 𝑘

-Error de Ω se consigue a través de la derivada parcial: |

𝜕𝛺

𝜕𝑇𝑒𝑥

2𝜋

| · 𝜀𝑇𝑜 →| | · 𝜀𝑇𝑓 ; este error va variando en función del 𝑇 𝑓

periodo que tenga el motor. -Error de la amplitud(𝝓) al ser un sistema analógico es la mitad de la medida más pequeña que pueda medir el instrumento, en este caso son 0,2 unidades por lo que el error de la amplitud por la izquierda y la derecha 𝜙 𝑖 𝑦 𝜙 𝑑 = 0,1 el error de la amplitud total se saca con el comando de Excel DESCEST.M(datos x)/RAIZ(n); en este caso hemos tomado 24 medidas en total (12 de izquierda y 12 de derecha) por lo que la n será 24. -Error de la frecuencia de resonancia experimental se consigue a través de la derivada parcial de |

𝜕𝛺

𝜕𝑇𝑒𝑥

2𝜋

| | 𝜀𝑇𝑓 = 0,0335 𝑇

| · 𝜀𝑇𝑜 →

𝑓

-Error de la frecuencia de resonancia teórica se saca de la derivada parcial de Ω𝑟 = √𝜔𝑜2 − 2𝜉2 → 1

1

1

1

𝜀Ω𝑟 = | 2 · (𝜔𝑜2 − 2𝜉 2 )−2 · 2𝜔𝑜 | · 𝜀𝜔𝑜 + | 2 · (𝜔𝑜2 − 2𝜉 2 )−2 · 2𝜉| · 𝜀𝜉 = 0,0025

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Cuestiones Cuestión1: Debido a que cuanto mayor era la corriente aportada menor oscilación tenía, al superar el voltaje recomendado para llevar a cabo el experimento lo que sucederá es que el péndulo no oscilará y se quedará quieto en el lugar en el que se le suelte, ya que el muelle no tendrá la suficiente fuerza para que regrese al punto de equilibrio inicial. Cuestión 2: En el caso de Vb=4V → 𝑇 =

2𝜋

√𝑤𝑜2 − 𝜉2

→ T = 1.833 s

Cuestión 3: 𝐴=

𝑓𝑜

√(𝜔𝑟2 − Ω2 )2 +4𝜉2 ·Ω2

→ 𝐴 = 𝑓𝑜 · ((𝜔𝑟 2 − Ω2 )2 + 4𝜉2 · Ω2 )

−1 2

→ 𝐴´ =

Desarrollando (𝜔𝑟 2 − Ω2 )2 + 4𝜉2 · Ω2 → ωr4 + Ω4 − 2𝜔𝑟 2 Ω2 + 4𝜉2 · Ω2

𝐴´ =

𝜕𝐴

1

= 𝑓𝑜 · − 2 · (ωr4 + Ω4 − 2𝜔𝑟 2 Ω2 + 4𝜉 2 · Ω2 ) 𝜕𝜔𝑟

𝐴´ =

𝜕𝐴 𝜕𝜔𝑟

𝐴´ =

𝜕𝐴 𝜕Ω

𝐴´ =

𝜕𝐴 𝜕Ω

Ω=√

=

−𝑓𝑜 · (4ωr3 −4𝜔𝑟Ω2 )

2·√(ωr4 +Ω4 −2𝜔𝑟2 Ω2 +4𝜉2 ·Ω2 )3 1

→ 𝐴´ =

𝜕𝐴 𝜕𝜔𝑟

=

= 𝑓𝑜 · − · (ωr4 + Ω4 − 2𝜔𝑟 2 Ω2 + 4𝜉2 · Ω2 ) 2

=

4𝜔𝑜2 −8𝜉2 4

−𝑓𝑜 · (4Ω 3 −4𝜔𝑟2 Ω+8𝜉2 ·Ω)

2·√(ωr4 +Ω4 −2𝜔𝑟2 Ω2 +4𝜉2 ·Ω2 )3

−3 2

𝜕𝐴

𝜕𝜔𝑟

+

𝜕𝐴 𝜕Ω

→

· (4ωr 3 − 4𝜔𝑟Ω2 ) → 𝑓𝑜

2𝜉· √𝜔𝑜2 − 𝜉2 −3 2

· (4Ω3 − 4𝜔𝑟 2 Ω + 8𝜉 2 · Ω)

= 0 → (4Ω3 − 4𝜔𝑟 2 Ω + 8𝜉 2 · Ω) = 0 → 4Ω · ( 4Ω2 − 4𝜔𝑜

2

+ 8𝜉 2 ) = 0

→ Ω = √𝜔𝑜2 − 2𝜉 2

Discusión y conclusión En la parte de oscilaciones libres nos damos cuneta que la amplitud no influye en el periodo y que no importa soltarlo a una amplitud de 20 o soltarlo a una amplitud de 10 ya que el periodo será el mismo. En la parte de las oscilaciones amortiguadas con un freno electromagnético que íbamos variando la potencia con la que frenaba. Cuanto mayor fuera la corriente de frenado (en nuestro caso 4V, 6V y 8V) menor serian las oscilaciones que llevara a cabo hasta llegar al punto de equilibrio y quedarse parado. Podemos apreciar que en el caso en el que al freno se le alimentaba de una corriente de 4V la amplitud iba decreciendo paulatinamente en función de cuantas oscilaciones llevase. Sin embargo, en el caso de en el que el freno era alimentad con una corriente de 8V la amplitud iba decreciendo de manera mucho mayor sin llegar a oscilar las mismas veces que en el caso de los 4V, deteniéndose a la novena oscilación. Por último, en el caso de las oscilaciones forzadas en el que hay una biela conectada al motor que irá rotando y alterando la posición del muelle helicoidal, haciendo que en función de la frecuencia que tenga el motor llegará a una amplitud u otra. Al ir modificando el periodo del motor se ve que el punto de amplitud máxima llegará cuando el motor lleve una frecuencia muy parecida al periodo que tenía en las oscilaciones libres, es decir, en nuestro caso aproximadamente 1,3821, llamada frecuencia de resonancia. A partir de esa frecuencia con la que rota el motor podremos ir aumentándola o disminuyéndola y esa amplitud nunca superará la amplitud máxima (con la frecuencia de resonancia). También es importante mencionar que en esta ultima práctica si no estuviese el freno electromagnético conectado con una corriente de 4V la corona circular plana empezaría a oscilar de tal manera que llegaría un punto el cual llegaría al tope y se quedaría encajada. Memoria Laboratorio Física, 9

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Referencias -

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/pohl/pohl.htm

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https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book%3A_University_Physics_(OpenStax)/Map%3A_U niversity_Physics_I__Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/15%3A_Oscillations/15.07%3A_Forced_Oscillations

-

https://www.aulavirtual.urjc.es/moodle/pluginfile.php/8196857/mod_resource/content/1/Laboratorio_Guiones%20pr acticas.pdf

-

https://www.3bscientific.com/PhysicsExperiments/UE1050550_EN.pdf

-

Libro Tipler, Física 6ª edición, Editorial Reverté, Volumen 1.

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Libro Burbano, Física general 32ª edición, Editorial Tébar.

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