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FEM I - SS 2019 - Aufgaben

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¨ Ubung 1: FEM bei Stabwerken Aufgabe 1.1: 2-Knoten-Stabelement Das 2-Knoten-Stabelement stellt eines der einfachsten Elemente dar. Zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix reichen in diesem Fall elementare Kenntnisse der Festigkeitslehre aus. ur ein a) Leiten Sie die FEM-Grundgleichung f¨ur ein 2-Knoten-Stabelement her! Nutzen Sie daf¨ lokales Koordinatensystem entlang der Stabachse.

b) Berechnen Sie f¨ ur das gegebene Stabwerk alle Knotenkr¨ afte und -verschiebungen. Hierbei seien die Dehnsteifigkei EA, die L¨ ange l sowie die eingepr¨agte Kraft Fex und die Verschiebung uex gegeben.

Ziel ist es, einen standardisierten Algorithmus zur Berechnung der Verformung von Stabwerken zu erhalten, der wie ein FEM-Programm arbeitet.

Aufgabe 1.2: Schr¨ ages 2-Knoten-Stabelement ur wird eine Erweiternd zur Aufgabe 1.1 sollen nun auch schr¨ age St¨ abe betrachtet werden. Daf¨ Drehtransformation zwischen lokalen und globalen Koordinaten gebraucht. a) Leiten Sie die Transformationsbeziehungen f¨ ur [u] und [F ] her.

b) Stellen Sie die FEM-Gleichung bez¨uglich globaler Koordinaten dar! Welche Transformation ergibt sich damit f¨ ur die Elementsteifigkeitsmatrix [K ]?

at Chemnitz N. Heinrich, C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festk¨ orpermechanik, Technische Universit¨

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Aufgabe 1.3: Hausaufgabe afte und -verschiebungen. Berechnen Sie f¨ur das gegebene Stabwerk alle Knotenkr¨ Geg.: E = 210000 MPa, A = 20 mm2 , l = 100 mm, uex = 0.1 mm, Fex = 100 N Ges.: [U ], [F ] 1

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Lsg.: U2x = −0.1325 mm, U3x = −0.0651 mm, F1x = −2.833 kN, F4x = 0.633 kN, F5x = 2.1 kN

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¨ bung 2: Formfunktionen f¨ U ur Stabelemente aben Aufgabe 2.1: Stabwerk mit schr¨ agen St¨ Mit den Ergebnissen von Aufgabe 1.2 soll das gegebene Stabwerk untersucht werden. die statische Bestimmtheit des Systems ausgesagt werden? a) Was kann uber ¨ b) Berechnen Sie alle Knotenkr¨afte und -verschiebungen. Hierbei seien EA, l sowie die eingepr¨ agten Kr¨ afte Fex = Fey = F gegeben.

c) Leiten Sie die Formeln zur Berechnung von Normalkraft und Normalspannung im Stabeleur alle Elemente des Beispiels. ment her. Berechnen Sie diese f¨

Aufgabe 2.2: Formfunktionen des 2-Knoten-Stabelements ur das 2-Knoten-Stabelement aus Aufgabe 1.1. GeIdentifizieren Sie die Formfunktionen GK (x) f¨ hen Sie folgendermaßen vor: a) Bestimmen Sie die Freiwerte ai des linearen Verschiebungsansatzes ux (x) = a0 + a1 x durch Einsetzen der Verschiebungsrandbedingungen. P b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem allgemeinen FEM-Ansatz u = GK (r) U K c) Stellen Sie die Formfunktionen grafisch dar. Welche typische Eigenschaft wird ersichtlich?

Tragen Sie außerdem die Verschiebungsl¨ osung von Aufgabe 1.1 mit den Formfunktionen ¨uber der Struktur auf. Wie stellt sich der globale Verschiebungsansatz dar?

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Aufgabe 2.3: Formfunktionen des 3-Knoten-Stabelements Identifizieren Sie die Formfunktionen GK (x) f¨ur das abgebildete 3-Knoten-Stabelement.

a) Formulieren Sie einen geeigneten Ansatz f¨ ur die Formfunktion GK (x). b) Bestimmen Sie die Freiwerte des Ansatzes durch Ausnutzung der typischen Eigenschaften der Formfunktionen. c) Stellen Sie die Formfunktionen grafisch dar.

Aufgabe 2.4: Hausaufgabe agte Ein Fachwerk wird mit drei Stablementen modelliert. Gegeben sind EA, l sowie die eingepr¨ Kraft Fey = F . a) Berechnen Sie alle Knotenverschiebungen und -kr¨afte. aben. b) Bestimmen Sie die Normalkr¨ afte und -spannungen in den St¨

  √  3 U2x   √6      Fl , Lsg.: U3x  =  123      EA − 34 U3y



  √  3 σ I 6     √  F    σ II  = − 33     √ A − 33 σ III

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¨ Ubung 3: T URNER-Dreieckelement Aufgabe 3.1: Dreieckscheibe Gegeben ist eine dreieckige Scheibe mit der Dicke t (t ≪ restliche Abmessungen), die mit einem 3-Knoten Dreieckelement (T U RNER -Dreieck) diskretisiert wird. Zudem seien E, ν, l und die eingepr¨ agten Kr¨ afte Fex = Fey = F bekannt.

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a) Bestimmen Sie die Knotenkoordinaten, die Fl¨ache, die Formfunktionen und die [B]-Matrix. b) Ermitteln Sie die Material- und die Elementsteifigkeitsmatrix. c) L¨osen Sie das FEM-Problem f¨ur die Knotenverschiebungen und -kr¨afte. d) Bestimmen Sie Verzerrungen und Spannungen.

Aufgabe 3.2: Viereckscheibe, z. T. Hausaufgabe Die viereckige Scheibe mit der Dicke t wird mit zwei T URNER -Dreiecken diskretisiert. E, ν , l und die eingepr¨agten Kr¨ afte Fey = F/2 sind bekannt. Gehen Sie analog zur vorherigen Aufgabe vor.

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νF , U Lsg.: U2x = U3x = − Et 3y = U4y =

F , Et

νF εxx = − Etl , εyy =

F , Etl

εxy = 0, σ yy =

F , tl

σ xx = σ xy = 0

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¨ Ubung 4: Viereckelemente und Isoparametrie Aufgabe 4.1: Viereckscheibe Eine viereckige Scheibe mit der Dicke t soll mit einem isoparametrischen 4-Knoten Viereckelement agten Kr¨afte Fey = F/2 seien bekannt. diskretisiert werden. E, ν, l und die eingepr¨

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a) b) c) d)

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Geben Sie die Lage der Knoten in lokalen und globalen Koordinaten an (Isoparametrie!). Ermitteln Sie die J ACOBI-Matrix und die [B]-Matrix. Bestimmen Sie die Elemente der Steifigkeitsmatrix durch Integration nach lok. Koordinaten. L¨osen Sie das FEM-Problem f¨ur die Knotenverschiebungen.

Aufgabe 4.2: Isoparametrie, z. T. Hausaufgabe alt. Die krummlinige Gegeben ist ein Scheibentragwerk, das eine Bohrung mit dem Radius R enth¨ Kontur in diesem Bereich soll mit Hilfe von 8-Knoten-Viereckelementen approximiert werden.

a) Stellen Sie die obere Elementkante (Knoten 3, 7, 4) mit dem Konzept der Isoparametrie dar. b) Berechnen Sie die gr¨oßte Abweichung zwischen wirklichem Radius R und der Approximation ¯ durch die Elementkante. R c) Hausaufgabe: Welche maximale Abweichung ergibt sich, wenn stattdessen zwei 4-KnotenVierecke verwendet werden? Welche Schlussfolgerung l¨ asst sich daraus ziehen?

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¨ Ubung 5: GAUSS-Punkt-Integration ormiges Viereckelement, z. T. Hausaufgabe Aufgabe 5.1: Trapezf¨ ormiges 4-Knoten-Viereckelement. Gegeben ist ein trapezf¨

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a) Ermitteln Sie die J ACOBI-Matrix und die J ACOBI-Determinante. b) Berechnen Sie das Element K1x1x der Steifigkeitsmatrix durch numerische Integration mit 1 und 4 G AU SS -Punkten. Vergleichen Sie die Ergebnisse! c) Hausaufgabe: Berechnen Sie analog das Element K1x1y der Steifigkeitsmatrix. 29 Et 3 Et , 4 G AU SS -Punkte: K1x1y = Lsg.: 1 G AU SS -Punkt: K1x1y = 28 1 − ν 276 1 − ν

Aufgabe 5.2: Dreieckelement andiEin Dreieckelement gestattet zwei m¨ ogliche Anordnungen der 3 G AUSS -Punkte, um ein vollst¨ ges Polynom 2. Grades exakt zu integrieren.

Vergleichen Sie die beiden Varianten hinsichtlich der Genauigkeit bei der Integration eines vollst¨ andigen Polynoms 3. Grades u ¨ber dem Dreiecksgebiet Z1 1−η Z f (ξ, η) dξdη 0

mit

f (ξ, η) = a0 + a1 ξ + a2 η + a3 ξ 2 + a4 ξη +a5 η 2 +a6 ξ 3 + a7 ξ 2 η + a8 ξη 2 +a9 η 3

0

mit dem exakten analytischen Ergebnis des Integrals.

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¨ bung 6: L¨ U osung des FEM-Gleichungssystems Aufgabe 6.1: C HOLESKY-Verfahren oßen der EinGegeben ist ein lineares Gleichungssystem der Gestalt [K ][U ] = [F ], wobei alle Gr¨ fachheit halber dimensionslos seien:      2 1 1 1 U1 1 3 −1  U2 =  0 . 0 1 −1 2 U3 Untersuchen Sie, ob und wie viele L¨osungen existieren. Bestimmen Sie [U ], indem Sie die CHOLES [K ] = [L][D][L]T anwenden.

KY-Zerlegung

Aufgabe 6.2: Gradientenverfahren osung linearer Gleichungssysteme. Das Gradientenverfahren ist ein iteratives Verfahren zur L¨ a) Leiten Sie das Gradientenverfahren als Minimierungsproblem der elastischen Energie her. b) L¨ osen Sie damit das Gleichungssystem aus Aufgabe 6.1. Setzen Sie als zus¨atzliche Randbedingung U3 = 0 und nutzen Sie den Startwert [0 U ] = [ 0 − 1 ]T . Brechen Sie die Iteration ab, sobald die Norm des Gradienten (Residuum) kleiner als ε = 10−4 ist.

Aufgabe 6.3: Hausaufgabe In Aufgabe 2.4 ergibt sich das hier in dimensionsloser Form dargestellte FEM-Gleichungssystem √      0 5 −1 3 U1   U2 =  0 .  −1 2 0 √ −4 3 0 6 U3 a) L¨ osen Sie das Gleichungssystem mit dem C HOLESKY -Verfahren. b) Berechnen Sie zwei Iterationen mit dem Gradientenverfahren. Verwenden Sie den Nullvektor atzung. [0 U ] = [ 0 0 0 ]T als Startsch¨   √  3 U  1   √6     3 Lsg.: U2  =  12  ,     U3 − 34

√  2 3  15 



  [2 U ] =  0    − 23

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¨ bung 7: Oberfl¨ U achen- und Volumenkr¨afte Aufgabe 7.1: 4-Knoten-Viereckelement

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a) Berechnen Sie die ¨aquivalenten Knotenkr¨ afte FKa f¨ ur ein 4-Knoten-Viereck (Dicke t, Seitenl¨ ange l) unter der konstanten Fl¨ achenlast q . drei Eleachenlast verteilt uber ¨ b) Die Wirkung einer Einzelkraft F soll durch eine konstante Fl¨ afte an! mente modelliert werden. Geben Sie die dazu ¨aquivalenten Knotenkr¨

Aufgabe 7.2: 8-Knoten-Viereckelement, z. T. Hausaufgabe aß der Abbildung an der oberen Kante Das 8-Knoten-Viereckelement (Dicke t, Seitenl¨ange l) ist gem¨ achenlast q(ξ) = a + bξ + cξ 2 ausgesetzt. einer parabolischen Fl¨

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a) Berechnen Sie die ¨aquivalenten Knotenkr¨afte F3a . b) Hausaufgabe: Berechnen Sie die ¨aquivalenten Knotenkr¨ afte FKa an den Knoten 4 und 7. 4  tl 4 c tl a − b c a+ , F7y = − + Lsg.: F4y = − 2 3 3 2 15 5

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Aufgabe 7.3: Trapez unter Eigengewicht, z. T. Hausaufgabe Das trapezf¨ ormige 4-Knoten-Viereckelement mit der Dicke t steht durch sein Eigengewicht (masormig verteilten Last. sebezogene Gewichtskraft g) unter einer volumenf¨

aherungsweise durch Integration mit 4 a) Berechnen Sie die ¨aquivalente Knotenkraft F1y n¨ G AUSS -Punkten. b) Hausaufgabe: Berechnen Sie alle u ¨brigen a¨quivalenten Knotenkr¨ afte FKa . 7 5 Lsg.: F1y = F2y = − mg , F3y = F4y = − mg mit m = 2ρta2 24 24

Aufgabe 7.4: FEM-Algorithmus Verdeutlichen Sie den kompletten FEM-Algorithmus. Stellen Sie dabei vor allem das Zusammenosen des FEMwirken von G AU SS -Punkt-Integration, Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix und L¨ Gleichungssystems dar.

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