O-espaco-tempo de Minkowski PDF

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Resumo sobre o espaço-tempo de Minkowski baseado no livro do professor Moysés, volume 4...

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O espaço-tempo de Minkowski December 13, 2018 Primeiramente, a grandeza denominada intervalo entre dois eventos 1 e 2, denotada por s12 , é dada por uma transformação de Lorentz: (s12 )2 = (r2 − r1 )2 − c 2 (t2 − t1 )2 .

(1)

Escolhendo que um desses eventos ocorra na origem, (s12 )2 = r2 − c 2 t2 = x2 + y 2 + z 2 − c 2 t2 .

(2)

Tal grandeza é a mesma em qualquer referencial inercial. Dado que num refencial ocorram dois eventos, de coordenadas (r1 , t1 ) e (r2 , t2 ), o quadrado do invervalo s entre esses eventos será: (∆s)2 ≡ (∆r)2 − (c∆t)2 ≡ −c 2 (∆τ )2 ,

(3)

onde temos que ∆r ≡ r2 − r1 e ∆t ≡ t2 − t1 . Minkowski viu que ao se introduzir uma coordenada imaginária x4 no lugar da coordenada temporal, com x = (x1 , x2 , x3 ), x0 = ct e x4 = ix0 , obtém-se uma transformação de Lorentz especial x′1 = γ(x1 − βx0 ),

(4)

x′0 = γ(x0 − βx1 ),

(5)

x′2

= x2 ,

(6)

x′3

= x3 ,

(7)

x4 ≡ ict ≡ ix0 .

(8)

(∆s)2 = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + (∆x3 )2 + (∆x4 )2 ,

(9)

Portanto, a equação (3) é reescrita como

que é idêntica à expressão do quadrado da distância entre dois pontos num espaço-tempo em 4D. De acordo com a geometria euclidiana, as coordenadas de um evento nesse espaço seriam (x1 , x2 , x3 , x4 ). Uma análise mais atenta nos mostra que a contribuição da coordenada x4 na equação acima é negativa (−(∆x0 )2 ). Por isso, diz-se que o espaço-tempo tem uma métrica pseudo-euclidiana. Tomando ∆x2 = ∆x3 = 0, teremos (∆s)2 = (∆x1 )2 + (∆x4 )2 .

(10)

A expressão acima é invariante sob rotação no plano definido por x1 e x4 : x′1 = x1 cosφ + x4 senφ,

(11)

x′4 = −x1 senφ + x4 cosφ.

(12)

Como x′1 deve permanecer real e x4′ deve permanecer imaginário puro, é preciso que cosφ seja real e sinφ seja imaginário. Para que isso aconteça, fazemos φ = iα, tal que cosφ = coshα,

(13)

senφ = isenhα.

(14)

1

o que resulta em

Se identificarmos a origem O’

(x′1

x′1 = x1 coshα − x0 senhα,

(15)

x′4

(16)

= x1 coshα + x0 senhα.

= 0), com x1 = V t =

V c

x0 = βx0 , teremos que

tanhα = β,

(17)

1 = γ, coshα = √ 1 − tanh2 α

(18)

senhα = γβ.

(19)

Assim, obtém-se simplesmente a transformação de Lorentz especial. Portanto, a TL especial por ser interpretada geometricamente como uma rotação do espaço-tempo por um ângulo imaginário no plano definido por x1 e x4 . Aqui, Minkowski disse que agora não mais se vê o espaço e o tempo como entidades separadas, mas sim, que estão unidos em uma única coisa. Lembrando que a coordenada temporal preserva uma característica diferente das outras (que se manifesta pelo sinal − no quarto termo da equação 9). A principal vantagem da interpretação geométrica de Minkowski é que ela permite escrever as leis da física de maneira que garante automaticamente que sejam preservadas pela transformação de Lorentz, ou seja, satisfaçam o princípio da relatividade. Para que isso aconteça, introduzimos um formalismo de vetores no espaço-tempo. Sabemos que no espaço 3D, uma lei física que é expressa em termos de vetores é automaticamente satisfeita num sistema de coordenadas que é obtido ao se rotacionar eixos, porque os dois membros se transformam da mesma maneira(são covariantes). Podemos assim definir um vetor ao dizer que a lei de transformação das suas componentes numa rotação de eixos é a mesma que a das coordenadas (x1 , x2 , x3 ). Esta definição se estende à de um quadrivetor no espaço de Minkowski: suas quatro componentes se transformam numa rotação de eixos (em particular, numa transformação de Lorentz) da mesma forma que as coordenadas (x1 , x2 , x3 , x4 ). A 4a componente do quadrivetor é também imaginária pura.

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