Movimiento Pendular y Determinación de la Constante Gravitacional PDF

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Se detalle el proceso mediante el cual se obtiene la constante de gravitacional terrestre a partir del movimiento pendular....

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Relación entre Gravedad y los periodos de oscilación de un Péndulo Simple Facultad de Ciencias Naturales y Exactas – Universidad Del Valle. Santiago de Cali, 23 de marzo del 2021 David Colorado Vega – 1944177 | Estefanía Marín Roa – 1844667 | Sebastián Gómez Saavedra – 1943616 [email protected] | [email protected] | [email protected] Introducción La Ley de Gravitación Universal fue planteada por Isaac Newton en 1686, y sostiene que: “todo cuerpo atrae a todos los demás cuerpos con una fuerza que, para dos cuerpos cualesquiera, es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa” (Hewitt, 2007), es decir que la gravedad es una consecuencia universal de la interacción entre las masas de las partículas materiales que se encuentran a una distancia dada. Entre los instrumentos que permiten detectar esta interacción, entre la masa planetaria y la masa de los cuerpos en su superficie, está el péndulo simple. El péndulo simple es conocido como un sistema que tiene una determinada masa atada a un hilo; esta es sostenida por una base inmóvil que la deja suspendida en el aire. Al alterarse el movimiento de la masa en forma horizontal, empezara a crear el trayecto de ida y vuelta que se le conoce como oscilación. El movimiento realizado por el péndulo se conoce como movimiento armónico y esta principalmente caracterizado por depender de dos factores, la gravedad y la longitud del péndulo. El presente trabajo determina el valor de la gravedad terrestre a partir de la simulación PhET de la universidad de Colorado – USA (Colorado, 2002) para un péndulo simple y la ecuación que describe el movimiento de ese sistema a diferentes longitudes. Además, compara las variaciones de gravedad terrestre entre tres lugares diferentes de Colombia: Junín (Cali) (Al: 997.3m; La: 3°25.9300’N; Lo:76°31.5450’O), Alfonso López (Cali) (Al: 680.1m; La: 3°29.1930’N; Lo: 76°31.2440’O) y Altos de Ginebra (Ginebra) (Al: 1029.5m; La: 3°43.7220’N; Lo: 76°15.9920’O) a partir del uso de la ecuación universal de la gravedad (Fernández & Coronado, 2013) y un GPS (Aplicación GPS Status). Marco teórico La ley de Gravitación Universal se puede expresar matemáticamente como sigue: 𝑭=𝑮

𝒎𝟏𝒎𝟐 𝒅𝟐

(1)

Donde F es la fuerza de gravedad (N); G es la constante de gravitación universal (6.673𝑥 10−11𝑁𝑚2 /𝐾𝑔2 ); d es la distancia (m) entre los cuerpos que interaccionan; 𝒎𝟏 es la masa del cuerpo 1 (tierra: 5.972𝑥 1024𝐾𝑔) y 𝒎𝟐 es la masa del cuerpo 2

(péndulo: 1Kg). Sin embargo, para fines prácticos y facilitar en análisis de la variación de la gravedad con la altitud, se desprecia la masa del cuerpo 2 dado que es muy pequeña en comparación a la masa de la tierra, y la distancia (d) se toma como el valor del radio terrestre (𝑟 = 6.37𝑥 106 𝑚) mas el valor de la altitud del lugar, como sigue: 𝑴𝒕𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 (2) 𝑭=𝑮 𝒓𝟐

Por otro lado, el péndulo simple está constituido, por una masa suspendida, la cual se encuentra sostenida por una cuerda, con una masa despreciable, este sistema consta en realizar un movimiento armónico simple, el cual se veía constituido principalmente por oscilaciones, las cuales se denotaron como el recorrido de ida y llegada al punto inicial una vez la masa estuvo ubicada fuera de su estado de equilibrio; el caculo del periodo del péndulo simple se ve denotado por la siguiente ecuación (Perez Montiél, 2015): 𝑻 = 𝟐𝝅√

𝒍 𝒈

(3)

Donde T: Periodo del péndulo (s); l: longitud de la cuerda sobre la cual esta ba el objeto, se mide desde donde se encontraba suspendido hasta su centro de masa y g: La magnitud de la gravedad aproximadamente con un valor de 9,8 m/s². De esta ecuación principalmente surgen dos leyes: 1. El periodo se ve estrechamente relacionado con la longitud mas no con la masa ni con la amplitud del movimiento. 2. El periodo se conoce que es directamente proporcional la raíz de la longitud e inversamente proporcional a el valor aproximado de la gravedad.

Figura 1. Diagrama del péndulo simple.

De la figura 1, podemos deducir la ecuación 1, de la siguiente manera: el peso del objeto de ver dado por P, la longitud por l, la masa como m y la distancia como d. Sabemos que el peso es la sumatoria de la masa con la gravedad y los componentes de los triángulos son F y F’; consideramos que los triángulos abc y cef son prácticamente el mismo, vamos a tener la siguiente deducción: 𝐹

𝑑 𝑚𝑔 𝑙 Si reordenamos los términos de la ecuación anterior obtenemos: 𝑘=

=

𝑚𝑔 𝑙

Ecuación de masas sostenidas por un resorte. La deducción de esto es debido a que como son movimientos armónicos simples evidentemente se logrará, hacer una comparación con remplazar el valor de k como se verá a continuación: 𝑻 = 𝟐𝝅√

𝒎 𝒌

(4)

La ecuación 4, es la nombrada anteriormente, remplazando k podemos obtener lo siguiente: 𝑚 1 𝑇 = 2𝜋√ 𝑚𝑔 𝑙 Esto nos da como resultado la ecuación 3:

𝑻 = 𝟐𝝅√

𝒍 𝒈

De lo anterior descrito, esto se vio aplicado a el experimento del péndulo simple, por el simulador PhET, este fue de gran utilidad durante el desarrollo de la práctica, y se ve estrechamente relacionado con el experimento y la ecuación 3, el cual fue de gran ayuda para poder llevar el experimento acabo.

Figura 2. Simulador de péndulo simple PhET.

Este fue usado con el fin de calcular, 60 veces el periodo, el cual se dividió en 6 tomas por cada 10cm menos hasta lograr el objetivo. El péndulo tuvo una amplitud de 5 grados en cada una de las muestras tomadas mas siempre vario la longitud para evidenciar lo dicho anteriormente en el sustento teórico, que este no varía según la más ni el grado si no debido a su longitud. Metodología El experimento se llevó acabo en la plataforma de simulaciones PhET en el módulo de péndulo simple. Durante el procedimiento el péndulo se lanzó con un ángulo de 5o,60 oscilaciones diferentes y 1 metro de longitud, con los datos tomados se realizó las tablas e histograma; Se fue disminuyendo la longitud inicial al péndulo cada 10cm hasta llegar a una longitud final de 10cm para entender la relación entre la longitud y el periodo. Con ayuda de la aplicación GPS Status se obtuvo la latitud de los diferentes lugares (Cali y Ginebra) para ser utilizada en la ecuación universal de la gravedad. Resultados Para la toma de datos, se realizó el correspondiente análisis estadístico para cada longitud y su conjunto de datos, como se muestra a continuación para 1m de longitud:

TABLA 1 - Datos Experimentales para 1m Longitud (m) 1 Angulo de 5° lanzamiento Dato # Periodo (s) 1 2,64 2 2,65 3 2,66 4 2,66 5 2,70 6 2,59 7 2,64 8 2,66 9 2,70 10 2,68 2,43 11 2,4 12 2,32 13 2,35 14 2,38 15 2,4 16 17 1,94 18 2,04 19 1,99 20 1,94 21 2,05 22 1,98 Media (m) 2,40

TABLA 2 - Analisis Estadistico Datos TABLA 1 Periodo (s) Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta

2,4 0,06074929 2,415 2,66 0,28493943 0,08119048 -1,28191505 -0,56382782 0,76 1,94 2,7 52,8 22

Una vez realizado el mismo tratamiento para cada conjunto de datos, los resultados de sus medias se recopilaron en la tabla a continuación, donde se registran los tiempos promedios para una oscilación a una longitud dada del péndulo simple; además se reporta el valor de periodo cuadrado, con el fin de lograr la linealización de los datos en un gráfico, como sigue: TABLA 3 - Tiempo de una oscilacion en funcion de la longitud del pendulo simple Longitud Periodo T T Cuadrado Dato # (m) (s) (s˄2) 1 0,1 0,83 0,69 2 0,2 1,09 1,19 3 0,3 1,32 1,74 4 0,4 1,53 2,33 5 0,5 1,71 2,93 6 0,6 1,87 3,51 7 0,7 2,00 4,01 8 0,8 2,14 4,59 9 0,9 2,27 5,13 10 1 2,40 5,76

Periodo Cuadrado Vs Longitud 7,00 y = 5,644x + 0,0832 R² = 0,9997

Periodo Cuadrado (s˄2)

6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Longitud (m) Grafico 3 - Determinacion del valor de la gravedad terrestre mediante el periodo de oscilacion a diferentes longitudes del pendulo - PhET

A partir de la ecuación 3, se puede deducir la relación entre el periodo cuadrado y la longitud del péndulo como sigue: 𝑇 = 2𝜋√

𝑙 𝑙 → 𝑇 2 = 4𝜋 2 ; 𝑔 𝑔

𝑻𝟐 =

𝟒𝝅𝟐 ∗𝒍 𝒈

(5)

La forma de la ecuación 4 es del tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde su pendiente está representada por 𝟒𝝅𝟐⁄𝒈; por lo tanto, según el valor de la pendiente reportada en el grafico 3, es posible plantear: 𝟒𝝅𝟐 𝒔𝟐 = 𝟓. 𝟔𝟒𝟒 𝒎 (6) 𝒈

Por lo tanto, se puede determinar un valor experimental de la gravedad, al despejar la variable g de la ecuación 6: 𝑔=

4𝜋2

5.644

𝑠2 𝑚

= 6.99 ≈ 7 𝑚 ⁄𝑠 2

Para la comparación del efecto de la posición geográfica sobre el valor de la gravedad se empleó la ecuación 2, en función de la altitud del lugar, obteniéndose los siguientes resultados: TABLA 4 - Efecto de la Altitud en la Gravedad Lugar Altitud (m) Gravedad (m/s˄2) Cali - Alfonso Lopez 680,1 9,8190 Cali - Junin 997,3 9,8181 Ginebra (Valle) - Altos Ginebra 1029,5 9,8179

Análisis de Resultados La varianza en los datos de la Tabla 1 es considerable, lo que concuerda con el hecho de que las mediciones se realizaron con el mismo software (simulador PhET) pero por tres experimentadores diferentes, lo que se repitió en la mayoría de los casos para las diferentes longitudes. Se infirió que, debido a la toma individual de datos, el valor experimental obtenido para la gravedad se aleja de los valores reportados en la Tabla 4 debido a un error sistemático . Según los datos reportados en la Tabla 4, se pudo deducir que, a mayor altitud, menor fuerza de gravedad; en otras palabras, a mayor distancia entre los cuerpos que interaccionan, menor es la fuerza de atracción gravitacional entre ellos, a pesar de que el efecto sea mínimo con un orden de 10−3 por cada 1000m de altura, aproximadamente. Conclusiones Al haberse realizado la práctica se pudo evidenciar el cumplimiento de las leyes que se cuantifican a través de un sistema de péndulo simple, gracias a este proceso se pudo comprobar el cumplimiento de estas ecuaciones en determinadas condiciones, notando a su vez la utilidad de un marco teórico alrededor de un sistema y como este permite predecir o ayudar, siempre y cuando se cumplan los requisitos necesarios para recrear estos fenómenos. La ley gravitacional universal demuestra que a mayor distancia entre dos cuerpos masivos que interaccionan, menor será su fuerza de atracción. Lo que también puede concluirse como una disminución en los tiempos de oscilación de un péndulo simple a medida que este está más “alejado” (menor longitud) del centro de masas de la tierra. La toma de datos para una misma muestra o prueba deberían ser tomado, en lo posible, por la misma persona para evitar errores de tipo sistemático en el tratamiento matemático e interpretación de los datos experimentales.

Ref Referen eren erencia cia ciass

1. Colorado, U. d. (2002). Simulaciones PhET. Obtenido de PhET Interactive Simulations: https://phet.colorado.edu 2. Fernández, J. L., & Coronado, G. (2013). Fisicalab. Obtenido de https://www.fisicalab.com/tema/gravitacion-universal/formulas 3. Hewitt, P. G. (2007). Física Conceptual. Mexico: PEARSON Educacíon....