Obwody elektryczne- ćwiczenia z rezystancji zastępczej PDF

Preview

Summary

Obwody elektryczne- ćwiczenia z rezystancji zastępczej. Przykładowe polecenia wraz ze schematami i odpowiedziami...

Description

Zadanie 1 Wyznacz rezystancję zastępczą RAB widzianą z punktów AB układu przedstawionego na rysunku 1.1.

R4

R1

A

R5

R2

R6

R3

B

R7 R8

Rys.1.1 Dane: R1=30Ω, R2=60Ω, R3=10Ω, R4=40Ω, R5=50Ω, R6=5Ω, R7=20Ω, R8=20Ω. Rozwiązanie: Rozwiązanie zostanie znalezione za pomocą zastępowania połączeń szeregowych oraz równoległych pojedynczymi opornikami o wartościach równych rezystancjom zastępczym tych połączeń. Zastępując równolegle połączone R7 i R8 rezystorem Rz1 otrzymuje się układ:

A

R4

R1

R5

R2 B

Rz1

R6

R3

Rys.1.2 gdzie: R z1 =

R 7R8 = 10Ω R 7 + R8

Rezystory R4 i Rz1 są połączone szeregowo. Po zastąpieniu połączenia rezystancją Rz2 otrzymuje się układ:

A

R1 R5

R2 B

Rz2

R6

R3

Rys.1.3 w którym: R z 2 = R z1 + R4 = 10 + 40 = 50Ω

2

Kolejne etapy upraszczania układu połączeń są przedstawione na rysunkach 1.4 ÷1.6. Obok rysunków przedstawione są sposoby wyznaczenia rezystancji zastępczych połączeń.

R1

A Rz 3 =

R5 R z 2 50 ⋅ 50 = = 25Ω R5 + R z2 50 + 50

Rz3

R2 R6

R3

B

Rys.1.4

A

R1

R z 4 = R z 3 + R6 = 25 + 5 = 30 Ω

R2 B

Rz4

R3 Rys.1.5

R1

A R z5 =

60 ⋅ 30 R2 R z4 = = 20Ω R2 + Rz 4 60 + 30

Rz5 R3

B

Rys.1.6 Rezystory R1, Rz5 oraz R3 są połączone szeregowo. Rezystancja zastępcza układu jest więc równa: R AB = R1 + Rz 5 + R3 = 30 + 20 + 10 = 60Ω

Zadanie 2 Wyznacz rezystancję zastępczą RAB widzianą z punktów AB układu przedstawionego na rysunku 2.1.

R3

R1

R2

A B

Rys.2.1

3

Dane: R1=6Ω, R2=2Ω, R3=3Ω Rozwiązanie: W celu wyznaczenia rezystancji RAB końce oporników połączenia zostają opisane symbolami A oraz B odpowiednio do bezoporowych połączeń przedstawionych na rysunku 2.1. Wynik przedstawiony jest na rys.2.2

B R3

R2 B

R1

A

A

B Rys.2.2 Z rysunku wynika, że każdy z oporników R1, R2 oraz R3 jest włączony między punkty A oraz B. Analizowany układ jest równoważny układowi:

R1

A

R2 R3 B Rys.2.3 Z rys.2.3 wynika, że rezystancja RAB jest równa połączeniu równoległemu oporów R1, R2 oraz R3: 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + = 1 S ⇒ RAB = 1Ω R AB R 1 R 2 R 3 6 2 3

A R1 C R4

R2 R3

D

R5

E R8

R6

R7 F

B

R9

Rys.3.1

4

Zadanie 3 Wyznacz rezystancję zastępczą RAB widzianą z punktów AB układu przedstawionego na rysunku 3.1. Dane: R i=R=6kΩ, i= 1,2,…9 Rozwiązanie: Wszystkie rezystory analizowanego układu posiadają takie same wartości. Na rys.3.1 zostały nadane im indywidualne numery w celu bardziej obrazowego przedstawienia przekształceń rozważanego układu połączeń. Przedstawiony układ jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez punkty A i B. Po przyłożeniu do punktów A oraz B źródła napięcia o dowolnej wartości potencjały punktów C oraz D będą sobie równe, potencjały punktów E oraz F też. Punkty te można zatem połączyć. Otrzymany układ przedstawiony jest na rys.3.2

A R1

A R2 C=D

Rz1 C=D

R6 R4 R8

R5

R7

Rz2

E=F

B

B

R9 Rys.3.2

Rz4

Rz3 E=F

Rys.3.3

W układzie z rys.3.2 brak jest opornika R3. Jest on dołączony do punktów C oraz D, których potencjały są równe. Napięcie na tym oporniku jest zatem równe zeru, prąd płynący przez opornik też. Jego obecność w układzie ni e wpływa na wartość poszukiwanej rezystancji układu Po zastąpieniu połączeń równoległ ych rezystancjami Rz1, Rz2, Rz3 oraz Rz4 otrzymuje się układ przedstawiony na rys.3.3, którym: R z1 =

R1 R2 = 0,5R R1 + R2

R z2 =

R5 R6 = 0,5R R5 + R6

Rz3 =

R 4R7 = 0,5R R4 + R7

Rz4 =

R8 R9 = 0, 5R R8 + R9

Na podstawie rys.3.3 rezystancję RAB można wyznaczyć w następujący sposób. Szeregowo połączone rezystory Rz3 oraz Rz4 zastępuje się jednym R z5 równym ich sumie, a następn ie równoległe połączenie R z2 i R z5 dodaje si ę do połączonego z nim szeregowo rezystora Rz1. Matematyczny zapis opisanych operacji jest następujący: R z5 = R z3 + R z4 = 0 ,5 R + 0 ,5 R = R Rz 2 Rz 5 0 ,5 R ⋅ R 0,5R 5 = 0,5R + = 0 ,5 R + = R = 5kΩ R AB = R z 1 + 0,5 R + R 1,5 6 R z2 + R z5

5

Alternatywny sposób rozwiązania analizowanego w zadaniu problemu przedstawiony jest w zadaniu 5. Wykorzystano w nim transfiguracje trójkąt-gwiazda.

Zadanie 4 Wyznacz rezystancję zastępczą RAB widzianą z końców krawędzi sześcianu, którego każda krawędź posiada rezystancję R. Rozważany układ przedstawiony jest na rys.4.1

R9

E

R5

R12

A

B

R1

R4

R8 G

C

F R6

R10

R11

H

R2 D

R3

R7

Rys.4.1 Dane: Ri=R=24Ω, i=1,2,…12 Rozwiązanie: Wszystkie rezystory analizowanego układu posiadają takie same wartości. Na rys.4.1 posiadają jednak indywidualne oznaczenia w celu bardziej obrazowego przedstawienia przekształceń rozważanego układu połączeń.

R1

A R4 C

R5 R3 E

R8

R12 G

B

R11

R6 D

C E

F R8

R12

R10 G

H

Rys.4.2

B

R5 R2 R3 D

R4

R2

R9 R7

R1

A

R9 R7 R11

Rys.4.3

6

R6 F R10 H

Rys.4.2 przedstawia układ z rys.4.1 pokazany w nieco innej formie pozwalającej na zauważenie istotnych dla rozwiązania postawionego problemu zależności. Z faktu, że opory R1 ÷ R12 mają tę samą wartość rezystancji wynika symetria przedstawionego na rys.4.2 układu względem płaszczyzny wyznaczonej przez krawędzie AB oraz GH. Implikuje to równość potencjałów punktów C i E oraz punktów D i F przy dowolnej wartości napięcia panującego między punktami A oraz B. Punkty C i E można zatem zewrzeć, tak samo jak punkty D i F (rys.4.3). Zastąpienie powstałych w wyniku tej operacji połączeń równoległych rezystancjami zastępczymi prowadzi do układu przedstawionego na rys.4.4.

R1

A

B Rz2

Rz1 Rz3

R11

D=F

Rz6

H

G

Rz2 Rz3

C=E

Rz5

Rz4

B

Rz1

D=F

C=E

R1

A

Rys.4.4

Rys.4.5

Wprowadzone na rysunku rezystancje Rz1 ÷ Rz5 są równe: R z1 =

R4 R5 = 0 ,5 R R4 + R5 R z4 =

R z2 =

R2 R6 = 0 ,5 R R 2 + R6

R8 R12 = 0,5 R R8 + R12

R z5 =

R z3 =

R3 R9 = 0 ,5 R R3 + R9

R 7 R10 = 0 ,5 R R 7 + R 10

Wprowadzenie rezystancji Rz6 zastępującej szeregowe połączenie Rz4, R11 oraz Rz5 prowadzi do układu przedstawionego na rys.4.5. Rz 6 = Rz 4 + R 11 + Rz 5 = 0 ,5 R + R + 0 ,5 R = 2 R Zastąpienie równoległego połączenia oporów Rz3 oraz Rz6 rezystorem Rz7 o wartości:

Rz 7 =

Rz 3 Rz 6 0,5R ⋅ 2R = = 0 ,4 R R z3 + R z6 0,5R + 2R

pozwala uprościć układ do postaci przedstawionej na rys.4.6. Nowy schemat układu uzyskuje się po wprowadzeniu Rz8 zamiast szeregowego połączenia Rz1, Rz7 oraz Rz2: Rz 8 = Rz 1 + Rz 7 + Rz 2 = 0 ,5 R + 0 ,4 R + 0 ,5 R = 1 ,4 R Poszukiwana rezystancja zastępcza RAB wynosi (na podstawie rys.4.7): R AB =

R1 ⋅ Rz 8 R ⋅ 1, 4R 1,4R 7 = = R = 14Ω = 2,4 12 R1 + R z8 R + 1 ,4 R

7

R1

A

B A Rz2

Rz1

R1

B

Rz8

Rz7 Rys.4.6

Rys.4.7

Zadanie 5 Wyznacz zależności pozwalające na obliczenie rezystancji R1, R2 oraz R3 połączenia gwiazdowego (układ B - rys.5.2) równoważnego układowi trójkątowemu rezystancji R12, R23 oraz R31 (układ A - rys.5.1).

1 iA1 R12 iA2 2 uA1

1 iB1 R1 R2 iB2 2 uB2 uB1 R3

uA2 R31

R23

3

3

Rys.5.1

Rys.5.2

Rozwiązanie:

Układy A oraz B będą równoważne, gdy zależności wiążące napięcia uA1, uA2 oraz prądy iA1, iA2 układu trójkątowego będą tożsamościowo równe zależnościom wiążącym napięcia uB1, uB2 oraz prądy iB1, iB2 układu gwiazdowego. Dla schematu z rys.5.1 można napisać na podstawie praw Kirchhoffa i prawa Ohma równania:  u −u  u A1 =  i A1 − A1 A 2  R31 - gdzie wyrażenie w nawiasie to prąd płynący przez R31 R12    u − u A1 u A2 = i A2 − A 2 R12 

 R23 - gdzie wyrażenie w nawiasie to prąd płynący przez R23 

Po prostych przekształceniach otrzymuje się:  R  R u A1  1 + 31  − u A2 31 = i A1 R31 R12  R12   R  R u A 2  1+ 23  − uA1 23 = iA 2 R 23 R12  R12  Mnożąc pierwsze z równań (*) przez

(*)

R12 + R23 otrzymuje się po dodaniu do drugiego R 31

równania:

8

 R + R31 u A1  12  R12

 R12 + R23   R + R 23 R  R + R 23    − uA 2 31  12  = i A1 R31  12 R12  R31   R 31   R31

  

 R + R23  R  − uA1 23 = iA 2 R 23 u A 2  12 R12  R 12  −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−  (R + R 31)(R 12 + R 23 ) R23   = i A1 ( R12 + R23 ) + iA2 R23 u A1  12 − R12 R31 R12  

Proste przekształcenia ostatniej zależności prowadzą do równania: R12 + R23 + R31 = iA1 ( R12 + R23 ) + iA 2 R23 R31 po odpowiednim pogrupowaniu : u A1

u A1 = i A1

(R12

+ R23 )R31 R 23R 31 + i A2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31

Mnożąc drugie z równań (*) przez

R12 + R31 R23

otrzymuje się po dodaniu do pierwszego

równania:  R + R31 u A1 12  R12

 R  − u A 2 31 = i A1 R31  R12 

 R + R31   R + R23   R12 + R31  R  R + R31    = iA2 R23  12  − u A1 23  12  u A2  12   R      R12  R23    R23  R12 23    −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−  ( R + R23 )( R12 + R31 ) R31   = i 1 R31 + i A2 ( R12 + R31 ) u A2  12 − R12 R23 R12  A 

Proste przekształcenia ostatniej zależności prowadzą do równania:

u A2

R12 + R23 + R31 = i A1 R31 + i A2 ( R12 + R31 ) R23

po odpowiednim pogrupowaniu : u A 2 = i A1

(R + R31 )R 23 R23 R31 + iA2 12 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31

Równania wiążące napięcia i prądy układu A to: u A1 = i A1 u A 2 = i A1

( R12 + R23 )R31 R 12 + R 23 + R 31

+ iA 2

R 23 R31 R12 + R 23 + R31

( R12 + R 31)R 23 R 23R 31 + i A2 R12 + R23 + R31 + + R12 R23 R31

(**)

Dla układu B można sformułować następujące równania stosując prawa Kirchhoffa oraz prawo Ohma:

9

u B1 = i B1R 1 + (i B1 + i B 2 ) R 3

u B 2 = i B 2R 2 + (i B1 + i B 2 )R 3 Po prostych przekształceniach otrzymuje się: u B 1 = i B 1 (R1 + R 3 ) + iB 2 R 3 u B2 = i B1 R3 + i B2 ( R2 + R3 )

(***)

Porównanie równań oznaczonych przez (**) oraz oznaczonych przez (***) prowadzi do poszukiwanych zależności: R1 =

R 12

R12 R31 + R 23 + R 31

R2 =

R 12R 23 R 12 + R 23 + R 31

R3 =

R23 R31 R 12 + R 23 + R 31

Zmiana połączenia trójkątowego na równoważne połączenie gwiazdowe pozwala na rozwiązanie problemu analizowanego w zadaniu 3 innym sposobem. Rezystancję RAB układu przedstawionego na rys.5.3 można wyznaczyć zamieniając trzy połączenia trójkątowe jednakowych rezystancji R : ACD, BEC oraz BDF na równoważne połączenia gwiazdowe złożone z rezystancji trzykrotnie mniejszych R/3. Otrzymane połączenie przedstawia rys.5.4.

A A R/3

R C R

R R

R/3 C

D

R

R/3

R R

E R

B

R/3 R/3

R/3

F R

R/3 D

E

R/3

Rys.5.3

R/3

F

B Rys.5.4

Rezystancja RAB, na podstawie schematu z rys.5.4 jest szeregowym połączeniem oporu R/3 oraz dwóch równolegle połączonych torów złożonych z szeregowo połączonych trzech rezystancji R/3. Rezystancja RAB wynosi zatem: R AB =

1 R+ 3

1 R R R R R 5  + + = + = R 2 3 3 3  3 2 6

Wynik jest zgodny z otrzymanym poprzednio przy wykorzystaniu innych przekształceń analizowanego obwodu. 10

Zadanie 6 Wyznacz rozpływ prądów oraz napięcie na źródle prądowym w obwodzie przedstawionym na rys.6.1 korzystając z praw Kirchhoffa. Dane: R1=R2=10Ω, R3=5Ω, R4=20Ω, E5=30V, J6=2A Rozwiązanie: Analizowany obwód posiada 4 węzły oraz 3 oczka. Można zatem sformułować 3 niezależne równania na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa oraz trzy niezależne równania na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa. Można sformułować łącznie 6 niezależnych równań. Niewiadome w układzie równań sformułowanym na podstawie praw Kirchhoffa będą prądy gałęziowe I1 ÷ I5 (pięć prądów) oraz napięcie na źródle prądowym UJ. Razem 6 niewiadomych, co odpowiada liczbie równań możliwych do sformułowania na podstawie praw Kirchhoffa.

I1 R1 J6

I2 R2 R4

E5

R3

I4 I3

I5 Rys.6.1

Wprowadzając literowe oznaczenia węzłów: A, B, C, D oraz cyframi rzymskimi dla oczek: I, II, III otrzymuje się schemat z rys.6.2.

I1 R1 III

A E5

I2

J6

R2 B R4 I

I4

C R3

II

I3

I5 D

Rys.6.2 Równania napisane na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa (PPK) dla wszystkich węzłów obwodu przedstawione są poniżej. Zostały sformułowane przy przyjęciu znaku „-” dla prądów dopływających do węzła oraz znaku „+” dla prądów odpływających od węzła. Podobne równania można otrzymać formułując PPK dla fundamentalnych przekrojów (zawsze 3 równania, różne dla różnych drzew obwodu).

11

A : - I1 + I2 + I5 = 0 B : − I2 + I4 − J6 = 0 C : I1 + I 3 + J 6 = 0 D : − I3 − I 4 − I5 = 0 Do opisu obwodu można wybrać jedynie 3 równania. Niech będą to równania dla węzłów A, B, D. Na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa (NPK) można sformułować trzy równania, np. dla oczek oznaczonych jako I, II, III. Są to równania: I : E5 − I 2 R2 − I 4 R4 = 0 II : I 4 R4 + U J − I 3 R3 = 0 III : − U J + I 2 R2 + I1 R1 = 0 Układ równań pozwalający na wykonanie analizy obwodu to wybrane 3 spośród 4 równań PPK dla węzłów oraz 3 równania NPK dla oczek: 4 : E5 − I 2 R2 − I 4 R4 = 0 5 : I4 R4 + U J − I3 R3 = 0 6 : − U J + I 2 R 2 + I 1R1 = 0

1 : - I1 + I2 + I5 = 0 2 : − I2 + I4 − J6 = 0 3 : − I3 − I 4 − I5 = 0

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się równania: 1 : - I1 + I2 + I5 = 0 2 : − I 2 + I4 − 2 = 0 3 : − I3 − I4 − I5 = 0

4 : 30 − 10 I 2 − 20 I 4 = 0 5 : 20I4 + U J − 5I3 = 0 6 : − U J + 10I 2 + 10I 1 = 0

Dodając stronami równania 1 i 3 eliminuje się prąd I5 a dodając stronami równania 5 i 6 – napięcie UJ. 4: 30 − 10I 2 − 20I 4 = 0 5 + 6 : 20I 4 + 10 I 2 + 10 I1 − 5 I 3 = 0

1 + 3 : - I1 + I2 − I3 − I4 = 0 2: − I2 + I4 − 2 = 0

Mnożąc równanie 2 przez 20 i dodając stronami tak otrzymane równanie do równania 4 otrzymuje się: − 20 I 2 − 40 + 30 − 10 I 2 = 0

⇒

30 I 2 = −10

⇒

I 2 = −0 ,333A

Na podstawie równania 2 wyznaczony zostaje prąd I4: − I2 + I4 − 2 = 0

⇒

I 4 = 2 + I 2 = 2 − 0 ,333 = 1,667A

Po podstawieniu otrzymanych wartości do równań oznaczonych jako 1+3 oraz 5+6 otrzymuje się zależności: − I1 − I 3 − 2 = 0 30 + 10 I1 − 5 I3 = 0

⇒

I 1 = −I 3 − 2 30 − 10 I3 − 20 − 5 I3 = 0

Z równania oznaczonego jako 1 wyznaczony zostaje prąd I5: I 5 = I 1 − I 2 = −2,667 + 0 ,333 = −2 ,333A

a z równania 6 napięcie UJ: U J = 10 I 2 + 10 I1 = −30V

12

⇒

I 3 = 0 ,667A I 1 = −I 3 − 2 = −2 ,667A

Rozwiązanie postawionego problemu to: I 1 = −2,667 A I 2 = −0,333A

I 3 = 0,667 A I 4 = 1,667 A

I 5 = −2,333A U J = −30V

Zadanie 7 Wyznaczyć rozpływ prądów oraz napięcie na źródle prądowym w układzie przedstawionym na rys.7.1 stosując metodę superpozycji.

I6

E6

R4 I4

I5 R5 UJ

R1 I1

J2

R3 I3

Rys.7.1 Dane: R1=R5=10Ω, R3=5Ω, R4=20Ω, E6=60V, J2=3A Rozwiązanie: Zgodnie z zasadą superpozycji (warunkiem stosowalności zasady jest liniowość układu) każdy z prądów (lub napięć) w rozważanym układzie jest sumą prądów (lub napięć) płynących w odpowiedniej gałęzi (panujących na odpowiedniej gałęzi) w obwodach, w których niezależne wymuszenia, tzn. źródła napięciowe oraz prądowe występują oddzielnie ale dokładnie jeden raz. W celu wyznaczenia rozwiązania analizowane będą dwa obwody przedstawione na rys.7.2 oraz 7.3.

I6’

E6

I6’’

R4 I4’ I5’ R5 UJ’

R1

R4 I4’’ I5’’ R5 R3

R1

I3’

I1’

I1’’

Rys.7.2

J2

UJ’’

R3

I3’’

Rys.7.3

W obwodzie przedstawionym na rys.7.2 zostało usunięte źródło prądowe, zaciski tego źródła pozostały rozwarte. Prądy i napięcia w tym obwodzie zostały oznaczone przez dodanie do oznaczeń w obwodzie pierwotnym znaków „ ’ ”. Obwód przedstawiony na rys.7.3 otrzymano

13

przez usunięcie z obwodu pierwotnego źródła napięciowego, jego zaciski zostały zwarte. Prądy i napięcia zostały oznaczone przez uzupełnienie przez dodanie do oznaczeń w obwodzie wyjściowym znaków „ ’’ ”. W obu analizowanych obwodach występuje tylko jedno źródło. Analizując obwód z rys.7.2 można zauważyć, że napięcie źródłowe E6 przyłożone jest do zacisków szeregowego połączenia R1 oraz R3. Prąd płynący przez to połączenie jest zatem równy: I 1′ = I ′3 =

E6 60 = = 4A R ! + R3 10 + 5

Podobnie jest z szeregowym połączeniem R4 oraz R5 choć kierunki napięcia źródłowego oraz prądów połączenia oporników są takie, że wartości prądów będą w tym przypadku ujemne.: I′4 = I′5 =

− E6 − 60 = = −2 A R 4 + R 5 20 + 10

Prąd źródła napięciowego można wyznaczyć prądowego prawa Kirchhoffa: I 6′ = I 5′ − I ′3 = − 2 − 4 = −6A

Napięcie na źródle prądowym wyznacza się z napięciowego prawa Kirchhoffa: U ′J = I 5′R 5 + I 3′ R 3 = − 2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 5 = 0

Analizując obwód z rys.7.3 można zauważyć, że źródło prądowe dołączone jest do szeregowego połączenia dwóch grup połączonych równolegle rezystorów – rys.7.4.

R4

I4’’

I5’’ R5 UJ’’

J2

I3’’

R3

R1

I1’’

Rys.7.4 Zgodnie z zależnościami wyznaczającymi rozpływ prądów w dzielniku prądowym w obwodzie z rys.7.4 prądy płynące przez poszczególne rezystory są równe: I1′′ = J 2