Mikroökonomie Klausurvorbereitung PDF

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Alle Notizen zum Fach...

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Folien 1 - Einführung Mikroökonomik: Analyse einzelner Märkte, einzelner Firmen, einzelner Haushalte, einzelner Individualentscheidungen → Fokus ist schmal Makroökonomik: Analyse der Volkswirtschaft als Ganzes, aller Märkte, aller Haushalte, aller Firmen → Fokus ist breit Ökonomie = Sozialwissenschaften Gut: Sache bringt direkt oder indirekten Nutzen Bsp: Sonnenschein, Freundschaft etc. Ökonomisches Gut: knappes Gut unter menschlicher Kontrolle, haben Preis Bsp: Gold, Bier etc. Konsumgüter: decken Bedürfnisse direkt (Lebensmittel) Produktionsgüter: decken Bedürfnisse indirekt, dienen Produktion anderer Güter (Computer) Marginalitätsprinzip: (Wasser-Diamanten-Paradoxon) für Preisbildung am Markt entscheidend marginale (nächste zu erwerbende) Einheit Gesetz des abnehmbaren Grenznutzens: mehr Gut → weniger wert marginale Einheit ökonomisches Modell: Beschreibung Wirklichkeit in grafischer oder formaler Darstellung Nachfrage-Angebot-Marktgleichgewichts Modell: Markt Mietwohnungen Studenten endogene Variable: durch Modell erklärt, Mietpreis Wohnung Nähe Hochschule exogene Variable: nicht durch Modell erklärt, Mietpreis Wohnung weit entfernt Nachfrageseite: Studenten mit Vorbehaltspreise

Angebotsseite: Konkurrenzmarkt Anbieter

Marktgleichgewicht: Angebot/ Nachfrage gleich groß

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Minimalkriterium: Pareto-Effizienz - keiner der Akteure besser gestellt - Pareto-Verbesserung: ein Akteur kann besser gestellt werden ohne das ein Anderer schlechter gestellt wird - pareto-effiziente Situationen: - Wettbewerbsmarkt - Monopolist - driskriminierender Monopolist - Markt mit Höchstmiete Annahmen über das Käuferverhalten - Individuen verhalten sich “rational” - im klassischen Sinne bedeutet Rationalität nichts anderes als zielorientiert, somit ist jedes menschliche Handeln rational Tautologie: Fügung, die einen Sachverhalt doppelt wiedergibt - enge Eingrenzung des Begriffs: im modernen Sinne kann menschlichen Handeln irrational sein - rationales Handeln = Nutzenmaximierung - Wieviel von einem Gut ist optional? - Gibt es einen Sättigungspunkt? WICHTIG: der einzelne Käufer wird als Preisnehmer betrachtet - Preise sind gegeben - Egal wieviel das Individuum kauft, der Preis ändert sich nicht - d.h. in diesem Szenario hat die Kaufentscheidung des Einzelnen keinen Einfluss auf den Marktpreis Die Budgetbeschränkung - jedes Individuum hat ein bestimmtes Einkommen/ Vermögen, also ein zur Verfügung stehendes Budget - die gegebenen Güterpreise und das Budget definieren

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Wiederholungsfragen Skript 1 1. Angenommen es gäbe 25 Leute mit einem Vorbehaltspreis von €500, und die 26. Person hätte einen Vorbehaltspreis von €200. Wie würde die Nachfragekurve aussehen? - Nachfragekurve fallend

2. Wie hoch wäre in obigem Beispiel der Gleichgewichtspreis, wenn es 24 Wohnungen zu vermieten gäbe? Wenn es 26 Wohnungen gäbe? 25 Wohnungen? ● X-Achse ● p*= 500€, 24 Wohnungen ● p*= 200€, 26 Wohnungen ● p*= 500-200€ (zwischen), 25 Wohnungen - führt zum Gleichgewichtspreis darunter zu viele Nachfrager 3. Warum verläuft die Nachfragekurve fallend, wenn die Menschen unterschiedliche Vorbehaltspreise haben? ● unter dem geforderten Preis ● Menge verringert - mehr Personen - fallende Kurve

4. Wie würde sich nach Ihrer Meinung eine Steuer auf die Anzahl der Wohnungen auswirken, die langfristig gebaut werden? ● Mieten steigen an, Vermieter höhere Kosten durch Steuer ● Vorbehaltspreise ändern sich, Produzent verringert Angebot

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5. Angenommen die Nachfragekurve nach Wohnungen ist durch D(p) = 100– 2p gegeben. Welchen Preis würde die Monopolistin festlegen, wenn sie 60 Wohnungen besäße? Wie viele Wohnungen würde sie vermieten? Welchen Preis würde sie festsetzen, wenn sie 40 Wohnungen hätte? Wie viele würde sie dann vermieten?

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6. Wer würde die Wohnungen in der Nähe der Hochschule bekommen, wenn in unserem Modell mit Höchstmiete uneingeschränktes Untervermieten erlaubt wäre? Wäre das Ergebnis Pareto-effizient? ● Hoher Vorbehaltspreis - Wohnung bekommen ● Niedriger Vorbehaltspreis - Gewinn, teuer vermieten ● uneingeschränktes Untervermieten ● Pareto-Verbesserung ● Verteilung der Wohnungen bleiben gleich

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Folien 2 - Das Budget eines Käufers Budgetbeschränkung - Güterpreise und Budget - gibt alle Kombinationen an, die sich das Individuum leisten kann

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x1 als Numeraire → P1 = 1 - Platzhalter alle anderen Güter, die noch verkauft werden können - ein NG ist ein Gut , dass immer den Preis von 1 hat (standardisiertes Gut), Geld

Preis und Vermögensveränderungen - Budgetgerade verschiebt oder dreht sich in Abhängigkeit von - m - p1 - p2 - je größer m und je kleiner p1 & p2, desto mehr kann gekauft werden

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bei Vermögensveränderung kommt es zu einer Parallelverschiebung - m steigt → Verschiebung nach außen - m sinkt → Verschiebung nach innen

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bei Preisänderungen dreht sich Gerade - p1 erhöht sich → Abszissenabschnitt verkürzt sich, Budgetgerade wird steiler - p2 erhöht sich → Ordinatenabschnitt verkürzt sich, Budgetgerade wird flacher proportionale Preisänderung für beide Güter → identisch zur Vermögensänderung - Verdopplung aller Preise = Halbierung des Vermögens

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Steuern und andere Eingriffe - Staatseingriffe verändern Budgetbeschränkungen - Steuern (Mengen-, Pauschalsteuer) - Subventionen (Mengensubventionen, Ad Valorem Subventionen) - Rationierung Mengensteuer - Mengensteuer bedeutet, dass der Käufer für jede Mengeneinheit einen bestimmten Betrag an das Finanzamt zahlen muss Bsp.: 12DM je Hektoliter Bier - Der Käufer muss pro Einheit von Gut 1 statt P1 nun P1+t zahlen - Neue Budgetgerade: (p1 + t) x1 + p2x2 = m - Effekt auf die Budgetgerade ist identisch zu einer Preiserhöhung Ad Valorem-Steuer oder Wertsteuer - Prozentsatz = z.B. Mehrwertsteuer als Ausdruck - Bei einer Wertsteuer von Phi auf Gut 2, muss die Käuferin statt P2 pro Einheit (1+π) p2 zahlen - Effekt ist identisch zu einer Preiserhöhung - Neue Budgetgerade: p1x1 + (1+π) p2x2 = m Pauschalsteuer - Der Staat nimmt einen festen Betrag vom Individuum, unabhängig vom Käuferverhalten - Preise bleiben unverändert - Das Vermögen sinkt - der Effekt ist identisch zu einer Vermögenssenkung - Budgetgerade verschiebt sich nach innen - bei einer Pauschalsteuer von g: p1x1 + p2x2 = m-g Mengensubventionen: analog zur Mengensteuer - Identisch zu Preissenkung - Mengensubvention S auf Gut 1: (p1-S) x1+ p2x2 = m Ad Valorem-Subventionen: analog zur Ad Valorem Steuer - identisch zur Preissenkung - Ad-Valorem Subvention 0 auf Gut 2 p1x1 + (1-0) p2x2=m Pauschalsubvention: analog zur Pauschalsteuer - identisch zu einer Einkommenserhöhung - Pauschalsubvention M: p1x1 + p2x2 = m+h

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Rationierung - staatliche Obergrenze für Konsum eines Guts

Mengensteuer ab einer bestimmten Menge - der Staat erhebt eine Mengensteuer von t für jede Einheit von Gut 1, die über x Einheiten hinaus gekauft wird

Wiederholungsfragen Skript 2 1. Ursprünglich sieht sich ein Konsument der Budgetgeraden p1x1 + p2x2 = m gegenüber. Dann verdoppelt sich der Preis des Gutes 1, der Preis des Gutes 2 wird achtmal und das Einkommen viermal größer. Geben Sie die Gleichung für die neue Budgetgerade mit Hilfe von Anfangspreisen und –einkommen an! - Preis n Budgetveränderung - p1x1 + p2x2 = m → 2 p1x1 + 8 p2x2 = 4m 2. Was geschieht mit der Budgetgeraden, wenn der Preis des Gutes 2 steigt, der Preis des Gutes 1 und das Einkommen hingegen unverändert bleiben? - p2 sinkt → Ordinate wird verkürzt und die Budgetgerade wird flacher

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3. Wird die Budgetgerade flacher oder steiler, wenn der Preis des Gutes 1 verdoppelt, jener des Gutes 2 verdreifacht wird? - p1, p2 sinkt → Ordinate und Abzisse und die Budgetgerade wird flacher

4. Was ist ein Numéraire-Gut? Wie kann man es ökonomisch interpretieren? Inwiefern macht es unsere Darstellung realistischer, wenn wir von einem Numéraire-Gut ausgehen? ● Numéraire-Gut = Geld = immer 1 (in Währungszone EU 1€) ● Nachfrage nach Geld, Platzhalter nach allen denkbaren Gütern 5. Angenommen der Staat führt eine Steuer auf Benzin von 15 Cent je Liter ein und beschließt später, Benzin mit 7 Cent je Liter zu subventionieren. Welcher Nettobesteuerung entspricht diese Kombination? ● 0,08€ Nettobesteuerung, Subvention pro Liter Bier

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6. Angenommen eine Budgetgleichung ist durch p1 x1+ p2 x2 = m gegeben. Die Regierung beschließt, eine Pauschalsteuer von u einzuführen, eine Mengensteuer von t auf Gut 1 zu erheben und Gut 2 mit s je Mengeneinheit zu subventionieren. Wie lautet die Gleichung der neuen Budgetgeraden? ● Mengensubvention

7. Wenn das Einkommen des Konsuments steigt und gleichzeitig einer der Preise sinkt, wird der Konsuments dann notwendigerweise mindestens so gut gestellt sein wie vorher? ● Konsument kann sich mehr leisten, wenn Preise sinken ● Konsument ist besser gestellt

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Folien 3 - Präferenzen und ihre Eigenschaften -

Konsumenten kaufen sich das beste Gute, das sie sich leisten können Wahl des Güterbündels (x1, x2) Güter durch ein Numeres Gut präsentiert Abkürzung X: (x1, x2)

Indifferenzkurven - Darstellung Präferenzen - zwei Güterbündel X (x1, x2) und Y (y1, y2) - enthält alle Güterbündel zwischen denen ein Käufer/ Konsument indifferent sind - Präferenzrelation - welches Güterbündel wird bevorzugt? - ≻ bedeutet “streng bevorzugt” - ~ bedeutet “indifferent” (ohne Interesse) - ≽ bedeutet “schwach präferiert” - unterschiedliche Indifferenzkurven können sich nicht schneiden - steigen nie an, verlaufen negativ - Ausnahmen über Präferenzen - Vollständig: für alle X und Y gilt: X≻Y, X~Y oder Y≻X - Reflexiv: für jedes X gilt: X≽X, X≽Y, Y≽X oder beides - Transitiv: für 3 Güterbündel X, Y und Z gilt: X≽Y und Y≽Z, dann gilt auch X≽Z

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Beispiele für Präferenzen: Substitute: - Güter mit selben/ ähnlichen Bedürfnisse, für Konsument gleichwertiges Ersatzgut - wenn die Preiserhöhung des einen Gutes zur Erhöhung der nachgefragten Menge des anderen Gutes führt - Bsp: Butter/Margarine Komplemente: - sind Güter die sich gegenseitig ersetzen - zwei Güter sind Komplemente, wenn Presierhöhung eines Gutes zu einem Rückgang der nachgefragten Menge des anderen Gutes führt - Bsp: Auto/ Benzin Marginalität: - wie verändern sich Kosten/ Nutzen wenn eine Handlungsvariable minimal verändert - Bsp: Reparaturstunden Perfekte Substitute - Konsument ist bereit Güter in einem konstanten Verhältnis zu tauschen 1:1 - Austausch Bsp: Pepsi gegen Cola - Steigung konstant - beim Austauschverhältnis 1:1 ist die Steigung -1

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Perfekte Komplemente - in einem festen Verhältnis konsumiert (Bsp: 1:1) - komplementieren = ergänzen - Bsp: linke und rechte Schuhe

Unguts/ Schlechtes - ein Gut stiftet keinen Nutzen, schadet - zusätzliches Gut das entschädigt, muss mit mehr Gut kompensiert werden - Bsp: Sardellen (Ungut) und Wurst (Gut) auf Pizza

Neutrales Gut - mehr oder weniger vom “neutralen Gut” uninteressant für Konsument - Menge des Guts zählt - Bsp: Sardellen (neutrales Gut)

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Sättigung -

optimales Bündel je dichter am Optimum desto besser

Unteilbare Güter - beide Güter stehen nur in diskreten/ unteilbaren Mengen zur Verfügung - Bsp: Autos

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Präferenzen im Normalfall

Grenzrate der Substitution - auch als marginale Zahlungsbereitschaft bezeichnet - Zahlungsbereitschaft über Marktpreis des Guts - Konsument kauft mehr - Optimum erreicht, wenn marginale Zahlungsbereitschaft dem Marktpreis gleicht

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(MRS) ist Steigung der Indifferenzkurve in einem bestimmten Punkt misst Rate zu der der Konsument bereit ist, das eine für das andere Gut zu substituieren (austauschen) Annahme: - wir nehmen ein bisschen Gut 1 weg ∆x1 - geben genauso viel vom Gut 2 - Konsument wieder auf gleicher Indifferenzkurve ∆x2 - ∆x2 ist die Rate, die der Konsument zum Austausch von Gut 2 für Gut 1 bereit ist ∆x1 - wenn ∆x1 ganz klein ist, dann marginale (gebräuchliche) Änderung - dann auch ∆x2 klein und marginal - ∆x2 ist die marginale Rate , die der Konsument zum Austausch von Gut 2 für Gut 1 ∆x1 bereit ist → Grenzrate der Substitution = Steigung der Indifferenzkurve (∆x1→0)

Wiederholungsfragen Skript 3 1. Wenn wir beobachten, dass eine Konsumentin(x1, x2) wählt, wenn ihr (y1, y2) ebenfalls zur Verfügung steht, dürfen wir daraus (x1, x2) ≻ (y1, y2) schließen?

2. Man nehme eine Gruppe von Menschen A, B, C,... und die Beziehung „mindestens so groß wie“, wie z.B. in „A ist mindestens so groß wie B“. Ist diese Beziehung transitiv? Ist sie vollständig? - Gerade fällt deutlicher, da weniger vom Gut 2 konsumiert werden kann - transitiv: ja, wenn A≽B & B≽C, dann folgt A≽C - vollständig: ja, denn für A & B gilt immer A≽B oder B≽A 3. Gegeben sei dieselbe Gruppe von Menschen und die Relation „streng größer als“. Ist diese Relation transitiv? Ist sie reflexiv? Vollständig? Transitiv: ja, denn wenn A≻B und B≻C dann gilt A≻C

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Reflexiv: nein Vollständig: nein (denn zwei Menschen können genau gleich groß sein) 4. Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt fest, dass er von zwei Stürmern A und B immer den bevorzugen wird, der größer und schneller ist. Ist diese Präferenzrelation transitiv? Ist sie vollständig? Transitiv: ja, A≽B, B≽C, dann auch A≽C Vollständig: nein, denn A kann zwar schneller sein, dafür kleiner 5. Kann sich eine Indifferenzkurve selbst schneiden? Zeichnen Sie ein Beispiel!

6. Wird die Indifferenzkurve positiv oder negativ geneigt sein, wenn sowohl Wurst als auch Sardellen ein „Ungut“ sind? - Indifferenzk. fällt negativ→mehr von Ungut 1, bedeutet weniger von Ungut 2 - t*(p1x1) + (p2-s)x2= m-g

7. Erklären Sie, warum konvexe Präferenzen bedeuten, dass Durchschnitte gegenüber Extremen bevorzugt werden! - viel von Gut 1, bedeutet weniger von Gut 2 - ja, und in dem konkreten Fall sogar besser (der Raum unterhalb der Budgetgeraden wird größer)

8. Was ist Ihre Grenzrate der Substitution von 10€ Banknoten für 50€ Banknoten? 5:1 Gut x1 = 10€ Scheine Gut x2 = 50€ Scheine ∆x2 = -1 ∆x1 = -5 ∆x1 5 ∆x2 = 1 9. Wenn Gut 1 „neutral“ ist, wie lautet dann seine Grenzrate der Substitution für Gut 2?

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∆x2 = -∆x2 = 0 ∆x1

(wenn man bereit alles wegzugeben von x1)

∞

10. Zeichnen Sie die Indifferenzkurven für perfekte Substitute und perfekte Komplemente! Perfekte Substitute = Immer festes Verhältnis, miteinander konsumieren

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Folien 4 - Nutzen

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Ordinaler und Kardinaler Nutzen - Nutzen = Bedürfnisbefriedigung (Maß Glück) - Präferenzordnung: (x1, x2)≽(y1, y2)≽(z1, z2) - Person wählt (x1, x2), also (x1, x2)≽(y1, y2) - (x1, x2) wird schwach präferiert, also (y1, y2) mind. genauso gut - ordinaler Nutzen: - Güterbündel nach nach Stärke Nutzenbefriedigung ordnen, keine Aussage ob eine Gut mehr Wert hat als das andere - kein objektives Maß (Unterschied im Nutzen nicht quantifizieren) - nach Präferenz geordnet - Schokolade macht Person glücklicher als Apfel - kein exaktes Maß: - nur größer oder kleiner als x - Unterschiede nicht quantifiziert - keine interpersonelle Vergleiche (Apfel nützt mehr) - Nutzenfunktion u() = u(x1, x2)=3, u(y1, y2)=2, u(z1, z2)=1 - Nutzen des einen Bündels größer als das andere - nennt man monotone Transformationen - Zahlen brauchen Wert Wechsel zu → kardinaler Nutzen monotone Transformation → ursprungreicher Nutzen der Nutzenfunktion wird verändert

Kardinaler Nutzen - exaktes Maß - Vergleichbarkeit zwischen Personen - u (x1,x2)=3 und u(z1,z2)=1 impliziert, dass das Nutzen von (x1,x2) dreimal so hoch ist wie der Nutzen von (z1,z2) -

der Nutzen ist aber subjektiv kardinaler Nutzen ist nicht messbar → Anmaßung

Beispiele für Nutzenfunktion - Nutzenfunktionen weisen jedem Güterbündel eine Zahl zu, sodass diese geordnet werden können → somit weisen Sie auch jeder Indifferenzkurve eine Ordnungszahl zu Im Fall mit zwei verschiedenen Gütern x1 und x2 ist die Nutzenfunktion eine Funktion mit zwei Argumenten u(x1,x2) ux1,x2)= x1x2

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Welche Ordnungszahl erhält das Güterbündel (1,3)? - u(1,3) = 1*3=3 Ordnungszahl der Indifferenzkurve Zwischen welchen Güterbündeln wäre der Konsument indifferent? → alle Güterbündel mit dem Produkt 3 Indifferenzkurve zur Ordnungszahl 3: wir suchen alle Kombinationen von x1 und x2 für die gilt:

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Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven Können Sie eine Nutzenfunktion für perfekte Substitute/ Komplimente aufstellen?

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Wir suchen eine Funktion, für die… u (1,1) = 1 u (2,2) = 2 u (2,1) = 1 u (2,3) = 2 u (3,1) = 1 u (2,4) = 2 u (4,1) = 1 u (3,2) = 2 u (1,2) = 1 u (4,2) = 2 u (1,3) = 1 ... kleinste Zahl im Güterbündel = Ordnungszahl Minimalfunktion u (x1, x2) = Min (x1, x2) Die Nutzenfunktion der perfekten Komplimente mit dem Konsumverhältnis 1:1. ●

Wie sähe die Nutzenfunktion aus, wenn das Konsumverhältnis der perfekten Komplimente 1:2 ist, d.h. eine Einheit von x1, wird immer mit 2 Einheiten kombiniert. x1 = 1 und x2 = 2 u (1,2) = 1 u (2,2) = 1 u (3,2) = 1 u (1,3) = 1 u (x1, x2) = Min (x1, ½ x2)

●

Konsumverhältnis 1:5? u (x1, x2) = Min (5 x1, x2) = Min (x1, ⅕ x2) ● Konsumverhältnis 3:2 u ( x1, x2) = Min ( 2 x1, 3 x2) = Min (x1, 3/2 x2) Konsumverhältnis, drehen Zahlen um, Funktion erstellen

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Die Optimale Entscheidung - Konsument kauft Güterbündel mit höchster Ordnungszahl - zur Ermittlung benötigen wir: - Nutzenfunktion, Budget der Konsumenten - Stückpreise der Güter (Nebenbedinngung = NB) Nutzenfunktion, konvex u (x1, x2) = x1x2 Marktpreise p1=2 für X1 und p2=4 für X2 Budget m=20€ max x1,x2 u (x1, x2) = x1, x2 max x1,x2 x1x2

NB: Budget 20eur NB:

m ≥ p1x1 + p2x2 20 ≥ 2x1 + 4x2 20 = 2x1 + 4x2 ↔ 4x2 = 20 - 2x1 ↔ x2 = 5 - 0,5 x1

→ max x1 x1 (5 - 0,5 x1) ↔ max x1 5x1 - 0,5 x1 hoch2 Erste Ableitung: 5 - x1 = 0 ↔ x1* = 5 → x2* = 5 - 0,5 x1 = 5 - 0,5 * 5 x2* = 2,5 → optimales Güterbündel (x1*, x2*) = (5, 2,5) Konsumentin kauft sich 2,5 Einheiten von Gut 2.

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Wiederholungsfragen Skript 4 1. Es sei u (x1, x2) = x1 + x2 die Nutzenfunktion eines Konsumenten. Berechnen und zeichnen Sie die Indifferenzkurve zum Nutzenniveau 10 (Ordnungszahl 10)! Zeichnen Sie eine weitere Indifferenzkurve! u (x1, x2) = x1x2 = 10 ↔ x2 = 10/x1 x1x2 = 50 ↔ x2 = 50/x1

2. Es sei u (x1, x2) = x1 + x2 die Nutzenfunktion eines Konsumenten. Um was für Güter handelt es sich? Gut 1 kostet pro Stück p1=2 und Gut 2 kostet pro Stück p2=3. Wenn der Konsument ein Budget von m=12 zur Verfügung hat, welches ist dann sein optimales Güterbündel? Zeigen Sie die Lösung graphisch! - Es handelt sich um perfekte Substitute → Substitutionsverhältnis 1:1 - Jede Einheit von x1, ist so gut wie jede Einheit von x2 - ABER x1 ist günstiger! → x1* = 6 → x2* = 0 - Das gesamte Budget wird für x1 ausgegeben Nutzenfunktion Güterpreise Budget

u(x1, x2) = x1 + x2 p1=2 p2=3 m=12

m= p1x1 + p2x2 → 12 = 2 x1 + 3 x2 /-3 x2 -3 x2 + 12 = 2 x1 /-12 -3 x2 = -12 + 2 x1 /-3 x2 = 4 + ⅔ x¹ → in die Nutzenfunktion einsetzen u (x1) = 4 + ⅔ x1 /-4 -4 = ⅔ x1 /: ⅔ 6 = x1 x2 = 4 + ⅔ • 6 x2 = 0

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3. Es sei die Nutzenfunktion eines Konsumenten. Der Konsument hat 10€ zur Verfügung und der Preis für Gut 1 ist p1 = 1 und der Preis für Gut 2 ist p2 = 4. Zeigen Sie, dass sich durch eine Transformation der Nutzenfunktion zu u (x1, x2) = In (x1x2) an der optimalen Entscheidung des Konsumenten nichts verändert. (Man nennt dies eine monotone Transformation - nächste Woche mehr dazu!) u (x1, x2) = x1x2 m = 10 eur p1 = 1 p2 =4 max x1,x2 x1x2 x1 = 10- 4 x2 max x2 (10 - 4 x2) x2 max x2 10 x2 - 4 x2 hoch2 Erste Ableitung: 10 - 8 x2 = 0 x2* = 1,25 → x1* = 10 - 4x2* 10 - 4 * 1,25 x1* = 5 Ln (natürlicher Logarhytmus) u (x1, x2) = ln ...