Modul Hiperbola PDF

Preview

Summary

Hiperbola Grup 3 Topik 5 April 2017 PENDAHULUAN Modul yang telah dibuat ini adalah bahan ajar yang dapat digunakan oleh mahasiswa secara mandiri untuk mencapai kompetensi belajar mata kuliah geometri analitik terkhususnya dalam materi hiperbola. Selain itu, modul juga dapat digunakan sebagai panduan...

Description

Hiperbola

Grup 3

Topik 5

April 2017

PENDAHULUAN Modul yang telah dibuat ini adalah bahan ajar yang dapat digunakan oleh mahasiswa secara mandiri untuk mencapai kompetensi belajar mata kuliah geometri analitik terkhususnya dalam materi hiperbola. Selain itu, modul juga dapat digunakan sebagai panduan kegiatan belajar mahasiswa dalam mengikuti pembelajaran sehingga siswa tidak bergantung pada pihak lain. Modul ini termuat pemahaman konsep dan pembuktian rumus serta aplikasi dalam kehidupan sehari-hari mengenai materi Hiperbola. Dalam modul ini dibahas dengan lebih mendalam tentang definisi hiperbola, persamaan garis singgung hiperbola dan cara memperoleh rumus untuk menyatakan persamaan hiperbola dan persamaan garis singgung hiperbola. Dengan demikian, diharapkan mahasiswa atau pengguna modul dapat menggunakan konsep matematika dalam menyelesaikan permasalahan yang ditemui mahasiswa atau pengguna modul dalam kehidupan sehari-hari. Modul yang telah disusun sedemikian menarik ini diharapkan dapat membantu mahasiswa untuk lebih antusias dalam belajar terkhusus pada mata kuliah geometri analitik. Modul ini dilengkapi dengan kegiatan belajar siswa yang bervariasi yaitu dengan disediakannya latihan soal, dengan harapan mahasiswa dapat mengerjakan setiap latihan soal yang diberikan untuk memperdalam pengetahuan mahasiswa. Berharap modul ini dapat membantu pengguna modul memahami konsep-konsep penting pada materi hiperbola secara ilmiah. Cara penggunaan modul ini sangat mudah karena mahasiswa atau pengguna lainnya hanya perlu melihat daftar isi dan dan mencari materi yang ingin dipelajari.

i

Daftar Isi Daftar Gambar ........................................................................................................................................ iii 1.

Definisi Umum ............................................................................................................................ 2

2.

Cara Melukis Hiperbola .............................................................................................................. 2

3.

Unsur-unsur Hiperbola ................................................................................................................ 5

4.

Definisi Hiperbola berdasarkan Eksentrisitas dan Direktris ....................................................... 7

B.

Persamaan Hiperbola....................................................................................................................... 8 1.

,

Hiperbola Horizontal Pusat

............................................................................................. 9

Gambar 5. 14 Hiperbola horizontal pusat O ,

2.

Hiperbola Vertikal Pusat

,

............................................................................................... 10

Gambar 5. 15. Hiperbola vertikal pusat O ,

3.

4.

.............................................................................. 9

............................................................................... 10

Persamaan Hiperbola Horizontal Pusat ℎ, � .......................................................................... 12

Persamaan Hiperbola Vertikal Pusat ℎ, � .............................................................................. 14

5.

Asimtot-asimtot Hiperbola ........................................................................................................ 15

6.

Latus Rectrum ........................................................................................................................... 19

C.

Persamaan Garis Singgung Hiperbola........................................................................................... 20 1.

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien

......................................................................... 21

2.

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Singgung pada Hiperbola ........................................ 28

3.

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Hiperbola .................................................... 35

Uji Kompetensi ..................................................................................................................................... 38 Kunci Jawaban ...................................................................................................................................... 42 Daftar Pustaka ........................................................................................................................................ iv

ii

Daftar Gambar Gambar 5. 1. Penerapan hiperbolda dalam kehidupan nyata ................................................................. 3 Gambar 5. 2. Irisan kerucut .................................................................................................................... 2 Gambar 5. 3. Melukis hiperbola 1 .......................................................................................................... 2 Gambar 5. 4. melukis hiperbola 2 .......................................................................................................... 2 Gambar 5. 5. Melukis hiperbola 3 .......................................................................................................... 3 Gambar 5. 6. Menulis hiperbola 4 .......................................................................................................... 3 Gambar 5. 7. Melukis hiperbola 6 .......................................................................................................... 4 Gambar 5. 8. Menulis hipebola 5 ........................................................................................................... 4 Gambar 5. 9. Melukis hiperbola 8 .......................................................................................................... 5 Gambar 5. 10. Melukis hiperbola 7 ........................................................................................................ 5 Gambar 5. 11. Hiperbola (a) Hiperbola Horizontal (b) Hiperbola Vertikal ........................................... 6 Gambar 5. 12.Unsur-unsur hiperbola ..................................................................................................... 6 Gambar 5. 13. Hiperbola horizontal dengan direktris ............................................................................ 7 Gambar 5. 14 Hiperbola horizontal pusat O , Gambar 5. 15. Hiperbola vertikal pusat O ,

.................................................................................. 9 ................................................................................... 10

Gambar 5. 16. Hiperbola horizontal pusat ℎ, � ................................................................................. 12

Gambar 5. 17. Hiperbola vertikal pusat ℎ, � ..................................................................................... 14

Gambar 5. 18. Asimtot hiperbola pusat

,

................................................................................... 16

Gambar 5. 19. Asimtot hiperbola pusat ℎ, � ..................................................................................... 17

Gambar 5. 20. Latus Rectrum .............................................................................................................. 19 Gambar 5. 21. Kedudukan garis terhadap hiperbola ............................................................................ 20 Gambar 5. 22. Garis singgung bergradien

pada hiperbola horizontal pusat O ,

Gambar 5. 23 Garis singgung bergradien m pada hiperbola vertikal pusat O ,

Gambar 5. 24. Garis singgung bergradien

Gambar 5. 25. Garis singgung bergradien

........................ 21

............................. 22

pada hiperbola horizontal dengan pusat ℎ, � ............. 24

pada hiperbola vertikal dengan pusat ℎ, � ................. 26

Gambar 5. 26. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola horizontal pusat O ,

.......... 28

Gambar 5. 27. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola vertical pusat O , ............... 29 Gambar 5. 28. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola horizontal pusat ℎ, � ............ 31

Gambar 5. 29. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola vertikal pusat ℎ, � ................ 33

Gambar 5. 30. Garis singgung melalui titik di luar hiperbola .............................................................. 35 Gambar 5. 31. Orbit Komet .................................................................................................................. 41

iii

Peta Konsep

Definisi Hiperbola • Definisi Umum • Unsur-unsur Hiperbola • Definisi Menurut Eksentrisitas dan Direktris

Persamaan Hiperbola • Persamaan Hiperbola Pusat , • Hiperbola Horizontal • Hiperbola Vertikal • Persamaan Hiperbola Pusat ℎ, � • Hiperbola Horizontal • Hiperbola Vertikal • Persamaan Asimtot Hiperbola • Hiperbola Pusat , • Hiperbola Pusat ℎ, �

Persamaan Garis Singgung Hiperbola • PGS Bergradien • PGS Melalui Titik di Hiperbola

1

Introduction Sama halnya seperti aritmatika yang memiliki objek dasar pembelajaran pada angka, geometri juga memiliki fokus utama pembelajaran yang berhubungan dengan titik, garis, bangun datar dan bangun ruang. Pada bab ini, akan dibahas topik mengenai hiperbola. Pokok pembahasan yang akan dibahas meliputi definisi hiperbola, cara menggambar hiperbola, unsurunsur hiperbola, persamaan hiperbola dengan pusat singgung hiperbola dengan pusat

,

,

dan ℎ, � serta, persamaan garis

dan ℎ, � . Bab ini akan menyajikan kemampuan

dasar untuk menggambar hiperbola pada ruang dua dimensi yang akan berguna saat menggambar hiperboloid di ruang tiga dimensi. Kemampuan menggambar ini akan dibutuhkan

terutama bagi mereka yang bercita-cita pada bidang yang membutuhkan teori dan materi dalam ruang dimensi tiga seperti arsitektur, liberal arts dan teknik sipil. Bagi orang-orang yang tidak tertarik dengan bidang yang demikian, dapat mempertimbangkan pembahasan dalam bab ini sebagai sebuah latihan simulasi untuk kemampuan imajinasi dan visualisasi mereka.

Tujuan Pembelajaran

✓ Pembaca mampu mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola ✓ Pembaca mampu menentukan persamaan hiperbola

✓ Pembaca mampu mensketsakan persamaan hiperbola

✓ Pembaca diharapkan mampu untuk menerapkan konsep irisan kerucut hiperboa ke dalam pemecahan masalah

✓ Pembaca mampu untuk menyelesaikan persoalan model matematika yang berkaitan dengan hiperbola

Tahukah Anda? Contoh penerapan hiperbola dalam kehidupan nyata adalah pada menara pendingin nuklir (Nuclear Cooling Tower) dan beberapa pembangkit listrik berbahan baku batu bara. Hiperboloid atau hiperbola dalam ruang dimensi tiga merupakan standar desain untuk semua (Nuclear Cooling Tower). Saat merancang menara pendingin, para insinyur dihadapkan pada dua masalah yaitu struktur bangunan harus mampu menahan angin kencang dan harus dibangun dengan bahan sesedikit mungkin. Oleh karena itu, bentuk hiperbolik memecahkan kedua masalah ini. Bentuk ini membutuhkan lebih sedikit material daripada bentuk lainnya. Menara setinggi 500 kaki dapat dibuat dari beton bertulang yang panjangnya hanya enam atau delapan

2

inci. Selain itu, hiperbola juga digunakan secara luas di bidang ekonomi dan keuangan (khususnya teori portofolio). Fungsi hiperbola juga menggambarkan lintasan komet terhadap matahari dan benda lainnya dengan orbit terbuka. Penggunaan lain yang berhubungan dengan astronomi adalah cermin hiperbolik pada teleskop Cassegrain. Oleh karena itu, mempelajari hiperbola berguna apabila ingin melanjutkan ke jenjang yang lebih tinggi.

Gambar 5. 1. Penerapan hiperbolda dalam kehidupan nyata

Key Word Pusat

Eksentrisitas

Sumbu Sekawan

Fokus

Direktris

Vertikal

Puncak

Sumbu Mayor

Horizontal

Asimtot

Sumbu Minor

Gradien

Latus Rectrum

Sumbu Utama

Garis Singgung

3

A. Definisi Hiperbola 1. Definisi Umum Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak tersebut.

Gambar 5. 2. Irisan kerucut

2. Cara Melukis Hiperbola Langkah-langkah melukis hiperbola: a. Buatlah sumbu

dan .

Gambar 5. 3. Melukis hiperbola 1

b. Tetapkan dua buah titik � dan � yang berjarak 10 cm.

Gambar 5. 4. melukis hiperbola 2

2

c. Buatlah lingkaran-lingkaran yang berpusat di � dengan jari-jari lingkaran yang berpusat di � dengan jari-jari

=

. Misalkan

cm dan beri nama pada titik potong dari lingkaran tersebut

dan lingkarancm maka

.

=

Gambar 5. 5. Melukis hiperbola 3

d. Buat beberapa lingkaran lagi dengan selisih

dan

sebesar 8 cm, 7 cm, 6 cm dan

seterusnya.

Gambar 5. 6. Menulis hiperbola 4

e. Kemudian buat lingkaran-lingkaran yang berpusat di � dengan jari-jari lingkaran-lingkaran yang berpusat di � dengan jari-jari =

cm. Beri nama titik potong dari lingkaran tersebut

. Contoh .

=

dan

cm maka

3

Gambar 5. 8. Menulis hipebola 5

f. Buat beberapa lingkaran lagi dengan selisih

dan

sebesar 8 cm, 7 cm dan

seterusnya.

Gambar 5. 7. Melukis hiperbola 6

g. Berilah nama pada titik-titik perpotongan tersebut.

4

Gambar 5. 10. Melukis hiperbola 7

h. Hubungkan titik-titik tersebut hingga membentuk kurva.

Gambar 5. 9. Melukis hiperbola 8

i. Kedua kurva yang dihasilkan dari bagian pertama dan bagian kedua dinamakan dengan hiperbola.

3. Unsur-unsur Hiperbola Sebelum mempelajari persamaan hiperbola, Anda telah mempelajari persamaan parabola dan persamaan elips. Hiperbola memiliki kesamaan dengan parabola, perbedaannya parabola hanya terdiri dari satu kurva sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva yang identik dan masing-masing kurva tersebut disebut cabang. Untuk lebih jelaskan akan dipaparkan unsur-unsur hiperbola yaitu:

5

Sumbu konjugasi

Sumbu transversal

Titik pusatt i

Titik pusat Titik puncak

Sumbu transversal

Titik puncak

Sumbu konjugasi

(b)

(a)

Gambar 5. 11. Hiperbola (a) Hiperbola Horizontal (b) Hiperbola Vertikal

a. Hiperbola mempunyai sumbu vertikal dan sumbu horizontal yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik pusat

,

.

b. Sumbu utama/nyata/transversal/mayor adalah garis yang melalui titik fokus. c. Sumbu sekawan/imajiner/konjugasi/minor adalah garis yang tegak lurus sumbu utama dan melalui titik pusat hiperbola. d. Titik puncak adalah perpotongan hiperbola dengan sumbu utama. direktris

LR

fokus � − ,

�

Titik Puncak

,

asimtot Gambar 5. 12.Unsur-unsur hiperbola

e. Garis yang melewati titik pusat dan menyinggung hiperbola jauh di jauh tak terhingga disebut asimtot. Terdapat dua persamaan asimtot yaitu persamaan asimtot pada hiperbola dengan pusat

,

dan asimtot pada hiperbola berpusat ℎ, � .

6

Persamaan asimtot tersebut akan dijelaskan lebih lanjut setelah mempelajari persamaan hiperbola. f. Garis yang melalui salah satu titik fokus, dan tegak lurus sumbu mayor dan memotong hiperbola di dua titik disebut latus rectrum. Panjang latus rectrum dapat di cari dengan sebuah persamaan. persamaan tersebut akan dijelaskan lebih lanjut setelah mempelajari persamaan hiperbola. g. Nilai eksentrisitas hiperbola adalah �=

h. Persamaan garis direktris hiperbola adalah

>

=±

4. Definisi Hiperbola berdasarkan Eksentrisitas dan Direktris Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu (fokus) dan garis tertentu (direktris) besarnya tetap.

� − ,

− ,

,

,

�

,

Gambar 5. 13. Hiperbola horizontal dengan direktris

Dari gambar 5. 13, maka terhadap titik api �

jarak

⇒

⇒

⇒

⇒

adalah

]−[

−

terhadap titik api � − ,

jarak −

,

+

+

−

+

=[

−

+

−

=

=

=

=

+

+

adalah +

−

=√ +

=√

+

]

−

+

+

+

sehingga

−

… �

7

⇒

+

⇒

=

+

=

Dari (�) diperoleh maka ⇒

=

+

+ –

⇒

=

⇒

=

+

karena

=

⇒

=

⇒

=

=

Jadi, garis Contoh

+

=

–

=

+ selanjutnya subtitusikan ke persamaan

−

) sehingga

+

) −

)=

=

+

⇒

=

=

–

dan merupakan jarak titik

) = dan merupakan jarak titik

=±

+

+

=

ke garis = −

ke garis

adalah garis direktris (garis arah).

dan

Tentukan besar eksentrisitas dan direktrisnya jika suatu hiperbola yang titik apinya terletak pada sumbu

, simetris terhadap

dan persamaan asimtotnya

sedangkan jarak antar kedua titik fokusnya adalah 20.

=

Penyelesaian: Misalnya persamaan hiperbolanya adalah adalah

=

, maka dapat diketahui bahwa

−

Jarak antara kedua titik fokus adalah 20. Maka Pada hiperbola berlaku diperoleh

= . Maka

=

=

−

dan

=

⇒

= . =

> .Sehingga

=

. = . Jadi, eksentrisitasnya adalah

direktrisnya (garis arah) adalah ±

B. Persamaan Hiperbola

, dengan

=

= . Karena persamaan asimtotnya

maka ±

atau ±

.

=

−

dan =

dan

Persamaan hiperbola dapat dibedakan menjadi dua jenis berdasarkan titik pusatnya yaitu hiperbola yang berpusat di titik asal atau titik

,

dan hiperbola yang bertranslasi di titik

ℎ, � sehingga berpusat di titik ℎ, �...