Notas MA-150 - Temas acerca de principios de matemática PDF

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Temas acerca de principios de matemática...

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Índice general

1. Teoría Elemental de Conjuntos 1.1.

1.2.

4

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1.

Un poco de historia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2.

Terminología básica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3.

Conjunto potencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1.

La intersección

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2.

La unión

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3.

Complemento y diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.4.

Leyes de De Morgan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.5.

La diferencia simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.6.

Producto cartesiano

1.2.7.

Familias de conjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2. Relaciones binarias 2.1.

2.2.

19

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1.

De…nición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.2.

Relación inversa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.3.

Composición

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.4.

Representaciones grá…cas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.1.

Relaciones de orden

26

2.2.2.

Relaciones de Equivalencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Funciones

28

31

3.1.

De…nición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.

Imágenes directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.

Tipos de funciones

33

3.4.

Composición e inversa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.5.

Funciones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4. El principio de inducción

39

4.1.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2.

Extensiones y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.3.

De…niciones por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.4.

Sumatorias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.4.1.

Suma telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.4.2.

Suma geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.5. 4.6.

4.7.

Números de Fibonacci

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conjuntos …nitos y numerables

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 53

4.6.1.

Equipotencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.6.2.

Conjuntos …nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.6.3.

Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Sistemas de numeración

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Principios de combinatoria

58 62

5.1.

Principio básico del conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.

Permutaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.3.

Combinaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.4.

Ejemplos adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.5.

Bolas idénticas y ca jas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.6.

La fórmula del binomio

5.7.

Aplicaciones en probabilidad 5.7.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Principio de inclusión-exclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

6. Teoría de números

78

6.1.

Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

6.2.

Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

6.3.

Teorema Fundamental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

6.4.

El mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6.5.

Ecuaciones Diofánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

6.6.

Congruencias

89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Completitud

91

7.1.

Los axiomas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

7.2.

Axiomas de orden

92

7.3.

Una copia de

7.4.

Axioma del extremo superior

7.5.

Existencia de raíz cuadrada

7.6.

Q

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

8. Tópicos adicionales

8.1. 8.2.

94

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

Segmentos enca jados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Expansiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2.1.

Decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2

3

8.2.2. 8.3. 8.4.

En otras bases

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cardinalidad del continuo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 106

Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

8.4.1.

Construcción

108

8.4.2.

Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

8.4.3.

Raíces

114

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n ésimas .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 1

Teoría Elemental de Conjuntos

1.1.

Introducción

1.1.1.

Un poco de historia

La teoría formal de conjuntos comienza a desarrollarse a partir de los trabajos de Georg Cantor (1845

 1918), realizados a …nales del siglo XIX. Su estudio de las series trigonométricas lo llevó

a la necesidad de comparar magnitudes de conjuntos in…nitos y a establecer así la noción de equipotencia. El estudio de conjuntos in…nitos lo llevó a generalizar los números naturales, obteniendo así los cardinales in…nitos y a desarrollar la teoría y aritmética de números trans…nitos.

Los trabajos de Cantor motivaron que otros matemáticos se involucraran en intentos por presentar la teoría de conjuntos como un sistema de principios lógicos. Quizá el esfuerzo más evidente en esta dirección, está representado por la obra de Gottlob Frege, en la que indicaba cómo la matemática podía ser desarrollada a partir de una serie de principios lógicos. Pero la paradoja señalada por Bertrand Russell, derivada de esos principios, parecía destruir toda posibilidad de fundamentar la matemática a partir de ellos. La primera axiomatización de la teoría de conjuntos fue publicada por Ernst Zermelo en 1908, mientras que en 1922 Abraham Fraenkel y otros propusieron un axioma más (axioma de reemplazo), que completó lo que hoy en día se conoce como la teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF). Una axiomatización alternativa fue iniciada por John von Neumann en 1925 y completada por Paul Bernays a partir de 1937 y por Kurt Gödel en 1940. Este enfoque se conoce como la teoría de von Neumann-Bernays, o también Gödel-Bernays. En la actualidad podría decirse que la teoría de conjuntos ha alcanzado su madurez, aunque siguen apareciendo nuevas teorías que amplían las existentes y sugieren nuevas formas de conceptualizar ideas que han sido manejadas de una manera intuitiva por varias generaciones. En este sentido conviene mencionar la teoría axiomática del

análisis no estándar,

donde nuevos

axiomas se unen a los axiomas clásicos de Zermelo-Fraenkel para dar origen a nuevos elementos de la recta real que escapan a nuestra intuición geométrica clásica. El lector interesado en ampliar sus conocimientos sobre el desarrollo histórico de la teoría de conjuntos, puede consultar la basta literatura al respecto, entre ellos: [2], [5] y [10]. Para un 4

Teoría elemental de conjuntos

5

S. Cambronero

estudio axiomático riguroso de la teoría de conjuntos, se recomienda leer [6]. Una presentación más amena e informal puede encontrarse en [11]. 1.1.2.

Terminología básica

Generalmente, en una teoría matemática, los términos que denotan las nociones primarias no se pueden de…nir. Usualmente, para estas nociones primarias, se dan algunos axiomas que sirven para …jar las reglas del juego en su utilización. De acuerdo con esa dinámica, en este tema se parte de la noción primaria de conjunto. Todos los conjuntos, salvo el conjunto vacío (denotado por A,

;), están formados por elementos. Para indicar que un elemento a pertenece a un conjunto a 2 A: Para indicar que a no es un elemento del conjunto A, se se escribe a 2 = A.

se escribe

2

Ejemplo 1.1 Si A es el conjunto vacío, se tiene x = A para cualquier x:

Si

A

y

B

se escribe

son conjuntos, se dice que son iguales si tienen exactamente los mismos elementos; A

=

B.

Esto, en la teoría axiomática, es conocido como el

axioma de extensión.

Corresponde con la idea intuitiva de que los conjuntos consisten de elementos y de nada más; conocer un conjunto es conocer sus elementos1 . Ejemplo 1.2 Si A es el conjunto formado por los números naturales negativos, se tiene A

Se dice que el conjunto elemento de

B;

subconjunto de elemento de

A

A



(denotado

A

se escribe B

es subconjunto del conjunto

También se dice que

B:

*

B;

B ),

= ;:

si todo elemento de

A

está contenido en

B:

Si

A

que no sea

A

debe existir al menos un elemento de

es también A

no es

B:

Ejemplo 1.3 El conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros. Por otro lado,

Z*N

debido a que existe al menos un x

2 Z tal que x 2= N.

Ejemplo 1.4 El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. En efecto, suponga que

; * A. Entonces existe al menos un x 2 ; tal que x 2= A; pero esto es contradictorio.

Para de…nir un conjunto particular, es necesario precisar los elementos que lo forman. Una forma de hacerlo es por extensión, dando explícitamente todos sus elementos, como en

A

=

f1; 2; 3; 7; 9g : Otra forma es por comprensión, partiendo de un conjunto conocido y enunciando una propiedad característica de sus elementos. Por ejemplo, el conjunto

3,

los números naturales múltiplos de B

Ejemplo 1.5 El conjunto A

f2; 2g :

=

= fn 2 Z : n



x

Ejemplo 1.6 Para el conjunto B 1

Cuando decimos que “dos conjuntos

representan el mismo conjunto”.

es múltiplo de

2 Z : x2 = 4

=

B

cuyos elementos son

se puede expresar como



x



3g:

se expresa también por extensión como A

2 Z : x2  2 = 0



se tiene B

=

= ;:

A y B son iguales”, realmente queremos decir que “los símbolos A y B

Teoría elemental de conjuntos

S. Cambronero

Ejemplo 1.7 Considere el conjunto A

j j j , 

ciones de la inecuación 2x + 1

j 

2x + 1

Entonces

3

=

f 2R j

: 2x + 1

x

j g 3

;

6

cuyos elementos son las solu-

3: Resolviendo la ineciación se tiene

3

 ,   ,  

2x + 1

3

4

2x

2

2

x

1:

= [ 2; 1]:

A

Ejemplo 1.8 Considere el conjunto A x

2



=



x

2R

5 x + 6 = (x

:

x



2



5x + 6

2) (x

esta expresión representa un número negativo cuando 2 La inclusión A





<

0



:

Dado que

3) ; 3: Consecuentemente

< x <

A

=]2; 3[:

B se puede escribir en forma simbólica como

8 2 x

A

*

Recordando la negación de cuanti…cadores, A

9 2 x

(x

A

2

B) :

B se escribe

(x

2

= B) :

La relación de inclusión, permite dar una de…nición alternativa de igualdad entre conjuntos. En efecto, para A y B conjuntos se tiene

=

B

=

B

A

6

Equivalentemente A

,  ^  A

,

A

B

*

B

_

B

B

*

A:

A:

Por diversas razones, entre ellas el evitar ambigüedades o imprecisiones, es importante utilizar un conjunto de referencia o universo relativo. Se entiende entonces que todo elemento en el

8 2 

8

contexto pertenece al conjunto de referencia E : Esto permite en parte simpli…car notaciones, E p(x) se podría escribir abreviadamente

por ejemplo

x

inclusión A

B se expresa por

La igualdad A

=

(

8

2 ) 2

8

2 , 2

x ) (x

A

x p(x): Bajo esa convención, la

B) :

x

B estaría dada por

(

f

Se utiliza la notación

x

:

x ) (x

p

(x )

A

g f 2 =

B) :

x

x

E

:

p

(x )

g

para denotar al conjunto de elementos de E que satisfacen la propiedad p

(x ) :

Ejemplo 1.9 Considere los conjuntos A

Entonces

A

=

B:

=

f 2Z x

:

x

es par y 0

< x <

15

g

;

B

=

f

2; 4; 6; 8; 10; 12; 14

g

:

Teoría elemental de conjuntos

S. Cambronero

Ejemplo 1.10 Considere los conjuntos A Entonces B

 A; pero A * B:

Ejemplo 1.11 Sea A y B

*

=

fx 2 Z : x

es múltiplo de

3

g

y B

=

7

f9; 12; 27g:

fn 2 N : n es imparg y sea B = fn 2 N : n es primog : Entonces A * B

=

A:

Ejercicio 1.1 Considere A

=



2 N : 3 < n2 < 30

n



y B

=

f2; 3; 4; 5g : Demuestre que A = B:

= fn 2 N : n es parg. Se de…ne A = fn 2  25g: Demuestre que A = B:

Ejercicio 1.2 Considere el conjunto de referencia P P

:

n >

10

g; B = fn 2 P

: 2n + 1

Ejercicio 1.3 Determine en qué casos el conjunto dado es vacío: A

=

