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Cátedra Matemática IIInstituto de Ingeniería y AgronomíaResolución Segundo ParcialPrimer cuatrimestre 2019Fecha:EJERCICIO 1:a) Una esfera sólida de radio 푅= 2, es perforada por un cilindro circular de radio 푟= 2 , cuyo eje coincide con uno de los diámetros de la esfera. Calcular el volumen del mater...

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Cátedra Matemática II Instituto de Ingeniería y Agronomía

Resolución Segundo Parcial Primer cuatrimestre 2019 Fecha:

Alumno:__________________________________________________Comisión: 5.

Docente:

EJERCICIO 1:

a) Una esfera sólida de radio 𝑅 = 2, es perforada por un cilindro circular de radio 𝑟 = 2, cuyo eje coincide con uno de los diámetros de la esfera. Calcular el volumen del material desalojado al perforarla. b) Graficar la región del plano limitada por las curvas 𝒚 = 𝒙 + 𝟑 Utilice integrales dobles para calcular su área.

𝒚 = 𝒙 + 𝟏.

a) La ecuación de una esfera de r=2 es: x 2 + y2 + z2 = 4 El cilindro circular tiene como ecuación: x 2 + y 2 = 2 La proyección en el plano (x, y):

Observando la vista 3 D y la proyección en el plano xy, debemos calcular el volumen del “tubo” formado en la esfera al retirar el material. El volumen será el producto de la superficie de la base (proyección en el plano xy) por la altura de ese “tubo” que tendrá como piso −4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y como techo al mismo valor , pero positivo, que son los valores etre los que “z” varía. Respecto a la base, tomamos a 𝑦(𝑥) = 2 − 𝑥 2 Usaremos integrales triples para este cálculo 𝑉=

2

2−𝑥 2

−2 −2−𝑥 2

4−𝑥 2 −𝑦 2

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =

−4−𝑥 2 −𝑦 2

2

2. 4 − 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥

2−𝑥 2

−2 −2−𝑥 2

Cambiamos a coordenadas polares para facilitar su solución. 𝑉=

2𝜋 0

2. 4 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 0 2

Para integrar respecto al radio (r), hacemos sustitución simple: 𝑢 = 4 − 𝑟2 𝑑𝑢 = −2𝑟𝑑𝑟 Entonces queda:

𝑉=

𝑢 1/2 𝑑𝑢 ]𝑑𝜃 = 0 2

2𝜋 [− 0

𝑉=

2 3

2𝜋2

[−0

. 4 − 𝑟2 3

−8 + 8𝑑𝜃 =

2𝜋

2

3 2

0

2 3

0

] 𝑑𝜃 = 3 2

2𝜋 [−(4 0

. 2𝜋−8 + 8 =

𝟒

− 2)3/2 + (4 − 0)3/2 ]𝑑𝜃 𝟑

𝝅(𝟖 − 𝟖)

b)

Vamos a integrar en dirección de “x”, como indica la flecha: por lo tanto las curvas serán en función de “y”. 𝑥 = 𝑦2 − 3 𝑥 =𝑦−1 Así, el cálculo del área utilizando integrales dobles, quedará: 𝐴=

𝑦−1

𝑑𝑥𝑑𝑦

2

−1 𝑦 2 −3

𝐴 = (−

𝑦3 3

+

𝑦2 2

𝑦−1 𝑑𝑦 = (𝑦 − 1 − 𝑦 2 + 3)𝑑𝑦 = = 𝑥 𝑦 2 −3 2

+ 2𝑦)

2

2

−1

−1

−1

=−

8 3

+2+4−

+ −2=− 2 1

1 3

8

(−𝑦2 + 𝑦 + 2)𝑑𝑦 = 2

−1

+ 2 + 4 − 3 − 2 + 2 = 𝟒. 𝟓 Unid. Sup. 1

3

1

EJERCICIO 2: Encontrar la ecuación de la función polinómica de 2° grado, que cumple con lo siguiente:

𝑓 1 = 4; 𝑓2 = 4; 𝑓3 = 0 Resuelva utilizando el método de Gauss-Jordan, indicando el rango y tipo de compatibilidad. Una ecuación de la función polinómica de 2° grado, es de la forma: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Por lo tanto para: x=1 esta función vale 4, para x=2, vale 4 y para x=3, vale 0. Entonces, armamos las ecuaciones pertinentes bajo el siguiente sistema 𝑎+𝑏+𝑐 = 4 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 4 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 Pasamos el sistema a la notación matricial, empleando la matriz aumentada 𝑥1 = 𝑎 𝑥 Llamaremos a 2 = 𝑏 𝑥3 = 𝑐 Así, desarrollando por Gauss- Jordan nos queda:

*

En el paso indicado con (*), estamos en condiciones de saber el rango de la matriz de coeficientes, el de la matriz aumentada y por ende la compatibilidad del sistema, lo que me permitirá seguir o no calculando. Para este caso el 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝐴𝑏 = 3. 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜. 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 , 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑣𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 1. 9 −4 −14 𝐴 = −4 3 8 6 −3 −10

EJERCICIO 3: Sea la matriz:

a) ¿Tiene inversa? Justifique la respuesta Calculamos usando la regla de Sarrus, el determinante de A, para saber si la matriz tiene inversa o no. 9 −4 −14 −4 3 8 6 −3 −10 9 −4 −14 8 −4 3

=

Como es distinto de 0, tiene inversa.

b) Si tiene inversa, calcularla y comprobar el resultado Para calcular la inversa de A, usamos la notación matricial, aumentando con la matriz identidad:

𝐴−1

Verificamos, haciendo:

3 −1 −5 −4 3 8 = 3 −3/2 −11/2

𝐴. 𝐴−1 = 𝐼, 𝑠𝑖 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑜, 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜, 𝑠𝑖 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠𝑎𝑟.

Vemos que da (verifiquen), por lo tanto estuvo bien calculada EJERCICIO 4: Respecto de la matriz del ejercicio anterior: Demuestre si los vectores columna son o no una base del espacio 𝑅 3 . Para ser una base de R3, los vectores deben ser linealmente independientes y además su combinación lineal debe cubrir todo ese espacio. La primera condición se cumple, puesto que ya sabemos que su determinante es distinto de 0. O sea sus vectores columnas son L.I. Veamos la segunda condición: 𝑣1 9 −4 −14 𝑣2 3 + −4 + 8 = 𝑣3 −10 6 −3 𝑣1 9 −4 −14 𝑣1 9 −4 −14 9 ∗ 𝑣 −4 3 8 𝑣2 𝒇 𝟐 ∗ 𝟗 + 𝒇 𝟏 ∗ 𝟒 0 11 30 2 + 4 ∗ 𝑣1 𝑣 𝑣3 6 −3 −10 6 −3 −10 3

𝑣1 9 −4 −14 9 ∗ 𝑣 𝒇𝟑 ∗ 𝟗 − 𝒇𝟏 ∗ 𝟔 0 11 30 2 + 4 ∗ 𝑣1 𝒇𝟑 ∗ 𝟏𝟏 + 𝒇𝟐 ∗ 𝟑 9 ∗ 𝑣 0 −3 −6 3 − 6 ∗ 𝑣1

𝑣1 9 −4 −14 9 ∗ 𝑣2 + 4 ∗ 𝑣1 0 11 30 0 0 24 (9 ∗ 𝑣3 − 6 ∗ 𝑣1) ∗ 11 − 3 ∗ (9 ∗ 𝑣2 + 4 ∗ 𝑣1 )

La matriz escalonada, no permite asegurar que el rango de la matriz de los vectores columnas es igual a la de la matriz aumentada y es igual al número de filas (incógnitas en este caso), por lo que el sistema no es otra cosa que C. Determinado y eso garantiza que se cubre todo el espacio vectorial R3 con esta combinación lineal. EJERCICIO 5: 2 ¿El vector 𝑤 = 0; es un autovector de la matriz A del ejercicio 3? ¿Para qué autovalor? 1 Para que sea un autovector, el resultado de multiplicar 𝐴. 𝑤 = 𝜆𝑤 , donde lambda es un escalar.

autovalor asociado.

Vemos que sí, ya que el resultado es un mútiplo de 𝑤 𝑦 λ = 2, es el

¿Cuáles serían los demás autovalores y autovectores? Para esto, buscaremos la función polinómica de λ . Aplicaremos: 9

λ 0 0 −4 −14 −4 3 8 − 0 λ 0=0 6 −3 −10 0 0 λ

9−λ −4 6

−4 −14 =0= 3−λ 8 −3 −10 − λ

det𝐴 − λ𝐼 = 0

=0

A esta ecuación se llega aplicando Sarrus. Vemos que es un polinomio de tercer grado, pero del cuál ya tenemos una raíz, que es el autovalor hallado al principio λ=2 Por lo tanto, las otras dos raíces (que serán los dos autovalores que me faltan) las voy a obtener, aplicando a este polinomio de tercer grado, la regla de Ruffini.

Por lo tanto, ahora queda formado el siguiente polinomio de segundo grado, del cual podemos obtener sus raíces por los métodos conocidos.

−λ2 + 1 = 0 ⇒ λ = ±1 Entonces ya tenemos los tres λ y podemos calcular los autovectores asociados. Solamente vamos a hacerlo para λ=1 y para λ=-1, porque ya tenemos que para λ=2 el autovector es El cálculo de los autovectores saldrá de resolver el siguiente esquema matricial 𝐴 − λI. x

=0

λ=1 9 −4−4 3 −148

−

1 00 10 0

−3 −10 ∗ 0 8 −4 −14 0 0 1 −4 2 8 𝑥1 𝑥2 = 0 𝑥3 0 ∗ −3 −−11 14𝑥 = 0 8𝑥6 − 4𝑥 6

𝑥1

𝑥2 𝑥3

0 0 = 0

−4𝑥1 + 2𝑥2 + 8𝑥3 = 0 6𝑥1 − 3𝑥2 − 11𝑥3 = 0 1

2

3

Aplicamos Gauss para resolver:

8 −4 −14 0 8 −4 −14 0 8 −4 −14 0 ∗ 8 − 𝑓 ∗ 6 −4 2 8 0 𝑓2 ∗ 2 + 𝑓1 𝑓 0 0 30 0 0 0 30 0 3 1 0 0 −4 0 6 −3 −11 0 6 −3 −11 0

De acá surge que 𝑥3 = 0

El sistema equivalente que quedará será: 8𝑥1 − 4𝑥2 − 14𝑥3 = 0 pero como 𝑥3 = 0

Nos queda: 8𝑥1 − 4𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 2 𝑥2 Si le hacemos 𝑥2 = 2 ⇒ 𝑥1 = 1 1 El segundo autovector será: 2 0 Ahora tomemos 1

λ=-1 9

𝑥1 0 −4 −14 −1 0 0 𝑥 = ∗ − 2 0 −4 3 8 0 −1 0 𝑥3 6 −3 −10 0 0 −1 0

𝑥1 0 10 −4 −14 −4 4 8 ∗ 𝑥2 = 0 𝑥3 6 −3 −9 0

10𝑥1 − 4𝑥2 − 14𝑥3 = 0 −4𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 = 0 6𝑥1 − 3𝑥2 − 9𝑥3 = 0

Aplicamos Gauss para resolver:

10 −4 −14 0 10 −4 −14 0 10 −4 −14 0 0 12 12 0 𝑓3 ∗ 4 + 𝑓2 0 12 12 0 𝑓3 ∗ 5 − 𝑓1 ∗ 3 −4 4 8 0 𝑓2 ∗ 5 + 𝑓1 ∗ 2 0 −3 −3 0 6 −3 −9 0 6 −3 −9 0

10 −4 −14 0 0 12 12 0 0 0 0 0

El sistema equivalente quedará:

10𝑥1 − 4𝑥2 − 14𝑥3 = 0 12𝑥2 + 12𝑥3 = 0 Despejando en la segunda de este sistema nos queda que:

Reemplazando en la primera de este último sistema: 𝑥 2 = −𝑥3

10𝑥1 − 4𝑥2 − 14−𝑥2 = 0 ⇒ 10𝑥1 + 10𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = −𝑥2 Si le damos valor 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥1 = −1 𝑦 𝑥3 = −1 Por lo que el tercer y último autovector será:

−1 1 −1...