Plusieurs Variables-Résumé 20 tttt tttttt ttt PDF

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cours de fonction tttttt tttttttt ttttt ttttt tttttttttttt tttttt tttttttttttttt...

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X. Saint Raymond

Ann´ ee 2020/21

Fonctions de plusieurs variables

(UE X21M020) Licence de maths, troisi` eme semestre

On a ´etudi´e en L1 le th´eor`eme des bornes atteintes qui affirme qu’une fonction continue sur un segment [a, b] y est born´ee et y atteint ses bornes. Si l’on veut localiser les points o` u une telle fonction atteint ses bornes, la notion de d´eriv´ee (dans le cas o` u cette fonction est d´erivable) permet d’affirmer que ces points sont situ´es soit au bord du segment (en a ou b), soit l` a o` u la d´eriv´ee s’annule. Et par les d´eveloppements limit´ es on sait aussi qu’une fonction deux fois d´erivable dont la d´eriv´ ee premi`ere s’annule tandis que la d´eriv´ee seconde ne s’annule pas en un mˆeme point atteint en ce point un extremum local. Dans ce cours de cette ann´ee, le principal objectif consiste a` ´etendre tous ces r´esultats aux fonctions de plusieurs variables r´eelles. Dans une premi`ere ´etape, dite topologique, on d´efinit les notions de continuit´e et de limite pour les fonctions de plusieurs variables. Pour bien comprendre les d´efinitions, il est important d’adopter une vision g´eom´etrique de ces fonctions. La remarque fondamentale de d´epart, c’est que lorsque l’on a affaire a` une fonction de deux variables, ces deux variables peuvent ˆetre consid´er´ees comme les coordonn´ ees d’un point dans le plan affine euclidien muni d’un rep`ere orthonorm´e, si bien que la fonction f : (x, y) 7→ f (x, y) peut ˆetre vue comme une fonction qui a` chaque point du plan associe un nombre, et son graphe, qui joue ici le rˆ ole de la courbe repr´esentative des fonctions d’une seule variable, est alors une surface de l’espace affine euclidien (de dimension trois) : la surface form´ee de tous les points de coordonn´ees (x, y, z) avec z = f (x, y). Dans une deuxi`eme ´etape, nous aborderons la question de la d´erivation des fonctions de plusieurs variables, en vue notamment de localiser les extrema de ces fonctions. Signalons enfin que la plupart des propositions et th´eor`emes sont ici ´enonc´es avec des fonctions de deux variables. Ce choix nous a ´evit´e d’introduire des notations trop abstraites, mais nous donnerons dans un dernier paragraphe un aper¸cu du calcul diff´erentiel en trois variables ou plus.

Chapitre I. Topologie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. 2. 3. 4.

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Chapitre II. Calcul diff´ erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. 6. 7. 8.

Norme dans un espace vectoriel . . . . . . . Fonctions continues de deux variables r´eelles Ouverts et ferm´ es . . . . . . . . . . . . . . Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .

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D´eriv´ees partielles et fonctions de classe C 1 . . . D´eveloppements de Taylor-Young . . . . . . . . . Extrema locaux d’une fonction de deux variables . Calcul diff´erentiel a` n variables . . . . . . . . . .

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R´ ef´ erence compl´ ementaire Liret F. & Martinais D., Analyse 2e ann´ee, Dunod, Paris 1998.

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Chapitre I Topologie du plan Dans ce premier chapitre, nous allons ´etudier les notions de continuit´e et de limite pour les fonctions de deux variables. Dans le cas des fonctions d’une variable, chercher une limite consiste a` regarder ce que devient la valeur f (x) lorsque x “se rapproche” de x0 , ce qui a un sens intuitif assez clair puisque x d´ecrit la droite num´erique dont x0 est un point. Pour une fonction de deux variables, on ´etudiera ce que devient f (x, y) lorsque le point de coordonn´ees (x, y) “se rapproche” du point de coordonn´ees (x0 , y0 ), mais ici, nous sommes dans un plan, et il convient de pr´eciser ce que signifie “se rapprocher” d’un point dans un plan. La premi`ere chose a` faire, c’est donc de bien d´efinir ce que l’on entend par proximit´e ou distance de deux points dans un plan (ou plus g´ en´eralement dans un espace affine euclidien de dimension n).

1. Norme dans un espace vectoriel →ı , − → On consid`ere ici le plan affine euclidien R2 rapport´e a` un rep`ere orthonorm´e (ω ; −  ), ce qui signifie que les points m de ce plan sont repr´esent´es par le couple (xm , ym ) de leurs coordonn´ees dans ce rep`ere (on fera l’identification m = (xm , ym )), et que la distance entre deux points m1 = (x1 , y1 ) et m2 = (x2 , y2 ) du plan s’exprime par la formule pythagoricienne −− −→ dist(m1 , m2 ) = km 1 m2 k =

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

→ → La norme euclidienne ici utilis´ee est une application − u 7→ k− u k d´efinie sur l’espace vectoriel 2 → → → R et a` valeurs dans R+ qui d´erive d’un produit scalaire, ce qui signifie que k− u k2 = − u •− u , en − → − → − → − → − → − → − → → . notant u • v = a c + b d le produit scalaire des vecteurs u = a ı + b  et v = c ı + d − Les propri´et´es de ce produit scalaire et de cette norme sont les suivantes. → → → w ∈ R2 et tout scalaire t ∈ R, on a Proposition 1.1. Pour tous vecteurs − u, − v et − − → − → − → − → − → − → − → − → → → → → → → (a) ( u + t v ) • w = u • w + t v • w et u • (− v +t − w) = − u •− v +t − u •− w ( bilin´earit´e) ; − → − → − → − → u • v = v • u (sym´etrie) ; → − − → → − u 6= 0 (positivit´e stricte). u •− u > 0 pour tout → − − − − (b) |→ u •→ v | ≤ k→ u k k→ v k (in´egalit´e de Cauchy-Schwarz). → − → − → − −v k (in´egalit´e de convexit´e) ; (c) k u + v k ≤ k u k + k→ → − → − kt u k = |t| k u k ( homog´en´eit´e) ; → − − − k→ uk= 0 ⇒ → u = 0 (propri´et´e de s´eparation). Esquisse de d´ emonstration. Les identit´es (a), ainsi que les deux derni`eres affirmations −u = a → −ı + b → − , → − −ı + d → − de (c), s’obtiennent imm´ediatement par le calcul en ´ecrivant → v = c→ → − → − → − et w = e ı + f  . − − − −v )2 = k→ − −v k2 , d’o` u l’in´egalit´e de CauchyOn observe ensuite que (→ u •→ v )2 +d´et(→ u,→ u k2 k→ Schwarz (b), et l’in´ egalit´e de convexit´ e (c) qui en d´ecoule. La norme euclidienne est le prototype de ce que l’on appelle plus g´en´eralement une norme, ce qui se d´efinit comme suit. 1

D´ efinition 1.2. Soit V un espace vectoriel. On appelle norme sur V toute application → −v ∈ V et tout scalaire t ∈ R : N : V → R+ v´erifiant pour tous vecteurs − u et → − − − −v ) (in´egalit´e de convexit´e) ; • N (→ u +→ v ) ≤ N (→ u ) + N (→ → − → − • N (t u ) = |t| N (u ) ( homog´en´eit´e) ; → − − − • N (→ u) = 0 ⇒ → u = 0 (propri´et´e de s´eparation). En outre, deux normes N1 et N2 sur le mˆeme espace vectoriel V sont dites ´equivalentes s’il → − − − existe une constante C > 0 telle que N1 (− u ) ≤ C N2 (→ u ) et N2 (→ u ) ≤ C N1 (→ u ) pour tout → − vecteur u ∈ V . Observons que l’´equivalence des normes est bien nomm´ee puisqu’elle poss`ede les propri´et´es caract´eristiques des relations d’´equivalence : la r´eflexivit´e, la sym´etrie, et la transitivit´e. Par ailleurs, on notera la variante utile suivante de l’in´egalit´e de convexit´e : − − − − |N (→ u ) − N (→ v )| ≤ N (→ u −→ v ). En plus de la norme euclidienne d´ecrite ci-dessus, voici deux autres exemples classiques de normes (mais qui ne sont pas associ´ees `a des produits scalaires) : la “norme 1” et la −u ) = |a| + |b| et N∞ (→ − “norme ∞”, qui sont d´ efinies par les formules N1 (→ u ) = max{|a|, |b|} → − → − → − quand u = a ı + b  . Ces normes sont ´equivalentes entre elles, et ´equivalentes a` la norme euclidienne ; en r´ealit´e, ceci n’est qu’un cas particulier du r´esultat suivant. Th´ eor` eme 1.3. Sur l’espace vectoriel R2 , toutes les normes sont e´quivalentes. Esquisse de d´ emonstration. Pour obtenir ce th´eor` eme, il suffit de d´emontrer que toute → −u k. Soit donc N une norme N sur R2 est ´equivalente `a la norme euclidienne − u 7→ k→ 2 norme sur R ; par homog´ e et convexit´e des normes, on obtient une premi`ere in´egalit´e en´eit´ → − )2 1/2 . − − u k, o` u C = N (− ı )2 + N (→ N (→ u ) ≤ C k→ → → De cette in´egalit´e, on d´eduit ensuite la continuit´ e de la fonction t 7→ N (− et ) o` u − et := → − − → → − cos t ı + sin t  , et cette fonction reste donc toujours sup´ erieure `a c = inf [0,2π] N ( et ) > 0 ; − − − u k, ce qui prouve l’autre in´egalit´ e cherch´ee. alors pour tout → u ∈ R2 , on a N (→ u ) ≥ c k→ La donn´ee d’une norme N sur l’espace vectoriel R2 permet de d´efinir une distance −→ Dire que c’est une correspondante sur l’espace affine R2 : (m, n) 7→ dist(m, n) = N (mn). distance, c’est affirmer que l’application dist : R2 × R2 → R+ v´erifie les propri´et´es suivantes. → − Proposition/d´ efinition 1.4. Soit − u 7→ N (→ u ) une norme sur l’espace vectoriel R2 . Alors −→ est une distance sur R2 , c’est-` a-dire que c’est l’application (m, n) 7→ dist(m, n) = N (mn) 2 2 une application dist : R × R → R+ v´erifiant pour tous points m, n et p ∈ R2 : • dist(m, n) = dist(n, m) (sym´etrie) ; • dist(m, n) ≤ dist(m, p) + dist(p, n) (in´egalit´e triangulaire) ; • dist(m, n) = 0 ⇔ m = n (propri´et´e de s´eparation).

Esquisse de d´ emonstration. Celle-ci est imm´ediate a` partir des propri´et´es des normes. Munis de cette distance, nous allons a` pr´esent d´ efinir les notions de voisinage et de partie born´ee qui vont jouer un rˆ ole important par la suite. D´ efinition 1.5. Soit N : R2 → R+ une norme, et dist : R2 × R2 → R+ sa distance associ´ ee. ´ (a) Etant donn´es un point c ∈ R2 et un r´ eel r > 0, on appelle boule (ouverte) de centre c et de rayon r la partie de R2 form´ee des points m tels que dist(m, c) < r. (b) Si V est une partie de R2 et si m est un point de R2 , on dit que V est un voisinage de m si V contient enti`erement une boule de centre m et de rayon r > 0 suffisamment petit. (c) Si B est une partie du plan R2 , on dit que B est born´ee si tous ses points sont a ` une distance inf´erieure a ` un nombre R d’un mˆ eme point c ∈ R2 , c’est-` a-dire si B est contenue dans une boule de rayon assez grand. 2

On prendra garde que la forme des boules d´epend de fa¸con essentielle du choix de la distance (de la norme) utilis´ee, et que si une boule pour la distance euclidienne est bien ronde, une boule pour la distance de la norme 1 ou pour celle de la norme ∞ est plutˆot carr´ee. En revanche les notions de voisinage et de partie born´ ee ne d´ependent pas du choix de norme que l’on a fait sur R2 grˆ ace `a l’´equivalence des normes. C’est aussi le cas pour la d´ efinition suivante (ce qui se voit sur l’affirmation (c)).   D´ efinition/proposition 1.6. Soit (mn ) = (xn , yn ) une suite de points du plan muni de la distance euclidienne dist. On dit que cette suite converge vers le point m0 = (x0 , y0 ) du plan si les propri´et´es ´equivalentes suivantes sont v´erifi´ees : (a) lim xn = x0 et lim yn = y0 . (b) lim dist(mn , m0 ) = 0. (c) Pour tout voisinage V de m0 , il existe k ∈ N tel que : n ≥ k ⇒ mn ∈ V . On ´ecrira alors lim mn = m0 , et on dira que la suite (mn ) est convergente. Une suite qui n’est pas convergente sera dite divergente. Esquisse de d´ emonstration. L’´equivalence des affirmations (a) et (b) se voit imm´ediatement en ´ecrivant la d´efinition de la distance euclidienne, et l’´ equivalence entre (b) et (c) r´esulte des d´efinitions de la convergence d’une suite r´eelle, de la distance, et des voisinages. Proposition 1.7. Soit (mn ) une suite convergente de points du plan. Alors cette suite est born´ee, et sa limite est unique. Esquisse de d´ emonstration. C’est la mˆeme preuve que pour les suites r´eelles. Mais la r´eciproque est fausse : il y a des suites born´ees qui sont divergentes.

2. Fonctions continues de deux variables r´ eelles Pour all´eger les notations, nous ne distinguerons plus entre les points et les vecteurs de → ´etant d´esormais not´es n − m = (xn − xm , yn − ym ). mn R2 , les vecteurs pr´ec´ edemment not´es − Le plan ´etant muni d’une norme N quelconque, les d´efinitions de la continuit´e et des limites s’´etendent maintenant aux fonctions de deux variables en copiant les d´efinitions en usage pour les fonctions d’une seule variable. D´ efinition/proposition 2.1. Soient D une partie du plan R2 , f : D → R une fonction, et m0 = (x0 , y0 ) un point de D. Alors on dit que la fonction f est continue en m0 si les propri´et´es ´equivalentes suivantes sont v´ erifi´ ees : (a) Pour tout ε > 0 il existe un δ > 0 tel que : [ m = (x, y) ∈ D et  N (m − m0 ) < δ ] ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε. (b) Pour toute suite (mn ) = (xn , yn ) de points de D : lim mn = m0 ⇒ lim f (xn , yn ) = f (x0 , y0 ).

La d´emonstration en est identique a` celle de la proposition analogue pour les fonctions d’une variable, et nous l’omettons donc. Par ailleurs, dans cet ´enonc´e comme dans tous les suivants, la condition N (m − m0 ) < δ s’interpr`ete en termes de voisinages, si bien que ces notions de continuit´ e et de limite ne d´ependent pas du choix de la norme N . Comme dans le cas des fonctions d’une seule variable, cette premi`ere d´efinition conduit ensuite aux notions de continuit´ e sur une partie du plan et de limite d’une fonction de deux variables. D´ efinition 2.2. Soient D une partie du plan R2 et f : D → R une fonction. On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout point m0 = (x0 , y0 ) ∈ D. Si m0 = (x0 , y0 ) est un point du plan R2 , on dit que f tend vers ℓ ou admet ℓ pour limite quand (x, y) tend vers (x0 , y0 ) si la fonction g : D ∪{m0 } → R d´efinie par g(x, y) = f (x, y) si (x, y) 6= (x0 , y0 ), g (x0 , y0 ) = ℓ, est continue en m0 . On ´ecrit alors lim(x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y) = ℓ. 3

On prendra bien garde que pour ´etudier l’existence de la limite d’une fonction de deux variables, on ne peut pas faire tendre d’abord x vers x0 , puis y vers y0 , ou bien l’inverse. Pour d´emontrer qu’une fonction est continue, on ne reviendra a` la d´efinition que si on ne peut pas faire autrement : comme dans le cas des fonctions d’une seule variable, il suffira g´en´eralement d’observer que la fonction donn´ee est fabriqu´ee a` partir des fonctions usuelles par les op´erations alg´ ebriques ´el´ementaires. On a en effet les r´esultats suivants. Proposition 2.3. Soient D une partie du plan R2 , m0 = (x0 , y0 ) un point de D, et f et g : D → R deux fonctions continues en m0 . Alors les fonctions f + g, f − g et f g sont aussi continues en m0 , et c’est e´galement le cas pour la fonction f /g si de plus g(x0 , y0 ) 6= 0.

Cette affirmation, qui se transpose aussi en termes de limites, se d´emontre exactement comme pour les fonctions d’une variable, et nous n’expliciterons donc pas sa d´emonstration. Pour discuter le cas des fonctions compos´ees, on le fera dans le cadre tr`es simple suivant. Proposition 2.4. Soient D un domaine du plan et f : D → R une fonction. (a) Si h et k : I → R sont deux fonctions d´efinies sur un intervalle I de R et v´ erifiant (h(t), k (t)) ∈ D pour tout t ∈ I, alors la formule g(t) = f (h(t), k (t)) d´efinit une fonction compos´ee g : I → R. Et si de plus h et k sont continues en un point t0 ∈ I et f continue au point m0 = (x0 , y0 ) = (h(t0 ), k(t0 )) ∈ D, alors la fonction g est aussi continue en t0 . (b) On a des r´ esultats analogues si h et k : C → R sont deux fonctions d´ efinies sur un domaine C du plan et que l’on pose g(r, s) = f (h(r, s), k(r, s)). Esquisse de d´ emonstration. Dans la situation (a), fixons un ε > 0 ; par continuit´e de f en m0 , il existe alors un nombre γ > 0 tel que : [ m = (x, y) ∈ D et km − m0 k < γ ] ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε. Par continuit´e de h et k en t0 , il existe aussi un nombre δ > 0 tel que : [ t ∈ I et |t − t0 | < δ ] ⇒ k(h(t), k (t)) − m0 k < γ, ce qui entraˆıne a` son tour que |g(t) − g(t0 )| < ε, d’o` u la continuit´e de g en t0 . La version (b) `a deux variables s’´enonce et se d´emontre de fa¸con semblable. On peut aussi e´noncer le r´esultat suivant de prolongement des in´egalit´es, qui se d´ emontre l` a encore comme dans le cas des fonctions d’une seule variable r´eelle. Proposition 2.5. Soient D une partie du plan R2 , m0 = (x0 , y0 ) un point de R2 , f : D → R une fonction, et z un nombre r´eel. (a) Si m0 ∈ D′ (ce qui signifie que m0 n’est pas isol´ e dans D ∪ {m0 }), si la fonction f v´erifie f (x, y) ≥ z pour tout (x, y) ∈ D et si lim(x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y) = ℓ, alors ℓ ≥ z . (b) Si m0 ∈ D, si f est continue en (x0 , y0 ), et si f (x0 , y0 ) > z, alors on a encore f (x, y) > z pour tout (x, y) ∈ D dans tout une boule centr´ee en m0 .

Le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires. Pour donner une version a` deux variables du th´eor`eme des valeurs interm´ ediaires, on introduit deux nouvelles notions qui sont celles de partie convexe et de partie connexe par arcs. D´ efinition 2.6. ´ (a) Etant donn´es deux points a et b ∈ R2 , on appelle segment de bornes a et b la partie [a, b] 2 de R form´ee des barycentres de a et b a ` poids positifs, soit [a, b] = { (1 −t) a + t b ; t ∈ [0, 1] }. Plus g´en´eralement, on appelle arc joignant a a ` b l’image du segment [0, 1] par une application continue m : [0, 1] → R2 telle que m(0) = a et m(1) = b. (b) Une partie C du plan R2 est alors dite convexe si elle contient enti`erement tout segment dont les bornes appartiennent a ` C, et elle est dite connexe par arcs si tout point a ∈ C peut ˆetre joint a ` tout point b ∈ C par un arc enti` erement inclus dans C .

Proposition 2.7 (th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires). Soient D une partie connexe par arcs du plan R2 et f : D → R une fonction continue. Si f prend deux valeurs z et w en deux points de D, alors f prend aussi sur D toutes les valeurs interm´ ediaires entre z et w. 4

´ donn´es deux points a et b ∈ D o` u la fonction f prend Esquisse de d´ emonstration. Etant les valeurs z et w, on utilise le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires usuel pour la fonction continue f ◦ m : [0, 1] → R, o` u m : [0, 1] → D param`etre un arc joignant a `a b. L’espace euclidien et les fonctions de trois variables. Les notions introduites aux paragraphes 1 et 2 s’´etendent tr`es naturellement a` l’espace euclidien de dimension 3 et aux fonctions de trois variables comme l’´etudiant pourra s’en convaincre ais´ement.

3. Ouverts et ferm´ es Un intervalle I ⊂ R est dit ferm´e ou ouvert suivant qu’il contient, ou ne contient pas, ses bornes. On ´etend ici cette d´efinition aux parties de la droite ou du plan. D´ efinition 3.1. Soit A une partie de la droite R ou du plan R2 . (a) On appelle point int´erieur de A tout point dont A est un voisinage, et point ext´erieur a `A tout point dont un voisinage ne contient aucun point de A ; et on appelle aussi point-fronti`ere de A les points de la droite R ou du plan R2 qui ne sont ni int´erieurs ni ext´erieurs a` A. (b) On dit que A est ouverte si cette partie ne contient que ses points int´ erieurs mais aucun de ses points-fronti` ere, et qu’elle est ferm´ee si elle contient tous ses points-fronti`ere en plus de ses points int´erieurs. Pour une partie A du plan R2 , on appelle compl´ ementaire de A l’ensemble des points 2 du plan R qui ne sont pas dans A. On voit alors facilement qu’une partie est ferm´ ee si et seulement si son compl´ementaire est ouvert. Une partie peut n’ˆ etre ni ouverte ni ferm´ee, et une partie peut mˆeme ˆetre a` la fois ouverte et ferm´ee. Les trois propositions suivantes fournissent des crit`eres permettant de d´eterminer si une partie de R2 est ouverte ou ferm´ ee. Proposition 3.2. Soient F et U deux parties du plan euclidien R2 . (a) La partie F est ferm´ee si et seulement si les suites de points de F qui convergent vers un point de R2 ont toutes leur limite dans F . (b) La partie U est ouverte si et seulement si chaque point de U est le centre d’une boule enti`erement contenue dans U, et si et seulement si U est voisinage de chacun de ses points. Esquisse de d´ emonstration. La propri´et´e (a) vient de ce qu’un point ext´erieur a` une partie F ne peut pas ˆetre limite d’une suite de points de F , et que r´eciproquement, tout poin...