Merkhilfe fuer das fach mathematik standard PDF

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STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT UND BILDUNGSFORSCHUNG MÜNCHEN

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

1 Inhalte der Mittelstufe Lösungsformel für quadratische Gleichungen ax 2  bx  c  0  x 1/2 

2 b  b  4ac 2a

Potenzen m

n

ar 

a n  am r

s

a a  a

r s

r

a

as

 

1 a

r

a

r

s

rs

a

a  b  ab 

r s

r

a

r

r

r

ar

a   r b b 

Logarithmen loga  bc   loga b  loga c

loga

b  loga b  loga c c

r

log a b  r  log a b

Strahlensätze

Ist AB || A  B , so gilt: 

ZA ZB ZA ZB ,   ZA ZB AA BB



ZA AB  ZA AB

2. Auflage

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

Rechtwinkliges Dreieck  Satz des Pythagoras: a2  b2  c2  Höhensatz: h2  pq  Kathetensatz: a2  cp , b2  cq  sin α 

sin α a b a  , cos α  , tan α  cos α b c c

Allgemeines Dreieck  Sinussatz: a : b : c  sin α : sinβ : sin γ  Kosinussatz: a2  b2  c 2  2bc cos α , b 2  a 2  c 2  2ac cos β , c 2  a 2  b 2  2ab cos γ

Sinus und Kosinus sin φ    sin φ

cos  φ   cos φ

sin 90   φ   cosφ

cos  90   φ  sinφ

Figurengeometrie a c h 2  Kreis: U  2r π , A  r 2π

 Trapez: A 

Raumgeometrie  Prisma: V  Gh  Pyramide: V  13 Gh  gerader Kreiszylinder: V  r2 πh , M  2r πh  gerader Kreiskegel: V  13 r2 πh , M  r πm  Kugel: V  43 r 3 π , O  4r 2π

2

 sin φ

2

2

  cosφ  1

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

2 Analysis Grenzwerte lim

x 

xr e

0

x

lim

ln x r

x

x 

0





lim xr  ln x  0

x 0

(jeweils r  0 )

Ableitung

 Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate):  f   x 0   lim

x x0

f  x   f  x0  x  x0

f  x  f x 0  (falls der Grenzwert existiert und endlich ist) x  x0

 Schreibweisen: f  x  

d f x d dy f x     y dx dx dx

Ableitungen der Grundfunktionen

 x   r  x

 sin x    cos x

 e   e

 ln x   

r

x

r 1

x

1 x

cos x    sin x

a   a x

x

 ln a

 loga x  

1 x  ln a

Ableitungsregeln

 Summenregel:

f  x  u x   v  x 



f   x   u  x   v   x 

 Faktorregel:

f  x   a  u x 



f   x   a  u  x 

 Produktregel:

f  x  u x   v x 



f   x   u  x   v  x   u  x   v   x 

u x  v x



f  x  



f   x   u  v  x   v   x 

 Quotientenregel: f  x    Kettenregel:

f  x   u v  x  

u  x   v  x   u x   v  x   v  x  

2

3

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

Anwendungen der Differentialrechnung

 Tangentensteigung: mT  f  x 0   Normalensteigung: mN  

1 f   x0 

 Monotonie f   x   0 im Intervall I  Gf fällt streng monoton in I f   x   0 im Intervall I  Gf steigt streng monoton in I

 Extrempunkte Ist f  x 0   0 und wechselt f an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat G f an der Stelle x0 einen Extrempunkt.  Krümmung f  x   0 im Intervall I  Gf ist in I rechtsgekrümmt f  x   0 im Intervall I  Gf ist in I linksgekrümmt

 Wendepunkte Ist f  x 0   0 und wechselt f an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x0 einen Wendepunkt.  Newton‘sche Iterationsformel: xn 1  xn 

f  xn 

f   xn 

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion von f. x

I  x   f  t  dt  I   x   f  x  a

Bestimmtes Integral b

b

 f  x  dx  F  b  F  a  F x a

a

4

(F ist eine Stammfunktion von f)

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

Unbestimmte Integrale

xr  1  x dx  r  1  C ( r  1 )

 x dx  ln x  C

 sin x dx   cos x  C

 cos x dx  sin x  C

1

r

x

e

dx  ex  C

ln x dx  x  x ln x  C

f  x 

 f  x  dx  ln f  x

 f   x  e

C

 f  ax  b dx  a  F  ax  b   C 1

f  x

f x dx  e    C

(F ist eine Stammfunktion von f)

3 Stochastik Binomialkoeffizient n   n  1  ...   n  k  1  n n!  k   k! n k !  k!     

Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden. Urnenmodell

 Ziehen ohne Zurücklegen Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K schwarz sind, werden n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. K   N K      k n k  P(„genau k schwarze Kugeln“)     N n     Ziehen mit Zurücklegen Aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln p ist, werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. n  n k P(„genau k schwarze Kugeln“)    p k 1  p  k  5

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

Bedingte Wahrscheinlichkeit PA  B  

P  A  B P A

Unabhängigkeit zweier Ereignisse P  A  B  P  A   P  B

Zufallsgrößen – Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X nehme die Werte x1 , x2 , …, xn mit den Wahrscheinlichkeiten p1, p2 , …, p n an. Dann gilt: n

 Erwartungswert: μ  E X   xi  pi  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn n

i 1 2

2

2

2

 Varianz: Var  X     xi  μ   pi   x1  μ  p1   x2  μ  p2  ...   x n  μ  pn i 1

 Standardabweichung: σ  Var  X  Ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt nach B n;p  , so gilt: n  n k  P X  k  B n;p;k     pk   1  p k   Erwartungswert: E  X  n  p  Varianz: Var  X   n  p  1  p Signifikanztest

 Fehler 1. Art: H0 wird irrtümlich abgelehnt  Fehler 2. Art: H0 wird irrtümlich nicht abgelehnt Als Signifikanzniveau bezeichnet man den Wert, den die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nicht überschreiten darf.

6

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

4 Geometrie Skalarprodukt im IR3 a b    1   1   Definition: a  b   a2    b2   a1b1  a2b 2  a 3b 3 a  b   3  3      zueinander senkrechte Vektoren: a  b  a b  0

    Betrag eines Vektors: a  a  a  0 a  Einheitsvektor: a   a

  a b  Winkel zwischen zwei Vektoren: cosφ    a b

(0  φ  π)

Vektorprodukt im IR3 a b  a 3b 2     2 3   Definition: a  b   a3b1  a1b3   a b a b  1 2 2 1       Richtung: a  b steht senkrecht auf a und b      Betrag: a  b  a  b  sin φ ( 0  φ  π )

 Flächeninhalt eines Dreiecks ABC: F 

1 2

   AB  AC

    Volumen einer dreiseitigen Pyramide ABCD: V  16  AB  AC  AD





Mittelpunkt einer Strecke [AB]  M

1 2

   A B





Schwerpunkt eines Dreiecks ABC  S

1 3

    A B C



 7

Merkhilfe Mathematik am Gymnasium

Ebene im IR3      Parameterform: X  A  λ u  μ v     Normalenform in Vektordarstellung: n  X  A  0





 Normalenform in Koordinatendarstellung: n1x1  n2 x 2  n3 x 3  n0  0 Kugelgleichung

 x1  m1

2

2

2

  x 2  m 2    x 3  m 3  r 2

Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen werden nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt. Die Merkhilfe steht unter www.isb.bayern.de  Gymnasium  Fächer  Mathematik zum Download bereit.

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