Méréstech összefoglaló 2 Hibaszámítás 2 PDF

Preview

Summary

II. 3. fejezet 1. (folytonos x f ( x) dx 2. N darab minta 1 N xi N i 3. momentum: x Ex 2 2 f ( x) dx 4. variancia) 2 E x 2 E 2 5. 6. A 1 N 2 (xi ) N i 7. Tapasztalati N 1 2 (xi ) N 1 i 8. azonos (ismert a a nyert S S N S2 N 12 S N 1 9. azonos (ismert a a a a 2 12 N N 10. GUM (Guide to the expression...

Description

Hibaszámítás II. – 3. fejezet /Képletgyőjtemény/ 1. Várható érték számítása (folytonos eloszlás esetén):

∫

( )

2. Várható érték becslése N darab minta alapján: 1 ˆ

∑ 1

3. Második momentum:

∫

2

2

( )

4. Szórásnégyzet (más néven variancia) kiszámítása Steiner-tétel alapján: 2

2

2

5. Szórás: 2

6. A szórás becslése minták alapján:

1

∑

2

1

7. Tapasztalati szórás számítása minták alapján:

1

∑

2

1 1 8. Független azonos eloszlású valószínőségi változók (ismert a várható érték és a szórás) összegzésével nyert valószínőségi változó, S várható értéke és szórása: 1

⇒ 1 9. Független azonos eloszlású valószínőségi változók (ismert a várható érték és a szórás) átlagolásával a várható érték és a szórás: 2

2 1

1 2

2 1

⇒

1

10. GUM (Guide to the expression of uncertainly in measurement): 1) 2) 3) A típusú bizonytalanság meghatározása 4) B típusú bizonytalanság meghatározása 2

5) Együttes bizonytalanság: 6) Eredı bizonytalanság: ( )

∑

2

( ) 2

1

7) Bizonytalanság kiterjesztése: 8) Mérési eredmény megadása

( )

2

( )

Példák /3. gyakorlat, 4. gyakorlat, és 5. gyakorlat/ 3.1. feladat – 3. gyakorlat egyenletes eloszlású valószínőségi változó a [-1; 1] intervallumban. Rajzoljuk fel sőrőségfüggvényét, számítsuk ki várható értékét és szórását! Megoldás: 1) [-1;1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínőségi változó sőrőségfüggvénye: f( ) 0,5

-1 2) A várható érték számítása definíció szerint:

∫

1

∫

( )

1

1 2

1 1  2 2  2 

1

1 2

∫ 1

1

1 1  2 2

1

1  2

0

3) A szórás kiszámítása: Szórásnégyzet meghatározása a második momentum és az elsı momentum segítségével: 2

2

2

2

2

0 2

2

∫

2

1 2

( )

1

1  3 2  2  1

1

∫

2

1

1 3

Szórás: 1 3

2

3.2. feladat – 3. gyakorlat Egy mérend ı mennyiségrıl azt tudjuk, hogy olyan valószínőségi változóval modellezhetı, amelynek valószínőség-s ő rőségfüggvénye az [1; 2] és a [3; 4] intervallumban konstans értékő, másutt zérus. Határozzuk meg a mérendı mennyiség várható értékét és szórását! Adjuk meg annak az intervallumnak a szélességét, amelybe a mérési eredmények 90%-os valószínőséggel beleesnek! Hol helyezkedik el ez az intervallum? Megoldás: 1) A valószínő ségi változós modell s ő rő ségfüggvénye: f(x) 0,5 1

2

3

4

x

2) Várható érték kiszámítása

∫

( )

1 2  2 ∫1

4

∫

3

  

2

1  2 2  2 1

4

1  2 2  2  3

1  4 1 16 9  10   2 2 2 2 2  4 3) Szórás meghatározása (hasonlóan a 3.1 feladathoz): 4  8 1 1 2 2 2 2 ∫  ∫ 2 1 3  6 6 2

2

44 100 6 16

2

2 .5

64 6

44 6

27 6

25 4

44 6 26 24

1.04

3.3. feladat – 3. gyakorlat Egy normális eloszlású x mennyiségrı l azt tudjuk, hogy 1 és 2 közötti értéket vesz fel 99.7%os konfidenciaszint mellett. Becsüljük meg x szórását! Megoldás: Normális eloszlás sőrőségfüggvénye és tulajdonságai: f(x) P 95%

P 99,7%

x 2 3

2 3

A fenti becslések alapján jól látható, hogy normális eloszlás esetén P 99.7%-os valószín őséggel a 6 hosszú intervallumon belül vagyunk, így az [1,2] intervallum 6 hosszú intervallumnak felel, amibıl a szórás becslı je: 1 2 1 6 ⇒ 6

3.10. feladat – 3. gyakorlat: Standardizálás Standard normális eloszlású mintákat szeretnénk generálni. Rendelkezésünkre áll egy program, amely a [0; 5] intervallumban egyenletes eloszlású mintákat generál. Normális eloszláshoz úgy jutunk, hogy ezzel a programmal 48 mintát generálunk és ezeket összeadjuk. Milyen transzformációt kell végezni az összegzés eredményeként kapott mintákon, hogy eloszlásuk standard normális eloszlású legyen? Megoldás: Az egyenletes eloszlású minta várható értéke: 5 0 2 .5 1 2 Az egyenletes eloszlás szórása:

5 0 2 5 1 12 12 N=48 darab egyenletes leoszlású minta összegének várható értéke: ˆ 48 2.5 120 1

N=48 darab egyenletes leoszlású minta összegének várható értéke: 5 ˆ 48 10 1 12 Tehát ahhoz, hogy standard normális eloszlást kapjunk az alábbi transzformációt kell elvégeznünk: ˆ 120 ˆ 10 Ahol S i a 48 darab egyenletes eloszlás összegébıl nyert közelítıleg normális eloszlású valószínőségi változó.

3.9. feladat – 4. gyakorlat Aprajafalva be akar lépni a Bergengóc Unióba. Ehhez szabványosítani kell fı exportcikküket, az áfonyakonzervet. Ügyi szerkesztett egy áfonyaszámláló berendezést, így a konzervbe mindig pontosan 120 darab áfonya kerül. Egy áfonya tömege 4.5 g és 5.5g között lehet egyenletes eloszlással. Adjuk meg az Aprajafalván gyártott konzerv nettó tömegére vonatkozó 98%-os konfidenciaintervallumot. Megoldás: Egy áfonya tömegének várható értéke: 1

∫

( )

4 .5

5 .5

5

2

Egy áfonyának tömegének a szórása: 1

∫

2

( )

2 1

5 .5 4 .5 12

2

3 6

0.289

Egy áfonyakonzerv tömegének várható értéke: ˆ 1 120 5 600 Egy áfonyakonzerv tömegének szórása: 120 3 ˆ 10 3.16 1 36 A 98%-os konfidenciaszint azt jelenti, hogy 1% a valószínősége annak, hogy a konzerv tömege nagyobb értéket vesz fel, mint a kívánt érték, illetve 1% annak a valószínősége, hogy a kívánt értéknél kisebb értéket vesz fel. Ezek alapján az alábbi összefüggést írhatjuk fel: ˆ ˆ 0.01 ˆ ˆ 0.01 0.98 A standard normális eloszlás táblázata alapján: 2.33 0, 01 A fentiek alapján a konfidencia intervallum: ( ˆ ˆ 0,01 ; ˆ ˆ 0,01 ) 600 3.16 2.33;600 3.16 2.33 592.637 607.363 0.98

(592.637 ; 607.363)

Tehát a konzerv tömege 592.637g és 607.363g között lesz 98%-os konfidenciaszinten

3.19. feladat – 5. gyakorlat Egy ellenállás értékét akarjuk megmérni a rajta átfolyó áram és a rajta esı feszültség megmérésével. A mérés során két különbözı mőszert használunk. Mekkora a mért ellenállás értéke és standard bizonytalansága, ha a feszültségmérés eredménye 1V, szórása 0.01V, az áram mérés eredménye 1mA, szórása 10 A. Megoldás: A mért feszültség és áram standard bizonytalansága egyenlı a szórással. Az ellenállás az alábbi módon fejezhetı ki: 1 Ez alapján a feszültség és az áram érzékenysége: 1 2

Az ellenállás bizonytalansága:

( )

2

2

( )

2

2

( )

14 .1

0.0141...