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Lösung Übungsaufgaben Mathe ...

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LV Mathematik I

Aussagenlogik

Aufgabe 1: Aussagen 1. Beurteilen Sie, ob es sich bei den folgenden Sätzen um Aussagen handelt. Begründen Sie Ihr Urteil: (a) Die Zahl 4 ist negativ. Aussage, da entweder wahr oder falsch als Wahrheitswert möglich (b) In Düsseldorf ist die Temperatur nie über 40◦ C . Aussage, da entweder wahr oder falsch als Wahrheitswert möglich. (c) x − y = y − x keine Aussage! Wäre eine Aussage mit dem Zusatz: „ für manche rellen Zahlen x, y ∈ R“ (d) n ist eine Primzahl. keine Aussage, da nicht eindeutig bewertbar. (e) 2n 6= n2 für alle n ∈ N Aussage, da entweder wahr oder falsch als Wahrheitswert möglich. Der Wert ist falsch für n = 2. (f) 289301 + 1 ist eine Primzahl. Aussage, da entweder wahr oder falsch als Wahrheitswert möglich. Der tatsächliche Wert ist falsch, da 289301 + 1 keine Primzahl ist. (g) Jede gerade natürliche Zahl > 2 ist die Summe zweier Primzahlen. Aussage, da entweder wahr oder falsch als Wahrheitswert möglich. (h) Dieser Satz ist falsch. keine Aussage, da der Satz weder wahr noch falsch sein kann (Russels Paradoxon). (i) Ich denke die Welt ist flach. Aussage, da entweder wahr oder falsch als Wahrheitswert möglich. 2. Gegeben seien die folgenden Aussagen: A. Es regnet. B. Die Sonne scheint. C. Am Himmel sind Wolken. Übersetzen Sie folgende Aussagen in eine aussagenlogische Notation: (a) Wenn es regnet, dann sind Wolken am Himmel. A ⇒ C (b) Wenn es nicht regnet, scheint nicht die Sonne und Wolken sind am Himmel. ¬A ⇒ (¬B ∧ C) (c) Sind keine Wolken am Himmel, so scheint die Sonne. ¬C ⇒ B 3. Bestimmen Sie den Wahrheitswert folgender Ausdrücke: a + b c = (a + b) (a + c) für reelle Zahlen a, b, c falsch 2n + n ist eine Primzahl für manche Ganzzahlen n wahr, z.b. für n = 3 a2 = 0 impliziert a = 0 für alle a ∈ N wahr

1

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Aussagenlogik

Aufgabe 2: Kombinierte Aussage & Wahrheitswerte 1. Stellen Sie fest, ob die beiden nachfolgenden Formeln logisch äquivalent sind, also gilt α ≡ β : α = ¬(a ∨ ((a ∨ b) ∧ b)

(1)

β = ¬a ∧ ¬b

(2)

Erstellen Sie dazu eine Wahrheitstafel. Anmerkung: logisch äquivalent (Zeichen ≡) bedeutet, dass zwei logische Ausdrücke denselben Wahrheitswert besitzen. a b

a ∨ b (a ∨ b) ∧ b a ∨ ((a ∨ b) ∧ b) α

0 0

0

0

0

1

0 1

1

1

1

0

1 0

1

0

1

0

1 1

1

1

1

0

a b

¬a

¬b

β

0 0

1

1

1

0 1

1

0

0

1 0

0

1

0

1 1

0

0

0

Durch Spaltenvergleich folgt α ≡ β . 2. Folgende Ausdrücke lassen sich logisch äquivalent vereinfachen. ¬¬a ¬a ∨ b

≡ a ≡ a⇒b

(3) (4)

a ∧ b ∨ ¬a ∧ ¬b (a ⇒ b) ∧ (a ⇒ c)

≡ a ⇔ b ≡ a ⇒ b∧c

(5) (6)

(a ⇒ b) ∨ (a ⇒ c) (a ⇒ c) ∧ (b ⇒ c)

≡ a ⇒ b∨c ≡ a∨b ⇒ c

(7) (8)

3. Bestimmen Sie Wahrheitstafeln für folgende Ausdrücke: (9)

p ∨ (p ∧ q) p 1 1 0 0

q (p ∧ q) 1 1 0 0 1 0 0 0

p ∨ (p ∧ q) 1 1 0 0

(10)

A ⇒ A A A A ⇒ A 1 1 1 0 0 1

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Aussagenlogik

(11)

A ⇒ (B ∧ (A ∨ C)) A B C 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

(A ∨ C) (B ∧ (A ∨ C)) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0

A ⇒ (B ∧ (A ∨ C)) 1 1 0 0 1 1 1 1

Ermitteln Sie, ob es sich dabei um eine Tautologie handelt.

Aufgabe 3: Komplexere Aussagen 1. Bestimmem Sie den Wert der Aussage mit Hilfe von Wahrheitstafeln. Wenn es regnet, ist der Strand leer. Bestimmen Sie zunächst die Elementaraussagen und ordnen Sie diesen eine Variable zu. Wieviele Elementaraussagen gibt es und wieviele Kombinationsmöglichkeiten folgen daraus? R: „Es regnet“ L: „Der Strand ist leer“ Zwei Elementaraussagen. 22 = 4 Kombinationsmöglichkeiten Analysieren Sie die logischen Verknüpfungen der Aussagen und stellen Sie diese mathematisch dar. „Wenn es regnet, dann ist der Strand leer“ R ⇒ L Werten Sie die logischen Verknüpfungen aus und bestimmen Sie das Ergebnis für α. α = R ⇒ L R L

α

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

2. Bestimmem Sie den Wert der Aussage mit Hilfe von Wahrheitstafeln. Katzen jagen Mäuse oder Vögel, aber nie beide gleichzeitig. Bestimmen Sie zunächst die Elementaraussagen und ordnen Sie diesen eine Variable zu. Wieviele Elementaraussagen gibt es und wieviele Kombinationsmöglichkeiten folgen daraus? M: „Katzen jagen Mäuse“ V: „Katzen jagen Vögel“ Zwei Elementaraussagen. 22 = 4 Kombinationsmöglichkeiten Analysieren Sie die logischen Verknüpfungen der Aussagen und stellen Sie diese mathematisch dar. (a) „Katzen jagen Mäuse oder Vögel“ M ∨V (b) „Katzen jagen entweder Mäuse oder Vögel“ ¬(M ∧ V ) 3

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Aussagenlogik

Werten Sie die logischen Verknüpfungen aus und bestimmen Sie das Ergebnis für α. α = (M ∨ V ) ∧ ¬(M ∧ V ) M

V

M ∨V

¬(M ∧ V )

α

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

3. Bestimmem Sie den Wert der Aussage mit Hilfe von Wahrheitstafeln. Jim kaufte heute ein Klavier. Zur Finanzierung verkaufte entweder sein altes Klavier oder er nahm bei der Bank einen Kredit auf. Bestimmen Sie zunächst die Elementaraussagen und ordnen Sie diesen eine Variable zu. Wieviele Elementaraussagen gibt es und wieviele Kombinationsmöglichkeiten folgen daraus? K: „Jim kaufte heute ein Klavier.“ V: „Jim verkaufte sein altes Klavier.“ B: „Jim nahm bei der Bank einen Kredit auf.“ Zwei Elementaraussagen. 23 = 8 Kombinationsmöglichkeiten Analysieren Sie die logischen Verknüpfungen der Aussagen und stellen Sie diese mathematisch dar. „Jim verkaufte sein altes Klavier oder Jim nahm bei der Bank einen Kredit auf.“ V ∨B auch möglich: „Entweder Jim verkaufte sein altes Klavier oder Jim nahm bei der Bank einen Kredit auf.“ V ⊕ B „Als Jim ein Klavier kaufte, brauchte er eine Finanzierung.“ K ⇒ V ∨B Werten Sie die logischen Verknüpfungen aus und bestimmen Sie das Ergebnis für α. α = K ⇒ V ∨B K

V

B V ∨B

α

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

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0

1

1

1

0

0

0

0

1

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