Officiele tekst van een werkstuk over het getal pi PDF

Preview

Summary

Officiele tekst van een werkstuk over het getal pi...

Description

Wat is pi? Pi is het getal dat we krijgen wanneer de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel. De definitie klinkt misschien wat raar, maar als we dit in een formule gieten, zullen jullie het beter begrijpen. Omtrek= π• d of omtrek = π• 2r Het klinkt allemaal heel simpel en dat is het ook. We bekeken eerst de persoon die dit getal als eerste heeft ontdekt en we probeerde hem te overtreffen. Daarna bekijken we ook nog de persoon die het wereldrecord op zijn naam heeft staan voor het berekenen van het meest aantal getallen na de komma. We zeggen ook nog iets wat voor getal pi eigenlijk is

transcendent-irrationaal We beginnen hier direct mee. Wat is pi eigenlijk en tot welke verzameling behoort dit wonderbaarlijk getal? Als we pi zeggen dan denken we direct aan het getal dat begint met 3,14 en zo oneindig doorgaat, hier zit ook geen regelmaat in. Uit de wiskunde hebben we geleerd dat een irrationaal getal een reëel getal is dat niet te schrijven is als het quotiënt van twee gehele getallen. Om dat te verklaren maak ik gebruik van een voorbeeld. Het beste voorbeeld dat jullie allemaal wel kennen van een irrationeel getal is sqrt(2). “Om in te zien dat het irrationaal is, gaan we kijken naar wat voor vreemde dingen er gebeuren als 2 rationeel zou zijn. Neem dus even aan dat i waarin p,q positieve gehele getallen zijn. We mogen aannemen dat de breuk pla vereenvoudigd is, dat wil zeggen, p en q bevatten geen gemeenschappelijke delers. Vermenigvuldig de gelijkheid 2 = . met q en kwadrateer aan beide zijden. We krijgen, 2q2 = p2. Links staat een even getal. Dus moet de rechterkant, in het bijzonder p, ook even zijn. Maar als p even is, dan is p2 deelbaar door 4. En daarmee is 2q2 ook deelbaar door 4. Maar dat kan alleen als q ook even is. Nu hebben we een probleem, p en q zijn even, terwijl p en q geen gemeenschappelijke factoren mogen hebben. Dit is wat we noemen een tegenspraak. Deze wordt veroorzaakt door het feit dat 𝑝 we de aanname 2 = 𝑞 hebben gemaakt. Dit is niet houdbaar en we we moeten concluderen dat 2 niet rationeel kan zijn” (Beukers & Reus, 2002, pp. 46–47) Dus we kunnen concluderen en bewijzen dat pi irrationaal is. Maar pi is niet alleen irrationaal, het is ook transcendent. Wat is een transcendent getal eigenlijk? Een transcendent getal heeft oneindig veel cijfers achter de komma, en er ontstaat daarbij nooit een patroon dat zich herhaalt. Het bekendste transcendent getal is π. Een ander beroemd transcendent getal is e. Dit getal heb je nodig als je wilt berekenen hoe bacteriën zich vermenigvuldigen, of als je wilt weten hoe radioactieve straling afneemt. De waarde is e = 2,7182… Transcendente getallen kun je berekenen met oneindige reeksen. Hoe langer je rekent, hoe nauwkeuriger het getal wordt, en daar kun je eeuwig mee door gaan ... Het aantal transcendente getallen is overaftelbaar oneindig, wat betekent dat er meer transcendente getallen zijn dan gehele getallen. Als we dus deze twee verzamelingen bekijken kunnen we concluderen dat Pi element is van beide verzamelingen. We zouden dit ook nog kunnen bewijzen, maar dat doen we niet. We kijken liever hoe pi ontstaan is.

Archimedes Waar is het allemaal mee begonnen? Archimedes van Syracuse, hij is de eerste persoon die pi heeft ontdekt. Hij is geboren in Syracuse, 287 v.Chr. en gestorven in aldaar, 212 v.Chr. Archimedes wordt beschouwd als de grootste wiskundige van de oudheid. Buiten wiskundige was hij ook nog natuurkundige, ingenieur, uitvinder en sterrenkundige. Archimedes heeft veel betekend voor de wiskunde, Hij heeft veel onderzocht en is veel te weten gekomen zoals: ➢ Bepaling van oppervlakten en volumes van diverse meetkundige figuren ➢ Axioma van Archimedes: ➢ de Archimedische cirkel ➢ de Archimedes-spiraal ➢ De verklaring voor de werking van de hefboom ➢ Wet van Archimedes: ➢ De schroef van Archimedes ➢ Zonnespiegel ➢ De verbetering van de katapult Om pi te berekenen, gebruikte Archimedes een cirkel met diameter 1. Het belangrijke gevolg hiervan is dat de cirkel een omtrek heeft die exactpi bedraagt. Als we dan een ingeschreven en een omgeschreven veelhoek nemen aan deze cirkel en daarvan de omtrek telkens berekenen komen we op een steeds betere afronding naarmate we het aantal hoeken vergroten. Archimedes berekende dit voor een veelhoek met 96 zijden. Hier kwam hij op een benadering van: 22/7 > π > 223/71. Als je deze breuken uitrekent kom je op respectievelijk 3,142857143 en 3,14084507. Je ziet dat deze benadering verre van nauwkeurig is. Wij berekende dan maar de omtrek van de omgeschreven en ingeschreven honderd hoek om zo Archimedes te overtreffen en om ook een betere benadering van pi te kunnen voorleggen aan jullie. De diameter van de cirkel is nog altijd gelijk aan 1 waardoor de omtrek pi bedraagt. We delen dan 360° door 200 omdat we we een de rechte hoek, zoals hiernaast getekend 200 keer in de honderd hoek past. Om de zijde [AB] te berekenen, doen we:

Om een afronding van pi te verkrijgen moeten we deze oplossing nog vermenigvuldigen met 200, dan krijgen we: 3,141075908 Voor de omgeschreven cirkel doen we net hetzelfde alleen rekenen we niet met sinus maar met tangens. We krijgen dan: 3,142626604

Zo, wij hebben Archimedes dus overtroffen.

Emma Haruka Iwao Emma Haruka Iwao is een Japanse informatica die bij het bedrijf Google werkt. Ze had een nieuwe uitdaging en besloot zo nauwkeurig mogelijk het getal pi te berekenen. Ze gebruikte daarbij de cloud-technologie en enkele ingewikkelde software programmes. De japanner maakte gebruik van 24 virtual machines of simpelweg gezegd gewoon 24 computers. Als deze computers zenden hun data en berekeningen door naar 1 computer. Emma werkte ook veel sneller dan de vorige recordhouder. Dit deed ze door gebruik te maken van de cloud-technologie. Cloud-computing is het via een netwerk – vaak het internet – op aanvraag beschikbaar stellen van hardware, software en gegevens, ongeveer zoals elektriciteit uit het lichtnet. (Wikipedia-bijdragers, 2019c). Door hiervan gebruik te maken werkte ze dus veel sneller als haar voorganger. Alle software stond online waardoor de tijd om de computer op te starten slechts 2 à 3 minuten duurde. De software die ze gebruikte heette de y-cruncher.

Interessante weetjes Het ultieme pi-moment was op 14 maart 1592 om 6:53 en 58 seconden, omdat dit 3/14/1592 6:53:58 in de Amerikaanse schrijfwijze is. Dit komt overeen met de eerste 12 cijfers van pi (3,14159265358). 14 maart is de geboortedag van Albert Einstein. Hij bedacht een theorie over rivieren waarin het getal pi een centrale rol speelt. Een rivier maakt vanzelf steeds meer bochten. Dat komt doordat het water in een rivier het snelste stroomt in een bocht. Daardoor brokkelt de kant daar af, waardoor er een nog scherpere bocht ontstaat. Waardoor het water nog sneller gaat stromen enzovoort. Op een gegeven moment snijdt de rivier zichzelf dan weer, en dan kiest het water de kortste – rechtse – weg. De rivier wordt een stukje rechter en de lus komt helemaal los te liggen van de rivier. Deze twee tegengestelde krachten: krommer worden en rechter worden van de rivier geven samen de verhouding pi.

Tegenstander Fysicus Michael Hartl wil pi afschaffen. Hij heeft opgemerkt dat in de meeste formules met pi niet gewoon pi staat maar twee maal pi. 6,2831853… Het zou dus volgens Hartl veel praktischer zijn om dát getal als onze constante te beschouwen, zodat we niet telkens die ‘2’ ervoor hoeven te schrijven. Hij stelt voor om die nieuwe constante, twee pi dus, tau te noemen (een andere Griekse letter die wel wat op pi lijkt, maar met een beetje minder). De omtrek van een cirkel is voortaan tau maal de straal. We zien dat er ook tegenstanders zijn van het getal pi. We wouden onze presentatie afsluiten met eigenlijk iets heel belangrijk wat we nog niet hebben verteld. Waarom heet pi eigenlijk pi. π is de kleine letter pi uit het Griekse alfabet. Dit is de afkorting van het Griekse woord περιφέρεια (periphereia = omtrek van een ronde vorm) Door sommigen wordt π als afkorting van het Griekse woord περίμετρον (perimetron = omtrek) gezien. We hopen dat alles duidelijk is en dat jullie het super interessant vonden. Wij vonden het alvast echt super leuk om te onderzoeken.

Bronnenlijst: ➢ A recipe for beating the record of most-calculated digits of pi. (2019, 14 maart). Geraadpleegd op 9 mei 2019, van https://www.blog.google/products/google-cloud/most-calculated-digits-pi/ ➢ Beukers, F., & Reus, C. (2002). Pi: de geschiedenis en de wiskunde van het getal [pi]. Utrecht, Nederland: Epsilon Uitgaven. ➢ Heylen, K. (2019, 14 maart). Nieuw wereldrecord voor pi: meer dan 31 biljoen cijfers berekend. Geraadpleegd op 9 mei 2019, van https://www.vrt.be/vrtnws/nl/2019/03/14/nieuw-wereldrecord-voor-pi-meer-dan-3 1-biljoen-cijfers-berekend/ ➢ Math Centre. (2014, 11 april). How did Archimedes Calculate Pi? [Video]. Geraadpleegd op 9 mei 2019, van https://www.youtube.com/watch?v=zUVx0TQaxME ➢ Standaard. (2011, 11 maart). 31,4 dingen die u moet weten over Pi. Geraadpleegd op 11 mei 2019, van http://www.standaard.be/cnt/dmf20110310_128 ➢ Wikipedia contributors. (2019, 7 mei). Emma Haruka Iwao. Geraadpleegd op 9 mei 2019, van https://en.wikipedia.org/wiki/Emma_Haruka_Iwao ➢ Wikipedia-bijdragers. (2019a, 28 februari). Transcendent getal. Geraadpleegd op 9 mei 2019, van https://nl.wikipedia.org/wiki/Transcendent_getal ➢ Wikipedia-bijdragers. (2019b, 28 april). Archimedes. Geraadpleegd op 9 mei 2019, van https://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes ➢ Wikipedia-bijdragers. (2019c, 11 mei). Cloud computing. Geraadpleegd op 12 mei 2019, van https://nl.wikipedia.org/wiki/Cloud_computing...