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Valoración de Operaciones Financieras Curso 2018-19 / 2º semestre

Nombre y apellidos del estudiante Prueba de evaluación continua 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

Criterios de evaluación Para evaluar las competencias que se trabajan y los objetivos que se persiguen a la PAC 5, se valorarán tanto los resultados como los comentarios realizados durante la PAC. Hace falta, pues, no limitarse a encontrar un resultado numérico, sino que hay que extraer conclusiones de los resultados obtenidos en los diferentes ejercicios propuestos y argumentar correctamente las respuestas dadas. A efectos de organizar la Resolución de la PAC, la solución de cada ejercicio tendrá que incluir los apartados que se detallan en la nota que encontraréis después de los enunciados. De todos los apartados, solo se tendrán en cuenta en la calificación de la PAC: el planteamiento de la ecuación a aplicar, la Resolución y la respuesta. El esquema temporal y las variables conocidas son el resumen del enunciado y son necesarios porque facilitan la corrección de la PAC por parte del consultor. Se valorará saber aplicar correctamente los regímenes financieros estudiados, saber distinguir y valorar los diferentes tipos de rentas financieras, saber identificar las modalidades de préstamo analizadas, así como cuantificar sus principales magnitudes y, finalmente, saber valorar los tipos de empréstitos que se han abordado durante el curso.

La puntuación de cada ejercicio de la PAC se especifica en el enunciado. Formato y fecha de entrega Fecha límite de entrega: el 28 de Mayo de 2019 hasta les 23:59 horas. Podéis subir el documento definitivo tanto en extensión .doc (archivo de Word) como .pdf (archivo de Acrobat). Los cálculos que habéis hecho para obtener los resultados los podéis añadir al mismo archivo Word. Todos los cálculos, descripciones fórmulas y explicaciones tienen que figurar dentro del archivo Word o Pdf.

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

Enunciado 1. P&G Consulting tiene un excedente de tesorería de 30.000€ que invierte hoy en dos cuentas a plazo con las siguientes características: • Cuenta A: imposición de 10.000€ a 9 meses, tipo de interés aplicado 0,75% anual de interés simple vencido. • Cuenta B: imposición de 20.000€ a 4 años. Los tipos de interés compuestos que se aplican son el 1,20% nominal capitalizable mensualmente el primer año y el 0,50% efectivo semestral el resto del plazo. Calcular: a. El saldo final al vencimiento de las dos cuentas. (1,25 puntos) b. La TAE de las dos cuentas a vencimiento. Expresar los resultados en tanto por uno y seis decimales. (1,25 puntos) SOLUCIÓN a. El saldo final al vencimiento de las dos cuentas. (1,25 puntos) Cuenta A

El esquema temporal de esta operación es el siguiente: C

C=10.000 9

0 Hoy

i=0,0075

años 12 Vencimiento

Cuenta B

El esquema temporal de esta operación es el siguiente:

C

C=20.000

0 Hoy i12=0,012

4 años Vencimiento

1 I2=0,005

Variables conocidas Las variables conocidas en la cuenta A y sus valores son los siguientes: • Importe de la imposición: C=10.000€. • Plazo de la cuenta: t=9/12 años. • Tipo de interés anual simple vencido: i=0,0075. Las variables conocidas en la cuenta B y sus valores son los siguientes: • Importe de la imposición: C=20.000€.

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

• •

Plazo del depósito: t=4 años. Tipos de interés compuestos aplicados: o o

Primer año: i12 = 0,012 → I12 =

0,012 12

Tres años siguientes: I2 = 0,005.

= 0,001.

Variables desconocidas y ecuación a aplicar Las variables desconocidas son el saldo de la cuenta A y B al vencimiento de la operación, C . En la cuenta A el saldo al vencimiento de la operación, C , se deduce de la expresión del régimen financiero de interés simple vencido:

C' = C  (1 + i  t ) . En la cuenta B el saldo al vencimiento de la operación, C , se obtiene aplicando la expresión característica del régimen financiero de interés compuesto a tipo variable: n

(

)

C' = C   1 + Ism . s= 1

Resolución El saldo de la cuenta A se obtiene sustituyendo las variables conocidas en la expresión del punto anterior: C ′ = 10.000 ∙ (1 + 0,0075 ∙

9 ) 12

= 10.056,25€.

Para obtener el saldo de la cuenta B a los 4 años de su apertura se tendrá que capitalizar el importe de la imposición realizada aplicando los tipos de interés correspondientes: el primer año se ha aplicado un tanto efectivo mensual (n = t ∙ m = 1 ∙ 12 = 12) y el resto del periodo un tanto efectivo semestral (n = t ∙ m = 3 ∙ 2 = 6). C ′ = 20.000 ∙ (1 + 0,001)12 ∙ (1 + 0,005)6 = 20.856,21€ .

b. La TAE de las dos cuentas a vencimiento. Expresar los resultados en tanto por uno y

seis decimales. (1,25 puntos) Variable desconocida y ecuación a aplicar La variable desconocida es la TAE de la imposición, I1∗ . Para calcular la TAE, hay que buscar el tipo efectivo anual de interés compuesto que equilibra la prestación y la contraprestación de esta operación financiera, a partir de la expresión característica del régimen de interés compuesto a tanto constante, para el caso particular que m = 1: 1

C′ t C ′ = C ∙ (1 + I1∗ )t → I∗1 = ( ) − 1. C

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

Resolución Para calcular la TAE solo hay que sustituir cada variable por su valor en la expresión obtenida anteriormente: Cuenta A: I1∗ = (

10.056,25 12/9 ) − 1 = 0,007507. 10.000

Cuenta B: I1∗ = (

20.856,21 ) 20.000

1/4

− 1 = 0,010535.

2. Hace 4 años, Sonia abrió un plan de ahorro con una aportación inicial de 2.000€ que aumentó en 5€ cada mes. Hoy no hace ninguna aportación al plan. El plan ha sido retribuido a un 2,40% anual capitalizable mensualmente. Para hacer frente a una deuda derivada de su actividad profesional, Sonia decide cancelar el plan y, además, solicitar un préstamo de 20.000€ a su hermana. Entre las dos, acuerdan que la devolución de este préstamo se realice mediante 15 cuotas cuatrimestrales del mismo importe, la primera de las cuales se hará efectiva a los seis 6 meses con un tipo de interés del 1% efectivo anual. Calcular: a. El importe de cancelación del plan de ahorro. (1,25 puntos) b. El importe de la cuota cuatrimestral que Sonia tiene que satisfacer. (1,25 puntos)

SOLUCIÓN a. El importe de cancelación del plan de ahorro. (1,25 puntos)

El esquema temporal del plan de ahorro es el siguiente:

C1 = 2.000

0

C2 = 2.000 + 5

1

···

···

i12 = 0,024

C48 = 2.000 + 5 ∙ 47 V48

47

48 meses Hoy

Variables conocidas Las variables conocidas y sus valores son los siguientes: • •

Frecuencia de la renta: m=12. La renta es inmediata y anticipada. 4/13

PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

• • • •

Importe del primer término de la renta: C1 = 2.000€. Diferencia de los términos de la renta: h=5€. Número de términos de la renta: n=48. Tipo de interés anual capitalizable mensualmente: i12=0,024. Nota: Para aplicar las fórmulas de valoración de las rentas financieras es necesario que la frecuencia de la renta y la frecuencia del tipo de interés sea siempre la misma. Como la renta es mensual, el tipo de interés que se tiene que usar por valorarla tiene que ser un tipo efectivo mensual. La relación que hay entre un tipo de efectivo mensual y un tipo de interés anual capitalizable mensualmente es:

donde se obtiene: I12 =

0,024 12

= 0,002.

Im =

im , m

Variable desconocida y ecuación a aplicar La variable desconocida es el importe de cancelación del plan de ahorro, esto es, transcurridos 48 meses, V48 . Para obtener el importe de cancelación del plan de ahorro transcurridos 48 meses se tiene que calcular el valor final de la renta lineal. Para valorar una renta lineal los pasos a seguir son los siguientes: I. Se aplica la fórmula:

  1 − (1 + Im ) h C1 + + n  h   Im Im  

−n

−

n h . Im

II. Se identifica en qué diferimiento está situado el valor de la renta obtenido de la aplicación de la

fórmula anterior. La fórmula anterior siempre proporciona el valor de la renta un periodo antes de donde está situado el primer término de la renta. III. Si deseamos tener la renta valorada en cualquier otro diferimiento, actualizaremos o

capitalizaremos en interés compuesto, el resultado obtenido de la aplicación de la fórmula descrita en el paso I, el número de periodos necesario. Resolución Para obtener el importe de cancelación del plan de ahorro transcurridos 48 meses, V48, los pasos a seguir son los siguientes: I. Sustituyendo el valor de las variables conocidas en la expresión del valor actual de una renta

lineal, inmediata y vencida, se obtiene: (2.000 +

1 − (1 + 0,002)−48 48 ∙ 5 5 + 48 ∙ 5) ∙ − . 0,002 0,002 0,002

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

II. La fórmula anterior proporciona el valor de la renta un periodo antes de donde se encuentra situado

el primer término. En este caso, como el primer término está situado en el origen de la operación, la fórmula anterior proporciona el valor de la renta un mes antes del origen de la operación: V−1 = (2.000 +

1 − (1 + 0,002)−48 48 ∙ 5 5 − . + 48 ∙ 5) ∙ 0,002 0,002 0,002

III. Para obtener el valor de la renta al final de la operación, al final del mes 48, el resultado obtenido

en el paso II se tiene que capitalizar 49 meses: V48 = [(2.000 +

1 − (1 + 0,002)−48 48 ∙ 5 5 ] ∙ (1 + 0,002)49 = 106.683,40€. + 48 ∙ 5) ∙ − 0,002 0,002 0,002

b. El importe de la cuota cuatrimestral que Sonia tiene que satisfacer. (1,25 puntos)

El esquema temporal de esta operación es la siguiente: C=20.000€ α 6 12

0 Hoy

α

α

10 12

14 12

...

α 62

...

12

años

I1 =0,01

Variables conocidas Las variables conocidas y sus valores son los siguientes: • • • • • • •

Nominal del préstamo: C=20.000€. Frecuencia de los términos cuatrimestrales: m=3 (cuatrimestral). Plazo del préstamo: t=5+2/12 años. La renta puede definirse como vencida y diferida. Número de periodos cuatrimestrales de diferimiento: d=0,5 (2/12 años). Número de cuotas cuatrimestrales: n=15. Tipo de interés efectivo anual: I1 = 0,01. Nota: Para aplicar las fórmulas de valoración de las rentas financieras es necesario que la frecuencia de la renta y la frecuencia del tipo de interés sea siempre la misma. Como la frecuencia de la renta es cuatrimestral, necesitaremos conocer el tipo efectivo cuatrimestral equivalente al tipo efectivo anual que nos facilita el enunciado. Para este propósito utilizamos la fórmula de equivalencia entre tipo de interés efectivos: 1 + I1 = (1 + Im )m → Im = (1 + I1 )1/m − 1. 1

donde se obtiene: I3 = (1 + I1 )1/3 − 1 → I3 = 1,013 − 1 = 0,003322. Variable desconocida y ecuación a aplicar

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

La variable desconocida es el importe de la cuota trimestral que Sonia tiene que satisfacer, 𝛼. Para valorar una renta financiera constante tendremos que seguir los siguientes pasos: I)

Se aplica la fórmula: α · an|Im = α ·

1 − (1 + Im )−n . Im

II)

Identificamos en qué diferimiento está situado el valor de la renta obtenido de la aplicación de la fórmula anterior.

III)

Si queremos tener la renta valorada en cualquier otro diferimiento, actualizaremos o capitalizaremos el resultado obtenido el número de periodos necesario.

Una vez tengamos la expresión que valora la renta en el momento inicial, la igualaremos con el nominal del préstamo para poder aislar α. Resolución I)

Aplicamos la fórmula. α·

1 − 1,003322−15 . 0,003322

II)

Los reintegros empiezan de aquí a 6 meses. Como la fórmula valora los términos un periodo antes de donde se encuentra el primero, en este caso tenemos la renta valorada a dos meses del inicio. Por lo tanto, habrá que actualizar dos meses (medio cuatrimestre) el resultado de la fórmula para valorar la renta al momento inicial.

III)

Valoramos la renta en el momento inicial y la igualamos al valor de la prestación: 𝑉0 = [𝛼 ·

1 1 − 1,003322−15 ] · 1,003322− 2 . 0,003322

Ahora podemos igualar el valor actual de la renta al nominal del préstamo para obtener el valor de la cuota, α. 20.000 = [𝛼 ·

1 1 − 1,003322−15 ] · 1,003322− 2 → 𝛼 = 1.371,32€ . 0,003322

3. Un inversor ruso quiere adquirir una casa en la Playa de Aro que tiene un precio al contado de 1.550.000€. Su entidad financiera le ofrece una hipoteca de nominal el 75% del precio de la casa, amortizable por medio de 264 términos amortizativos constantes y mensuales, después de un año de carencia parcial con pago trimestral de las cuotas de interés. Tipo de interés 3,60% anual capitalitzable mensualmente. Penalización por cancelación anticipada: 1% sobre el capital pendiente a amortizar. Calcular: a. El importe de la cuota de interés que se paga durante el año de carencia, el importe de los términos de amortización, la cuota de interés y la de amortización de capital correspondiente al término amortizativo 98. (1,50 puntos)

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

b. Si a los 16 años de la concesión del préstamo se cancela, el importe total que el inversor tiene que abonar. (1 punto) SOLUCIÓN El esquema temporal de esta operación es el siguiente: C=1.162.500€

0

C·I4

...

C·I4

3

...

12

α

α

...

13

14

...

α

276 meses

i12 =0,036 Variables conocidas Las variables conocidas y sus valores son los siguientes: • • • • • • • •

Valor de la casa: V=1.550.000€. Nominal del préstamo: C=1.550.000·0,75=1.162.500€. Frecuencia de los términos amortizativos: m = 12 (mensual). La frecuencia de las cuotas de interés del periodo de carencia: m’=4 (trimestral). Plazo del préstamo: t=23 años. Número de meses de carencia parcial: d=12 meses. Número de términos amortizativos mensuales: n=m·t- d =264. Comisión de cancelación anticipada: 1% sobre el capital pendiente de amortizar. Tanto anual capitalizable mensualmente: i12=0,036. Para encontrar el tipo de interés efectivo mensual a partir del tipo de interés nominal capitalizable mensualmente se aplica la relación siguiente: Im = donde se obtiene: I12 =

0,036 12

im , m

= 0,003.

Para encontrar el tipo de interés efectivo trimestral a partir del tipo de interés efectivo mensual se aplica la relación siguiente: m

Im′ = (1 + Im ) m′ − 1,

12

donde se obtiene: I4 = (1 + 0,003) 4 − 1 = 0,00902. a. El importe de la cuota de interés que se paga durante el año de carencia, el importe de los términos de amortización, la cuota de interés y la de amortización de capital correspondiente al término amortizativo 98. (1,50 puntos) Variables desconocidas y ecuación a aplicar

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PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

Las variables desconocidas son el importe de las cuotas de interés trimestrales pagadas durante la carencia, Y, el importe de los términos amortizativos del préstamo, α, la cuota de capital del término amortizativo 98, A98 y la cuota de interés al término amortizativo 98, Y98. En los préstamos de amortización periódica no se amortiza capital durante la carencia parcial y, por lo tanto, al final de cada periodo se pagan los intereses sobre el nominal del préstamo: Y = C ∙ Im′ Para calcular el importe del término amortizativo hay que plantear la ecuación de equilibrio del préstamo al final de la carencia parcial:

Rd = C = α ∙

1−(1+Im )−n Im

.

La cuota de capital del primer término amortizativo es: A1 = α − C · Im . Para calcular la cuota de capital del término r utilizaremos la ecuación que relaciona la cuota de capital de cualquier momento r con la cuota de capital inicial: Ar = A1 · (1 + Im )r−1 .

Para calcular el importe de la cuota de interés al momento r utilizamos la expresión: α = Ar + Yr → Yr = α − Ar ,

La cuota de interés también se puede obtener multiplicando la reserva matemática del periodo anterior y el interés efectivo: Yr = R r−1 ∙ Im .

Resolución

El importe de las cuotas de interés mensuales pagadas durante la carencia son: Y = C ∙ I4 = 1.162.500 ∙ 0,009027 = 10.493,92€. Para calcular el importe del término amortizativo sustituimos las variables conocidas por su valor en la ecuación de equilibrio del préstamo francés: 1.162.500 = α ·

1 − 1,003−264 → α = 6.381,23€. 0,003

La cuota de capital del primer término amortizativo es:

A1 = 6.381,23 − 1.162.500 · 0,003 = 2.893,73€ .

Con este resultado podemos calcular la cuota de capital del término 98: A98 = 2.893,73 · 1,00398−1 = 3.869,44€ . Con este resultado podemos calcular la cuota de interés del término 98: Y98 = 6.381,23 − 3.869,44 = 2.511,79€.

Alternativamente, se puede calcular la cuota de interés del término 98 utilizando la reserva matemática del periodo 97: 9/13

PAC 5. Resumen Valoración de Operaciones Financieras

R97 = 6.381,23 ·

1 − 1,003−(264 −97) = 837.262,06€. 0,003

Y98 = 837.262,06 · 0,003 = 2.511,79€.

b. Si a los 16 años de la concesión del préstamo se cancela, el importe total que el inversor tiene que abonar. (1 punto) Les variables conocidas adicionalmente y sus valores son los siguientes: • • • •

Periodo de análisis: d+r=192; r=180. Importe de las cuotas de interés de la carencia parcial: Y = 10.493,92€. Importe de los términos amortizativos: α = 6.381,23€. Comisión por cancelación anticipada del préstamo, GC = 0,01 · R192 .

Variable desconocida y ecuación a aplicar La variable desconocida es el importe total que cancelaría el préstamo al cabo de 16 años (a los 192 meses de su concesión), R′192 , que resulta de sumar la reserva matemática correspondiente, R192 , más la comisión por cancelación anticipada, G192 .

La reserva matemática al final del periodo d+ r , Rd+r , se puede calcular prospectivamente o retrospectivamente: Prop

Rd+r = α ∙

1−(1+Im )−(n−r) Im

Retro Rd+r = C ∙ (1 + I m )r − α ∙

,

(1+Im )r −1 . Im

Para calcular el importe total que el inversor tiene que abonar, R′192 , añadimos la comisión por cancelación anticipada del préstamo: R′d+r = Rd+r + GC .

Resolución

La reserva matemática a los 192 meses de la concesión del préstamo, R192 , se puede obtener: Prop

Prospectivamente: R192 = 6.381,23 ∙

1−(1+0,003)−84 0,003

= 473.193,78€.

Retro = 1.162.500 ∙ (1 + 0,003)180 − 6.381,23 ∙ Retrospectivamente: R192

(1+0,003)180−1 0,003

= 473.193,78€.

Finalmente, el importe total que el inversor tiene que abonar es: R′192 = 473.193,78 + 0,01 ∙ 473.193,78 = 477.925,72€ . 4. ELECTRICS SA ha realizado una emisión de 200.000 oblig...