Paquete Geogebra - Universidad de la Fuerzas Armadas PDF

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Universidad de la Fuerzas Armadas...

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Paquete Geogebra Jos´e Boh´oquez, Jefferson Ordo˜nez Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Sangolqu´ı-Ecuador [email protected], [email protected] Resumen—En este documento se har´a una recopilaci´on de los comandos y botones mas relevantes al trabajar en geogebra, para despu´es ponerlas en conjunto a prueba al realizar un solido en revoluci´on tomado como funci´ on principal la funci´on trigonom´etrica seno. Siendo posible trabajar de forma plana y espacial al mismo tiempo, geogebra facilita de gran manera el trabajo en un ambiente gr´afico. Palabras clave - Geogebra, seno, funci´on Trigonom´etrica, ambiente

-2. g(x): la funci´on g(x) no es nada mas el cuadrado de la funci´on f(x) multiplicado por π . g(x) = π ∗ (f (x))2 = π ∗ sen2 (x)

(2)

-3. q(x): la funci´on q(x) es la integral de la funci´ on g(x), que posteriormente se la usara para graficar. Z x sen(2x) ) (3) q(x) = π ∗ sen2 (x)dx = π( − 2 4

Abstract—This paper will compile the most relevant commands and buttons to work in geogebra, then put them together to try to make a solid in revolution taken as main function sine trigonometric function. Being able to work flat and space while geogebra greatly facilitates the work in a graphical environment.

-B. Cuadr´aticas

Index Terms—Geogebra, breast, Trigonometric function, environment

Creara un cilindro con la singularidad que este esta en funci´on de f(x), esto quiere decir que la altura del cilindro viene dada por la curva sinusoidal.

´ I. I NTRODUCI ON ı a de aspectos en los que se desarrolla un En la mayor´ atica, se ve estudiante, sobre todo en la ciencia de la matem´ en la necesidad de utilizar software de ayuda que le permitan comprender conceptos complejos que se desarrollan en el proceso de aprendizaje. Uno de esos software de ayuda es Geogebra, el cual nos permite trabajar con la Geometr´ıa Anal´ıtica y plana, as´ı como el algebra ´ y el c´alculo. En este documento, se mostrar´ an conceptos b´asicos que ı como un proyecto permiten el manejo de Geogebra, as´ realizado para el correcto manejo del mismo.

Cilindro[(i, 0, 0), (i + e5, 0, 0), f(i)]

-C. Listas Secuencia[Lateral[Cilindro [(a + k e4, 0, 0),(a + (k + 1) e4, 0), f(a + k e4)]], k, 0, nb - 1] Establece una lista de objetos creados desde la dada y el ı´ndice k que var´ıa en el rango que va del a (nb-1). De esa manera creando una secuencia de

on expresi´ umero 0 n´ cilindros.

Secuencia[Fondo[Cilindro [(a + k e4, 0, 0), (a + (k + 1) e4, 0) , f(a + k e4)]], k, 0, nb - 1] De la misma forma que la anterior crea una secuencia de cilindros con las mismas especificaciones, usado para prevenir alg´un salto de objeto.

II. G EOGEBRA

atica que GeoGebra es un software interactivo de matem´ re´une din´amicamente geometr´ıa, a´ lgebra y c´alculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional -D. Numeros atica escolar. de desarrolladores, para la ense˜nanza de matem´ -1. a: ´ DEL S OLIDO ´ III. C ONSTRUCCI ON on con El s´olido a construir es la funci´ on seno en revoluci´ respecto al eje x.

a = 1/e + 4

Representa el limite superior de la integral -2. b: b = −2

-A. Funciones -1. f (x): la funci´on f(x) es la base para todo este desarrollo, Representa el limite inferior en la integral -3. Cilindros: de el partimos para la construcci´on de este s´ olido. cilindros = 30 f (x) = sen(x)

(1)

Es el numero de cilindros que representara el volumen.

(4)

(5)

(6)

-3. Dec: Suma[Secuencia [f(k)ˆ2, k, a, b-(b - a)/Cilindros, (b - a)/Cilindros]] pi (b - a)/Cilindros Es el volumen de los cilindros

-E. Textos Volumen que cuenta con //Cilindros//Cilindros //Si[Cilindros > 1, "s", ""]// : //dec// : afico y el Mostrara el numero de cilindros usados en el gr´ volumen generado por esos cilindros.

Fig 1. Superficie funci´on seno en el plano.

Volum´ en=\int_{//a//}ˆ{//b//}\pi [f(x)]ˆ2 dx= //Integral[pi* f(x)ˆ2, a, b]// \mbox { unidades de volumen} Mostrara la integral como tal, dando tambien el volumen generado en su barrido.

-F. Valores L´ogicos Los valores l´ogicos son los encargados de controlar todo el proceso de revoluci´on, siendo los limitadores de este proceso.

Fig 1.Panel de control.

´ IV. VISTAS M ULTIPLES

Fig 1. Solido de revoluci´ on funci´on seno.

GeoGebra ofrece cinco perspectivas diferentes de cada objeto matem´atico: Vista Gr´afica, Vista Gr´afica 2, Vista Gr´afica 3D, Hoja de C´alculo y adem´as, Vista Algebr´ aica. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matem´ aticos en afica (como en el caso de tres representaciones diferentes: gr´ puntos, gr´aficos de funciones), algebraica (como coordenadas alculo. de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de c´ A continuaci´on se muestran las vistas gr´aficas:

-A. Vista Algebr´aica ormulas Esta vista permite visualizar las funciones, f´ as de y objetos ccreados en nuestro documento, adem´ modificarlos. Es muy util ´ cuando se desea modificar un objeto y se tienen varios, debido a que los organiza por tipo y en orden de creaci´ on. Fig 1. Superficie de revoluci´ on funci´on seno.

Fig. 3 Vista Gr´afica

-D. Vista Gr a´ fica2 Esta gr´afica permite visualizar lo mismo que la Vista Gr´afica, la diferencia es que se puede escribir cualquier comentario y no se visualizar´ a, debido a que esta vista sirve para eso.

Fig. 1 Vista Algebr´aica

-B. Vista Hoja de C´alculo Esta vista permite visualizar los calculos realizados en una funci´on para que se pueda mostrar la gr´ afica. Es util ´ sobre aficas a partir de tablas de todo cuando se desea generar gr´ datos.

Fig. 4 Vista Gr´afica2

-E. Vista Gr a´ fica 3D En esta vista gr´afica es posible visualizar objetos en tercera nadida recientemente y esta dimensi´on, esta utilidad fue a˜ on para la tomando lugar en los usuarios debido a su aplicaci´ atica. comprensi´on del C´alculo y otras ramas de la matem´

alculo Fig. 2 Vista Hoja de C´

-C. Vista Gr a´ fica

Fig. 5 Vista Gr´afica 3D

En esta vista se puede visualizar gr´aficas realizadas en ´ V. G EOGEBRA C OMO H ERRAMIENTA D E P RESENTACI ON dos dimensiones. En esta vista es tambi´en posible editar Geogebra presenta m´ultiples opciones adicionales para el caracter´ısticas de una o m´ as funciones. Es util ´ sobre todo on de gr´aficas y objetos. A continuaci´ por el hecho de la visualizaci´ on de la gr´ on afica, ya que es la manejo y presentaci´ utilidad m´as frecuente que se le da a Geogebra. se presentan los principales.

-A. Barra de Navegaci´on on del Esta barra permite recorrer los pasos de construcci´ u Vista, se debe seleccionar la boceto elaborado. En el men´ on. opci´on Barra de navegaci´on por Pasos de Construcci´ on presenta una botonera y expone el La barra ne navegaci´ on (por ejemplo., 2 / 7 significa numero ´ de Pasos de Construcci´ que estamos frente al segundo de un total de siete Pasos de Construcci´on).

Fig. 6 Barra de Navegaci´on

Fig. 8 Cambio de Opciones

VI. G EOGEBRA C OMO H ERRAMIENTA D E A UTOR -B. Protocolo de Construcci´on on Protocolo de la En el men´u Vista, se encuentra la opci´ Construcci´on, el cual da acceso a una tabla interactiva que on y permite rehacer el expone todos los Pasos de Construcci´ on boceto realizado, paso a paso usando la Barra de Navegaci´ alogo del Protocolo de que aparece al pie de la Caja de Di´ Construcci´on. Es posible intercalar cualquier paso entre los pasos ya realizados con esta opci´on, lo cual es muy u´ til si lo que se desea es modificar el proceso de alguna forma.

Geogebra permite realizar acciones que permiten visualizar el producto final de diversas maneras, esto es util ´ sobre todo para presentaci´on.

-A. Opciones de Impresi´on Lo m´as u´ til en este tipo de opciones es la impresi´ on de la vista gr´afica. Para imprimir la Vista Gr´afica de las construcciones, es conveniente recurrir en primer lugar,al ıtem ´ Previsualiza Impresi´on del men´ u Archivo. En la Ventana de Di´alogo de Previsualiza ıtulo?, Impresi´on, pueden anotarse datos correspondientes a ?T´ ?Autor´ıa?, y ?Fecha? de la construcci´ on. Adem´as, se puede on fijar la Escala de impresi´ on (en cm) y establecer la Orientaci´ on apaisada y del papel (horizontal si se desea una impresi´ vertical en caso contrario).

Fig. 7 Protocolo de Construcci´on

-C. Cambio de Opciones GeoGebra permite cambiar y guardar los ajustes preferidos u de Opciones. que se hubieran establecido en el men´ Por ejemplo, cambiar la Unidad Angular de ?Grados? no de Casilla a ?Radianes?, o el Estilo de Punto,, Tama˜ as, puede de Control, y Estilo del Angulo Recto. Adem´ on de las Coordenadas y cambiarse el estilo de la notaci´ decidir qu´e objetos se van a rotular o el Rotulado Se pueden guardar las opciones definidas, con el ıtem ´ Guardar Configuraci´ on del Men´u de Opciones para que GeoGebra establezca tales ajustes de uso en cada nuevo boceto creado y archivado. Fig. 9 Vista Previa

-B. Creando Im´agenes de la Vista Gr´ afica Esta opci´on es util ´ cuando se necesita un formato de salida especf´ıfico para la imagen a utilizarse. Antes de exportar la imagen, se debe acercar con zoom la imagen hasta que la parte que deseamos que se visualice este no de la ventana en la ventana, luego se debe reducir el tama˜ hasta que lo que necesitamos se vea y nada m´as. u archivo se puede Luego En la opci´on Exporta del men´ seleccionar la forma en la que se desea exportar la imagen.

Fig. 10 Opci´on Exportar

-C. Crear P´aginas Web Geogebra permite crear p´aginas web interactivas que contienen las funciones graficadas aginas web Para crear, a partir de archivos de GeoGebra, p´ interactivas, las as´ı llamadas Hojas Din´amicas, basta con agina Web seleccionar la opci´ on Hoja Din´amica como P´ (html) del ıtem ´ Exporta del men´u Archivo El archivo HTML exportado puede apreciarse con cualquier navegador de Internet

Cuando el rat´ on (o mouse) se desplaza sobre un objeto, este ´ on. se ilumina y se despliega un letrero rodante con su descripci´

-B. Herramientas de Construcci´on Las siguientes herramientas de construcci´on o modos, pueden activarse con un clic sobre los botones de la Barra de Herramientas. Un clic sobre la flechita del extremo inferior derecho del recuadro de cada icono representativo de una Caja de Herramientas, despliega lo que puede considerarse un men´u, del que se puede elegir una herramienta, de entre conjunto de varias, similares. -1. Seleccionando objetos: Cuando est´a active la herramienta Elige y Mueve, un clic sobre cualquier objeto, lo selecciona. Para seleccionar varios, se puede apelar al on, encuadrando, con Elige y Mueve, rect´angulo de selecci´ la zona en que se encontraran: en una posici´ on vac´ıa de la Vista Gr´afica, se determina el primer extremo con un clic on hasta soltarlo en que se sostiene mientras se arrastra el rat´ el v´ertice diagonalmente opuesto, para establecer el marco deseado. Al soltar el bot´on, todos los objetos dentro del recuadro quedan seleccionados, simult´ aneamente. -2. Renombrar objetos r´apidamente: Para renombrar en creado, basta r´apidamente un objeto seleccionado o reci´ a la caja de con apuntarlo y pulsar alguna letra: se abrir´ di´alogo de Renombra donde escribir el nuevo nombre, que on OK. quedar´a establecido con un clic sobre el bot´

-C. Herramientas Generales -1. Copia estilo visual: Esta herramienta permite copiar on, estilo lineal, las propiedades visuales (como color, dimensi´ etc.), desde un objeto a los de destino. En primer lugar, debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades desean copiarse. Luego, se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar dichas propiedades. -2. Borrar objeto: Cuando est´a activa esta herramienta, basta con un clic sobre cada uno de los objetos que se desee borrar (quedan eliminados, consecuentemente, todos los que en el derivan y dependen del que fue borrado). Ver tambi´ comando Borra.

Fig. 11 Exportar P´aginas Web Fig 1.Borrar Objetos.

VII. E NTRADA G EOMETRICA 2 D -A. Anotaciones Generales La Vista Gr´afica expone gr´aficamente la representaci´ on de objetos matem´aticos (como puntos, vectores, segmentos, pol´ıgonos, funciones, curvas, rectas y secciones c´ onicas).

-3. Elije y mueve: Este es el modo en que se pasa a arrastrar on o mouse. Basta seleccionar y soltar objetos libres con el rat´ un objeto con un clic, estando activo Elige y Mueve para poder... ... eliminarlo pulsando la tecla Del (o Delete)

on ... desplazarlo apelando a las teclas?flecha (ver secci´ Animaci´on Manual)

-10. Zoom de acercamiento: Con un clic sobre cualquier punto del area ´ gr´afica, esta herramienta produce un ”zoom”de ´ acercamiento (ver tambi´en Personalizar la Vista Grafica)

Fig 1.Elije y Mueve.

-4. Desplazar area ´ gr´afica: Con esta herramienta, se puede arrastrar y soltar la Vista Gr´afica para cambiar la zona visible de esa ´area.

Fig 1. Zoom acercamiento

-11. Zoom de alejamiento: Con un clic sobre cualquier punto del area ´ gr´afica, esta herramienta produce un ”zoom”de alejamiento respecto de la construcci´ on (ver tambi´en Personalizar la Vista Grafica). ´

Fig 1.Desplazar area gr´afica.

-5. Registra en hoja de c´ alculo: Vista de Hoja de C´alculo Fig 1. Zoom alejamiento umeros, puntos y vectores. Esta herramienta trabaja con n´ Esta herramienta permite que se registre, en la Vista de Hoja de C´alculo, la secuencia de valores que, a medida que se -D. Herramientas de Puntos umero, punto o vector) desplaza, toma un objeto (n´ -1. Intersecci´on de dos objetos: Los puntos de intersecci´on de los dos objetos pueden producirse de dos maneras (ver -6. Relaci´on: Herramienta que permite seleccionar don tambi´en comando Interseca) a saber... ...seleccionando dos objetos, se crean todos los puntos objetos para obtener, desplegada en una ventana emergente, de intersecci´on (si los hubiese/ fuesen posibles). on que pudiera vincularlos (ver informaci´ on sobre la relaci´ ...con un clic directo sobre la intersecci´ on). on de los dos tambi´en el comando Relaci´ objetos: s´olo se crea este unico ´ punto de intersecci´ on

Fig 1.Relaci´on.

-7. Rota en torno a un punto: Despu´es de seleccionar el punto que har´a las veces de centro, pueden rotarse a su alrededor, los objetos libres que se elijan, simplemente arrastr´andolos con el rat´ on o mouse. (ver tambi´en el comando Rota).

Fig 1. Intersecci´on de dos objetos

-2. Punto medio o centro: Un clic sobre... ...dos puntos o un segmento, permite obtener su punto medio. ...una circunferencia o secci´ on c´onica (circunferencia o elipse) su punto centro

Fig 1. Punto medio Fig 1.Rota en torno a un punto.

-8. Expone oculta r´otulo: Al hacer clic sobre un objeto, su se expone u oculta alternativamente. rotulo ´

Fig 1. Expone lo oculto r´otulo

-3. Nuevo punto: Con un clic sobre la Vista Grafica ´ se crea un nuevo punto. Sus coordenadas quedan establecidas al soltar el bot´on de rat´on o mouse nuevamente.

Fig 1. Nuevo punto

-9. Expone oculta objeto: Tras activar esta herramienta, -D. Herramientas de Vectores basta seleccionar el objeto que se desee exponer o ocular y -1. Vector entre dos puntos: Basta con seleccionar el an los cambios en su punto de inicio y el de aplicaci´ al pasar a otra herramienta, se aplicar´ on del vector (ver tambi´ en el estado de visibilidad. comando Vector).

Fig 1. Expone lo oculto objeto

Fig 1. Vector entre dos puntos

-2. Vector desde un punto: Al seleccionar un punto A y un vector v, se crea un nuevo punto B = A + v as´ı como el vector de A a B (ver tambi´en el comando Vector).

Fig 1. Pol´ıgono regular

Fig 1. Vector desde un punto

-H. Recta y sus herramientas en el -1. Bisectriz: La bisectriz de un a´ ngulo (ver tambi´ comando Bisectriz), puede definirse de dos maneras

-E. Herramientas de Segmento -1. Segmento entre dos puntos: Al seleccionar dos puntos en el A y B, se establece un segmento entre A y B (ver tambi´ comando Segmento).

Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ´angulo determinado por A, B y C, con B como v´ertice. Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ´angulos.

Fig 1. Bisectriz Fig 1. Segmento entre dos puntos

en el comando -2. Ajuste lineal: Esta herramienta (ver tambi´ -2. Segmento dados punto extremo y longitud: Basta con un Ajuste Lineal), traza la recta que mejor se ajusta a un conjunto clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos de puntos, establecido de uno de estos modos: del segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana Trazar la Selecci´on Rectangular que enmarca a todos los on, para que quede trazado (ver que se despliega a continuaci´ puntos. tambi´en el comando Segmento).. Seleccionar la lista de puntos cuyo mejor ajuste lineal se desea

Fig 1. Segmento dado punto extremo y longitud

-F. Semirrecta -1. Semirrecta que pasa por dos puntos: Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y en el comando Semirrecta). cruza B. (Ver tambi´

Fig 1. Ajuste Lineal

-3. recta que pasa por dos puntos: Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que fija en el comando la direcci´on de la recta es (B ? A). (Ver tambi´ Recta).

Fig 1. Recta que pasa por dos puntos Fig 1. Semirrecta que pasa por dos punto

-G. Pol´ıgonos -1. Pol´ıgono: Para trazar un pol´ıgono y que su area ´ quede expuesta en la Vista Algebraica, basta con marcar al menos tres puntos que constituir´an sus v´ertices y, con un clic en el reiterado sobre el primero de ellos, cerrarlo. (Ver tambi´ comando Pol´ıgono)

-4. Recta paralela: Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g. (Ver tambi´en el comando Recta).

Fig 1. Recta paralela

-5. Mediatriz: La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos A y B extremos.

Fig 1. Pol´ıgono Fig 1. Mediatriz

-2. Pol´ıgono regular: Al marcar dos puntos, A y B y alogo -6. Recta perpendicular: Al seleccionar una recta g anotar un n´ umero n en el campo de texto la caja de di´ emergente, se traza un pol´ ıgono regular con n v´ertices, y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y incluyendo A y B. (Ver tambi´ es perpendicular a g. (Ver tambi´ en el comando Pol´ıgono) en el comando Perpendicular).

Fig 1. Recta perpendicular

-7. Recta polar o diametral: Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una secci´ on c´onica de dos posibles maneras; seleccionando... ... un punto y una secci´on c´onica. ...una recta o vector y una secci´ on c´onica para fijar su di´ametro.

-4. Comp´as: Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la circunferencia a trazar. (Ver tambi´en el comando Circunferencia).

Fig 1. Comp´as

-5. C´onica dado cinco de sus puntos: Al seleccionar cinco puntos, queda definida una secci´ on c´onica que pasa por ellos. onica). (Ver tambi´en el comando C´

Fig 1. Recta polar o diametral

-8. Tangentes: Las tangentes a una c´onica pueden determinarse de dos maneras:

onica dado cinco de sus puntos Fig 1. C´

Al seleccionar un punto A y una c´onica c se producen -6. Elipse: La elipse se trazar´a al seleccionar sus dos focos todas las tangentes a c que pasan por A. en el en primer lugar y luego, uno de sus puntos.(Ver tambi´ onica c...