Modelo matemático de un reactor PFR PDF

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Determinación del modelo matemático que describe el comportamiento de una reactor PFR...

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-L MODELOS Y SIMULACIÓN. Espín Almachi Franklin Wladimir; Freire Zapata Daniela Salomé; Manobanda Navas Geanine Lisbeth; Montaluisa Zapata Katherine Pamela. 1. Resumen Ejecutivo. En un reactor tubular de flujo pistón se lleva a cabo una reacción del tipo A k→1 B en donde existe una variación en función del tiempo de la concentración de la especie química A, en dirección axial a través del reactor, se busca obtener un modelo matemático que permita describir de manera exacta la variación de la concentración de A en función del tiempo, usando como técnica de resolución aproximaciones matemáticas y haciendo uso del software Matlab. Al plantearse el modelo matemático para el problema descrito, se determinó el valor de la concentración de A, a longitudes del reactor igual a 0.5, 1, 1.5 y 2 m.

2. Definición del problema. Para la descripción del problema se procederá siguiendo los principios generales del análisis de procesos considerando que el problema es: Se desea evaluar un reactor tubular de flujo pistón en donde se lleva a cabo una reacción A k 1 B , en el que la concentración de la especia química A varía con el tiempo y su → posición axial durante el arranque. El reactor tiene una longitud de 2.0 m, la constante de la velocidad de reacción k1 es de 1 s -1, la concentración de la especie A a la entrada es de 0.5 kg/m3 y la velocidad lineal dentro del tubo es de 0.1 m/s. 2.1. Formulación del problema. El objetivo del planteamiento del problema será determinar la concentración de la especie química A en diferentes puntos (longitudes del reactor) mientras varía el tiempo. El problema se representa con el diagrama mostrado en la figura 1.

Reactor tubular PFR

CA0= 0,5 kg/m3

Volumen de Control

Figura 1: Diagrama de las corrientes involucradas, el equipo y sus dispositivos. Fuente: Equipo de trabajo.

2.4 Análisis de variables y relaciones. 2.4.1 Simbología. En la tabla 1 se muestra el nombre de la variable, el símbolo a utilizar durante la elaboración del trabajo, las unidades en la que se trabajará y sus magnitudes. El subíndice i ( X i ) representa los datos iniciales, mientras que el subíndice f ( X f ) representa los datos finales. VARIABLE

MAGNITUD

UNIDADES

Concentración de A inicial

SÍMBOL O CA0

0,5

Longitud del reactor Constante de velocidad de reacción

z k

2 1

Velocidad lineal

v

0,1

Radio del reactor Área del reactor

r A

Número de interacciones Variación de tiempo Variación de la longitud

N Δt Δz

0,5 1 π 4 25 0,01

kg m3 m 1 s m s m m2

0,083 Tabla 1: Símbolos, magnitud y unidades de las variables a usar.

3. Metodología. 3.1. Planteamiento del modelo matemático Ecuación del balance diferencial de materia en el elemento de volumen ΔV. d (CA ∆ V ) =vCA z −v CA z+ ∆ z −kCA ∆ V dt Para ΔV → 0: ∂CA −∂ vCA −kCA = ∂V ∂t

Ec.1

Considerando que el área transversal es constante: dV = A dz Reemplazando Ec.2 en Ec. 1: ∂CA −∂ vCA −kCA = A∂z ∂t

Ec.2

s m

∂CA ∂t

−v ∂CA = A ∂ z −kCA

ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE REPRESENTA EL MODELO MATEMÁTICO: ∂CA −v ∂CA −kCA = ∂t A ∂z CONDICIÓN INICIAL: CA ( z , t=0) =CA0 (z ) CONDICIÓN DE BORDE: CA ( 0 , t ) =CA¿ (t ) 3.2. Solución del modelo matemático por aproximación numérica. En una ecuación diferencial en derivadas parciales aparecen derivadas parciales, lo que significa que una función incógnita µ depende de al menos dos variables independientes. Para nuestro caso de estudio la concentración de la especie química A (CA) varía con respecto al tiempo y a la posición axial durante el arranque en un reactor PFR, de tal modo que la ecuación que describe el modelo matemático es: ∂CA −v ∂CA −kCA = ∂t A ∂z Con la finalidad de hallar los valores de las constantes arbitrarias que resultan de la solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales, se necesitan n condiciones límite para cada derivada de orden n con respecto a la variable espacial y con respecto al tiempo. Así es necesario especificar en este problema una condición de localización y una condición inicial respecto al tiempo. Para nuestro planteamiento estas son: Condición inicial: CA ( z , t=0 ) =CA0 (z ) Condición de borde: CA ( 0 , t ) =CA¿ (t ) Con el fin de resolver la ecuación que representa el modelo matemático se emplean las siguientes aproximaciones: n

n+1 ∂CA CA i −CA i ≈ ∂t ∆t

n n ∂CA CA i+1−CAi−1 ≈ ∂z 2∆ z

Donde i representa la posición y n el tiempo. Al reemplazarlas en la ecuación principal:

(

)

CA z , t +∆ t −CA z ,t −v CA z+ ∆ z ,t −CA z −∆ z ,t = −k CA z ,t + ∆ t ∆t A 2∆ z El término de interés es

CA z , t +∆ t , despejando:

(

)

CA z , t +∆ t −CA z , t −v CA z+ ∆ z ,t −CA z −∆ z ,t +k CA z , t + ∆ t= A 2∆ z ∆t CA z , t +∆ t −CA z , t +∆ t k CA z , t +∆ t =−∆ t

CA z , t +∆ t +∆ t k CA z , t +∆ t =−∆ t

CA z , t +∆ t (1 +∆ t k )=−∆ t

(

v CA z+∆ z , t−CA z− ∆ z , t 2∆z A

(

)

)

v CAz +∆ z ,t −CA z−∆ z , t +CA z , t 2 ∆z A

(

)

v CAz +∆ z ,t −CA z−∆ z , t +CA z , t A 2 ∆z

(

)

v CA z+∆ z , t−CA z−∆ z , t +CA z , t −∆ t A 2∆z CA z , t +∆ t = (1+∆ t k )

Ec.3

Para la resolución en Matlab se determinan las siguientes contantes: ∆ t=0,01 ∆ z=0,083 N=25 r=0,5 m

Además la EC.3 para ingresarla en el editor de matlab toma la siguiente forma: CA ( i )=

(

)

(

)

(

)

−∆ t v −∆ t v 1 CA (i) CA ( i+ 1 )+ CA ( i−1 ) + 1+∆ t k 2 A ∆ z (1+ ∆ t k ) 2 A ∆ z ( 1+∆ t k )

4. Resultados

5. Discusión de resultados

6. Conclusiones

7. Recomendaciones

8. Bibliografía. Garza, G. L., & Ortiz, F. H. M. (2013). Ecuaciones diferenciales parciales. Himmelblau, D. M., & Bischoff, K. B. (1992). Análisis y simulación de procesos: Reverté.

9. ANEXOS

9.1 Código. Script: %TALLER 6 MODELOS Y SIMULACIÓN. DERIVADAS PARCIALES t=0; deltat=0.01; deltaz=0.083; r=0.5; %m k=1;%1/s CA0=0.5;%kg/m3 v=0.1;%m/s z=2;%m A=pi.*(0.5.^2); CAf=0;%kg/m3 N=25; CA(1)=CA0; CA(2:N)=0; z=0:deltaz:z; %plot(z,CA) while t...