Werkstuk \"Ontwerp van een 3de orde actief laagdoorlaatfilter\" - cijfer 6 PDF

Preview

Summary

Ontwerp van een 3de orde actief laagdoorlaatfilter...

Description

Ontwerp van een 3de orde actief laagdoorlaatfilter

Jens Mertens en Jens Kusters

1. Opgave 1 a. Gegevens � n = 2�. 107 � v0 = 10 � =3 �� � = 4 �� = 0.631

b. Transfertfunctie Butterworth: Wanneer we voor een derde orde Butterworth de transfertfunctie berekenen vertrekken we van de volgende formule. (p+1).(p²+p+1) Hieruit volgt de deze functie.

TF = �v0 .

Nu vervangen we p door

1 1 . p+1 p ²+ p+1

p dan volgt: ωn

TF = Av0 .

TF = Av0 .

1

1

p +1 ωn

( ωnp ) + ωnp +1

.

2

ω²n ωn . p+ωn p 2+ωn . p + ω ² n

Als we nu onze gegevens invullen in de vergelijking dan geeft dit: TF = 10 .

(2 π .10 7) ² 2 π . 107 . 2 7 7 p+2 π .107 p +2 π . 10 . p+(2 π . 10 ) ²

De algemene transfertfunctie van een derde orde filter. Av0 . Hieruit volgt dat 2� = 1 en dat

ω ²0 ω0 . p+ω 0 p 2+2 ζω 0. p+ ω ²0 ω 0 = ωn .

Chebyshev: Als we de transfertfunctie van een derde orde Chebyshev filter willen kennen, moeten we eerst � bepalen. Deze parameter is afhankelijk van de toegelaten rimpel in de doorlaatband en is 4dB of 0,631. PWR =

�=

√(

1 √ 1+ ε ²

)

1 2 −1 = PWR

√(

)

1 2 −1 = 1.23 0.631

De polen van deze filter liggen op een ellips en kunnen we nu berekenen. Ze hebben de complexe vorm van : Pk = � k + j�k met k variërend van 1 tot 2N. �k = sinh(a)sin(

2 k +1 π¿ 2N

�k = cosh(a)cos(

2 k +1 π¿ 2N

Om deze formules op te lossen moeten we eerst a berekenen. a=

1 N

bgsinh(

1 ) = 0.2476 ε

Als we deze berekeningen allemaal uitvoeren bekomen we de polen van dit filter. P1 = -0.250 P2 = -0.125 – j0.893 P3 = -0.125 + j0.893

P4 = 0.250 P5 = 0.125 – j0.893 P6 = 0.125 + j0.893

P4,5,6 zijn niet van belang voor de transfertfunctie Deze wordt dan: TF = Av0 .

(− p 1)(− p 2)(− p 3) ( p− p 1)( p − p 2)( p − p 3)

Als we de polen invullen en uitwerken bekomen we: TF = Av0 .

0.2033 p +0.5 p +0.875 p+0.203 3

Vervolgens vervangen we hier ook p door

2

p en vullen we de gegeven �n en Av0 ωn

in. 22

TF = 10 .

5.04 .10 p3 +3.14 .107 p2 +3.45 .1015 p +5.04 . 1022

Hieruit kunnen we nu �0 en � berekenen. De �0 van het eerste orde gedeelte is verschillend van die van het tweede orde gedeelte. �0 = 1,57. 107 �²0 = 3,2. 1015 �0 = 5,66. 107

Eerste orde: Tweede orde:

1,57 . 107 2. 5,664 . 107 c. Polen en nulpunten �=

= 0.138

De polen van een Butterworth filter liggen op de eenheidscirkel vermenigvuldigd met �n en in het linkse deel van het complexe vlak. De polen kunnen we berekenen door de noemer van de transfertfunctie gelijk te stellen aan nul. 7 2 7 7 2 ( p+2 π . 10 )( p + 2 π .10 . p+ ( 2 π . 10 ) ) = 0 Dit geeft ons 3 resultaten voor p. P1 = -2 π

. 107

−π . 107 2 −π . 107 P3 = 2 P2 =

+

√ 3 π . 107

-

√ 3 π . 107

De polen van de Chebyshev filter hebben we hierboven reeds berekend. We hoeven nu enkel nog met deze waarde te vermenigvuldigen �n. De waarden die we uitkomen voor p liggen op een ellips in het linker deel van het complexe vlak. = -1,57 . 107 P1 = -0,250. 2 π . 107 P2 =( -0,125 – j0.893) . 2 π . 107 = -0,786. 107 – j5,61 . 107 P3 =( -0,125 + j0.893) . 2 π . 107 = -0,786. 107 + j5,61 . 107

d. Bodediagram De laagfrequent versterking van deze filters is telkens 20dB wat overeen komt met de opgegeven versterking van 10. Het – 3dB punt van de Butterworth filter ligt op de opgegeven frequentie �n = 2 π . 107 . Op dezelfde frequentie is de versterking van de Chebyshev filter al 4dB gedaald. Hierna zal de grafiek met een versterking van -60dB per decade dalen omdat er 3 polen zijn. We zien ook dat de grafiek van de Chebyhev filter vroeger begint te dalen. Voor de faseverschuiving zien we dat deze gaat van 0° tot -270°. Op frequentie �n = 2 π . 107 gedraagt de faseverschuiving bij de Butterworth filter -135° en die van de Chebyshev al -205° om dat de versterking vroeger begint te dalen .

e. Impulsrespons Als we de impulsrespons van beide filters bekijken stellen we twee zaken vast. Ten eerste zien we dat de piek van de Butterworth filter veel steiler en hoger is dan die van de Chebyshev. Ten tweede sterft de respons van de Butterworth filter sneller uit dan die van de Chebyshev.

f.

Staprespons Als we de beide stapresponsies bekijken van de filter merken we op dat deze van de Butterworth filter een grotere overshoot heeft dan die van de Chebyshev. Ook zien we dat de staprespons van de Chebyshev langer oscilleert rond de stabiele waarde.

g. Sallen-Key Voor het ontwerp van onze derde orde filter kiezen we er voor om deze op te splitsen in een eerste orde en een tweede orde deel. In de volgende schakeling is het eerste orde deel links en het tweed orde deel rechts.

Chebyshev: Ons leek het handig om de versterking te realiseren in het linker deel van de schakeling (de eerste trap). Daarom kiezen we er voor om in het rechter gedeelte de versterking gelijkte nemen aan 1. Dit kunnen we bekomen door R4 oneindig en R5 nul te maken. Om een versterking van 10 te krijgen moet er dus voldaan worden aan volgende vergelijking.

R 1+ R 2 = 10 R1 R2 = 9.R1 We kiezen voor R1 de waarde 100k en dus voor R2 900k. In het eerste orde gedeelte kiezen we voor C1 een waarde van 100pF. Hieruit kunnen we dan de waarde van R3 berekenen. �0 = 1/R3C

R3 =

1 1,572. 10 .100 . 10−12 7

= 636

Aangezien de versterking in de tweede trap gelijk is aan 1 stellen we R6 gelijk aan R7. Voor de waarde van de condensatoren in het tweede orde gedeelte kiezen we voor C2 de waarde 100pF. Vervolgens kunnen we hieruit de waarde van C3 berekenen. C2 = C/� C3 = �C = �²C2

Uit deze vergelijkingen volgt dan dat C3= 1.93 pF. Voor de weerstanden R6 en R7 kunnen we stellen dat hun waarden gelijk zijn. Deze kunnen we bereken al volgt:

�0 = 1/RC = 1/(RC2 �²) R7 = R6 =

1 1 = 7 ω0 C 2 5,664 .10 . 100 . 10−12

= 1.27K

Als we de schakeling willen realiseren met componenten uit de E12 reeks dan geeft ons dit de volgende schakeling.

Als we de schakeling willen realiseren met componenten uit de E96 reeks dan geeft ons dit de volgende schakeling.

We kunnen nu de transfertfunctie opstellen van beide E-reeksen en deze vergelijken met de ideale transfertfunctie.

Ideale:

5.04 .10 23 p +3.14 .10 p +3.45 .1015 p +5.04 . 1022

E12:

4,64 . 10 p3 +3.13 . 107 p 2+4,87.10 15 p+4,64. 1022

E96:

5.11 . 1023 p3 +3.15 . 107 p 2+3.49 . 1015 p+5.11 . 1022

3

7

2

23

We kunnen besluiten dat de gerealiseerde transfertfunctie een zeer kleine afwijking hebben met de ideale transfertfunctie.

h. Monte-Carlo analyse Als we een Monte-Carlo analyse uitvoeren zien we dat de componenten uit de E12 reeks een tolerantie hebben van 10%. Er zal dus een groter spreiding zijn van de polen. In de E96 is deze tolerantie maar 1% en dus zien we dat de polen dichter bijeen liggen dan bij de E12 reeks. Het verschil in spreiding is ook goed te zien in het bodediagram. We zien wel nog steeds dat beide karakteristieken overeenkomen met het bodediagram van de ideale filter. E12:

E96:

2.

2. Opgave 2 Omdat bij de eerste oefening een Type 1 filter gebruikt is maakt deze filter gebruik van een Type 2 Chebyshev filters. Type 2 Chebyshev filters zijn uiterst geschikt voor banddoorlaat filters. De rimpel bevindt zich in de sperbanden waardoor er weinig vervorming optreedt in de doorlaatband. Een vereiste is dat de kwaliteitsfactor Q van de filter groter is dan 5. De Q-factor van een banddoorlaat filter kan men verkrijgen met behulp van de formule:

Q=

f 0 centrumfrequentie [ Hz ] = >5 B bandbreedte[ Hz ] Men kan de bandbreedte en de centrumfrequentie bekomen m.b.v. de formules:

B=

W h−W L 2π

Fc =

√ W H∗W L 2π Men kan de kwaliteitsfactor Q verhogen door de bandbreedte kleiner te maken. De orde van de filter is vooral afhankelijk van de transitiebreedte en de attenuatie in de sperband. De rimpel in de doorlaatband speelt ook een kleine rol. Om de orde te verhogen kan men zowel de attenuatie in de sperbanden vergroten of de transitiebreedte verkleinen.

Transfertfunctie Een 6e orde Chebyshev filter is een product van 3 2e orde termen:

( )

2 K∗C ∗ p +A A ωH

( )

2

p p +B +C ωH ωH

Als transfertfunctie bekomen we een 6e-machts teller en noemer.

Men combineert dan een hoog- en laagdoorlaat Chebyshev filter om een bandpass filter te creëren. Doordat de filters achter elkaar geplaatst worden is de totale transfertfunctie het product van de transfertfuncties van de 2 filters. De totale transfertfunctie is dan opgebouwd uit een 12 e-macht teller en noemer.

Polen en Nulpunten

Men ziet hier de verschillende poolparen veroorzaakt door de verschillende 2 e-ordetermen van de filter. De poolparen die dicht bij elkaar liggen zijn de gespiegelde paren van de laag- en hoogdoorlaat filters waaruit de bandpassfilter is opgebouwd. De rechtse polen zijn de polen dicht bij de centrumfrequentie. Alle nulpunten van de filter liggen op de imaginaire as.

Bode Diagram

In het bode-diagram ziet men duidelijk de attenuatie van 100dB in de sperbanden. Een ander aspect van de Chebyshev filter is dat de versterking niet groter is dan 1 (of 0dB) dit is ook eenvoudig af te lezen op de grafiek. Men ziet ook duidelijk de extrema in de sperband. De grote hoeveelheid polen en nulpunten zorgen voor een grote faseverschuiving wat zichtbaar is in het fasediagram.

Impulsresponsie

Bij de impulsrespons ziet men 2 signalen met een hoge en een lagere frequenties op elkaar gesuperponeerd. Deze hoog en laagfrequente signalen behoren respectievelijk tot de laag- en hoogdoorlaat Chebyshev filters.

Stapresponsie

De stapresponsie loopt eventueel terug naar 0. Dit is natuurlijk omdat de filter een bandpassfilter is. Frequenties hoger en lager dan de doorlaatband worden uitgedoofd. Het signaal dat men ziet is vooral veroorzaakt door de frequenties veroorzaakt door de oneindig steile stap van 0 naar 1. Chebyshev filters hebben altijd een versterking lager dan 1 wat men duidelijk kan zien in de stapresponsie. De impulsresponsies van zowel een stap- als impulsfunctie lijken erg op elkaar. Een groot verschil is de maximale amplitude. Dit komt omdat een theoretische impuls oneindig groot is wanneer de breedte oneindig klein is. Daarom is de excitatie van de uitgang groter dan 1....