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Comenzado el Estado Finalizado en Tiempo empleado Puntos Calificación Pregunta 1

211_75_558 : Análisis matemático

RESOLUCIÓN DE LAS PECs

sábado, 8 de enero de 2022, 10:57 Finalizado sábado, 8 de enero de 2022, 13:24 2 horas 27 minutos 50,00/60,00 8,33 de 10,00 (83%)

Considerar la función

definida por

Incorrecta Se puntúa 0,00 sobre 10,00

donde

y

son dos parámetros.

Calcular los valores de los parámetros el punto . [5 puntos]

= 0

[5 puntos]

= -1

y

que hacen que la función sea continua en

FORMATO DE LA RESPUESTA: Escribir los valores exactos en formato fraccionario. Por ejemplo, 3/4.

En este caso tenemos que: = = f(

)=

Por lo tanto, los valores de los parámetros continua en el punto x= son tales que =

=

con lo que

=

y

=

.

y

que hacen que la función sea

Pregunta 2 Correcta

[10 puntos] Dar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto

Se puntúa 10,00

FORMATO DE RESPUESTA: Escribir la ecuación de la recta en cualquier formato.

sobre 10,00

Ejemplos:

,

,

Respuesta:

y = − 4 + 7(x − 1)

Recordar que la pendiente de la recta tangente en la función en el punto: . Así la ecuación de la recta tangente pasa por el punto es decir, la recta de ecuación

viene dada por la derivada de y tiene pendiente

,

. La respuesta correcta es:

Pregunta 3

[10 puntos] Calcular el polinomio de McLaurin de orden

Correcta Se puntúa 10,00 sobre 10,00

de la función

.

FORMATO DE RESPUESTA: No hace falta simplificar el polinomio. Usar el editor para escribir los coeficientes de forma exacta. Respuesta:

El polinomio de McLaurin de orden de una función

 es: .

En este caso, calculando las derivadas hasta orden , evaluándolas en substituyendo, obtenemos:

La respuesta correcta es:

y

Pregunta 4

[10 puntos]Calcular

Correcta

.

Se puntúa 10,00 sobre 10,00

Indicación: para calcular una primitiva de la función se puede usar el cambio de variable

.

FORMATO DE LA RESPUESTA: Escribir el valor de la integral en forma decimal con al menos 3 decimales. Por ejemplo, si la solución es

, se puede escribir 3.91114542.

Respuesta:

0.85471

Primero tenemos que darnos cuenta de que nos piden que calculemos una integral impropia de primera especie, ya que la función es acotada en (el denominador nunca se anula) pero el límite inferior de la integral es infinito. Antes de calcular la integral impropia, vamos a calcular una primitiva de la función , usando el cambio de variable

que nos proponen.

En este caso tenemos que . Por lo tanto:

. Para acabar de calcular la primitiva, tenemos que resolver la integral anterior. Como el denominador de la función anterior es un polinomio irreductible, y el grado del numerador es inferior al grado del denominador, ya tenemos la función descompuesta en fracciones simples. Por lo tanto tendremos:

. Finalmente, la primitiva la encontramos deshaciendo el cambio de variable: 

.

Una vez calculada una primitiva, tenemos que calcular la integral impropia:

donde hemos usado que

y que

.

La respuesta correcta es:

Pregunta 5

Se quiere calcular el área comprendida entre la

Correcta

curva

y la recta

Se puntúa 10,00

como suma de dos integrales:

sobre 10,00

 con .

[1+1+1+1+1 puntos] (a) y y las funciones y que nos permiten calcular el valor del área.

Dar los valores de [2+2+1 puntos](a)

Dar el valor del área. Dar tanto el valor total del área como el valor de las dos áreas que la forman:

donde

.

FORMATO DE RESPUESTAS Escribir los valores exactos de

y .

Se recomienda escribir las funciones

y

usando el editor de MathType.

Escribir el resultado de las áreas de forma exacta utilizando fracciones. Respuesta:

0 2 7

2

Apartado (a) Primero tenemos que calcular los puntos de corte de las dos gráficas. Los cálculos son más fáciles si sacamos

de factor común:

Teniendo en cuenta que para calcular un área, las funciones que integramos tienen que ser positivas en el dominio de integración, de manera que el resultado de la integral definida nos dé un número positivo (las áreas siempre son valores positivos), en cada intervalo de integración integramos la función que toma valores más grandes menos la función que toma valores más pequeños, obteniendo:

Apartado (b) Calculando las integrales definidas obtenemos los valores de las áreas:

IMPORTANTE: Es importante recordar que para calcular un área, las funciones que integramos tienen que ser positivas en el dominio de integración, de manera que el resultado de la integral definida nos dé un número positivo (las áreas siempre son valores positivos).

La respuesta correcta es:

Pregunta 6

[10 puntos]Considerar la siguiente sucesión definida de forma recurrente como:

Correcta

.

Se puntúa 10,00 sobre 10,00

Sabiendo que la sucesión es una sucesión decreciente acotada inferiormente, calcular su límite. FORMATO DE LA RESPUESTA: Escribir el resultado de forma exacta. Por ejemplo, si el valor del límite es

,

escribir en el recuadro de respuesta. Se recomienda el uso de la ventana emergente de MathType. Respuesta:

5

Para resolver este ejercicio aplicaremos la propiedad que dice que si una sucesión es creciente (decreciente) y acotada superiormente (inferiormente) entonces existe el límite de la sucesión. Calculamos unos cuantos términos de la sucesión para ver la tendencia. Los primeros valores de la sucesión (puesto en un vector columna) son:

.

Vemos que tenemos una sucesión decreciente y nos dicen que es acotada inferiormente. Por lo tanto, sabemos que existe el límite. Si denotamos por este límite, sabemos que se tiene que cumplir la ecuación de recurrencia y por lo tanto: L

L

oL

Finalmente, como

. , la respuesta es = .

La respuesta correcta es:

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