Postulados de: la distancia, la regla y la colocación de la regla y Definiciones de: sistema de coordenadas y la relación entre. PDF

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Escuela Politecnica Nacional ́Curso de Geometr ́ıa de Nivelacion ́Clase No. 02Preparada por Juan Carlos Trujillo∗Semestre 2021-B1 Tema Postulados de: ladistancia, lareglay lacolocaci ́on de la regla. Definiciones de: sistema de coordenadas y la relacion ́ entre. 2 Resultados de aprendizaje Describir...

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Escuela Polit´ecnica Nacional Curso de Geometr´ıa de Nivelaci´on Clase No. 02 Preparada por Juan Carlos Trujillo∗ Semestre 2021-B

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Tema 1. Postulados de: la distancia, la regla y la colocaci´on de la regla. on entre. 2. Definiciones de: sistema de coordenadas y la relaci´

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Resultados de aprendizaje 1. Describir la definici´ on impl´ıcita del concepto distancia mediante los postulados de la distancia, de la regla y de la colocaci´on de la regla.

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Introduccion ´

3.1. Presentaci´on de la clase. En la clase anterior, presentamos los conceptos primitivos redundantemente denominados geom´etricos. Ahora presentaremos los llamados aritm´eticos: an distancia entre puntos y coordenada de un punto en una recta. Ambos conceptos est´ representados por numeros ´ reales; es decir, su “naturaleza” es la de ser un n ´umero real. Aparte de utilizar los numeros ´ reales, requeriremos tambi´en echar mano de las funciones. En particular, de las funciones biyectivas, tema que estudiaremos en esta clase. Finalmente, definiremos los conceptos mencionados en la secci´on anterior; todos estos conceptos dependen totalmente de los n ´umeros reales, de cuyas propiedades se derivar a´ n las de estos conceptos.

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Distancia entre dos puntos

4.1. Postulado de la distancia. El concepto primitivo distancia entre dos puntos se define impl´ıcitamente mediante el siguiente axioma: Existe una funci´on d : E × E −→ R, llamada funci´on distancia, tal que:

D-1: Para todo (P, Q) ∈ E × E , se tiene que d(P, Q) > 0. D-2: d(P, Q) = 0 si y solo si P = Q. D-3: Para todo (P, Q) ∈ E × E , se tiene que d(P, Q) = d(Q, P).

El numero ´ real d(P, Q) se denomina distancia entre los puntos P y Q. ∗ Departamento de

de la Escuela Polit´ecnica Nacional Matematica ´

4.2. La distancia entre dos puntos. Con el nombre de “distancia entre los puntos P y Q”, el postulado de la distancia se enuncia de manera alternativa as´ı: A todo par de puntos del espacio les corresponde un u ´ nico numero ´ real, denominado distancia entre tales puntos, tal que: D-1: La distancia entre dos puntos es mayor o igual que 0. D-2: La distancia entre dos puntos es igual a 0 si y solo si los puntos son iguales. D-3: La distancia entre un punto y otro es igual a la distancia entre el segundo y el primero. 4.3. Representaci´on simb´olica para la distancia entre dos puntos. Dados los puntos P y Q, el real d(P, Q) (es decir, la distancia entre P y Q) ser ´a representada por numero ´ PQ. Con esta representaci´on, el postulado de la distancia se enuncia tambi´ en as´ı: real, ´ A todo par de puntos P y Q del espacio les corresponde un u ´ nico numero denominado distancia entre P y Q y representado por PQ, tal que D-1: PQ > 0. D-2: PQ = 0 si y solo si P = Q. D-3: PQ = QP. 4.4. Importancia del simbolismo. La representaci´on simb´olica tiene la capacidad expresar conceptos y propiedades sobre los conceptos sin requerir de palabras. De ah´ı su importancia y la necesidad de conocer los significados detr ´as de los signos y usarlos con rigor. Dados los puntos A y B, cuya “naturaleza” es geom´etrica, tenemos dos s´ımbolos que utilizan A y B; estos son: ←→ AB y AB. El primero representa un concepto de “naturaleza” geom´etrica: la “ u ´ nica recta que pasa por los puntos A y B”, recta cuya existencia est´a dada por el postulado de la recta. real mayor El segundo representa un concepto de “naturaleza” aritm´etica: un “numero ´ o igual que 0, que es 0 siempre y cuando A = B; y que satisface la igualdad AB = BA ”; estas propiedades est´an garantizadas por el postulado de la distancia.

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Correspondencias uno a uno

5.1. Definici´on de funci´on inyectiva. agenes de dos elementos distintos Una funci´on f : A −→ B es inyectiva si las im´ del dominio respecto de f tambi´en son diferentes. Es decir, si x ∈ A y y ∈ A tales que x 6= y, entonces f (x) 6= f (y). Los siguientes dos diagramas, ilustran dos funciones: f : A −→ B y g : C −→ D, cuando los conjuntos A, B, C y D son finitos:

J. C. Trujillo O.

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La funci´on f es inyectiva: se puede observar que las im´agenes de dos elementos distintos de A tienen tambi´en im´agenes distintas. En cambio, la funci´on g no es inyectiva porque hay dos elementos de C distintos, x y y, que tienen la misma imagen. 5.2. Definici´on de funci´on sobreyectiva. on es Una funci´on f : A −→ B es sobreyectiva sobre B si el recorrido de la funci´ B; es decir, si todos los elementos de B son la imagen de alg ´un elemento de A. Los siguientes diagramas ilustran una funci´on que es sobreyectiva y otra que no:

La funci´on ϕ s´ı es sobreyectiva sobre B porque todos los elementos “reciben una flecha”; es decir, todos los elementos de B son la imagen de alg ´un elemento de A. En cambio, la funci´on ψ no es sobreyectiva sobre D porque hay dos elementos de D que no son la imagen de ning u ´ n elemento de C; es decir, el recorrido de ψ es el conjunto D − {u, v} que es, obviamente, diferente de D. 5.3. Definici´on de funci´on biyectiva. Una funci´on f : A −→ B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva sobre B. En otras palabras, si f : A −→ B es biyectiva, entonces dos elementos distintos de A tienen im´agenes distintas (por ser inyectiva), cada elemento de B es la imagen de un elemento de A (por ser sobreyectiva) y solo de un elemento de A (por ser inyectiva). La siguiente ilustraci´on ejemplifica una funci´on biyectiva:

Como se puede observar, al ser φ una funci ´on de A en B biyectiva, dos elementos de A diferentes se “corresponden” a dos elementos diferentes de B y cada elemento de B corresponde a uno y solo un elemento de A. Se puede observar tambi ´en que A y B tienen el mismo n u ´ mero de elementos, lo que no ocurre cuando la funci´on no es inyectiva o no es sobreyectiva, como se puede ver en los ejemplos anteriores.

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Por lo anterior, a una funci´on biyectiva de un conjunto en otro se le denomina correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos. As´ ı, en el caso del ejemplo, al elemento a de A le “corresponde” x, elemento de B, y solo x; a b ∈ A, ´unicamente le “corresponde” y ∈ B, etc´etera.

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Sistema de coordenadas para una recta

6.1. Definici´on: sistema de coordenadas. Dada una recta m, un sistema de coordenadas para m es una funcion ´ σ : m −→ R biyectiva tal que para todo par de puntos A y B de m, la proposici o ´n AB = | σ(A) − σ(B)| es verdadera. Si P es un punto de la recta m, el n u ´ mero real σ(P) se denomina coordenada del punto P en el sistema de coordenadas σ. Expresemos esta definici´on de una manera tal que se enfatice el significado de que σ es una funci´on, es inyectiva y es sobreyectiva sobre R. Dada una recta m, un sistema de coordenadas para m es una correspondencia entre m y el conjunto de los n ´umeros reales R con las siguientes propiedades: i: A cada punto de la recta m le corresponde uno y solo un n u ´ mero real, al que se le denomina coordenada del punto en el sistema de coordenadas. ii: Cada n umero ´ real corresponde a uno y solo un punto en la recta m; es decir, cada n u ´ mero real es la coordenada de uno y solo un punto en la recta. iii: Dos puntos distintos en la recta m tienen coordenadas distintas; es decir, a dos puntos distintos de la recta les corresponde coordenadas distintas. iv: La distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta m es igual al valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas de los puntos. Una manera de ilustrar esta definici´on mediante un dibujo es la siguiente:

En este dibujo: (a) A, B y σ −1 (a) representan puntos de la recta m (es decir, su naturaleza es geom´etrica); (b) σ(C), σ(B) y a representan numeros ´ reales y son las coordenadas de los puntos C, B y σ −1 (a) de la recta m, respectivamente. Su naturaleza es aritm´etica. 6.2. Representaci´on grafica ´ de un sistema de coordenadas. Sean m una recta y σ un sistema de coordenadas para m. El siguiente dibujo ser ´a utilizado la mayor´ıa de ocasiones para representar el sistema de coordenadas σ: J. C. Trujillo O.

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Utilizamos unicamente ´ la representaci´on de la recta m (y no de R). Salvo que se diga lo contrario, los nombres de los puntos de la recta que indiquemos se escribir ´an “arriba”; las coordenadas correspondientes, “abajo”. 6.3. Las “rectas num´ericas”. Para una misma recta, hay infinitos sistemas de coordenadas como se vera´ m´as adelante. Una recta junto con un sistema de coordenadas para ella se denomina recta num´erica. Por tanto, dada una recta, hay infinitas rectas num´ericas por lo que no tiene sentido hablar de “la recta num´erica”. La mayor´ıa de las ocasiones, consideraremos un solo sistema de coordenadas al mismo tiempo. En ese caso, se omitir ´a la indicaci´on de cu´al es el sistema de coordenadas y, para las coordenadas de los puntos de la recta, utilizaremos letras min ´usculas del alfabeto espa˜nol correspondientes a las letras may u ´ sculas que representen los puntos, salvo que se diga lo contrario. Por ejemplo, la coordenada de un punto A en una recta m se representar´a por a, la coordenada del punto X por x, etc´etera:

En la presentaci´on de los conceptos primitivos, se hab´ıa acordado utilizar letras min uscu´ las para representar rectas. Ahora hemos dado a estas letras la posibilidad de representar tambi´en coordenadas de puntos de una recta con sistema de coordenadas. Para evitar la posible confusi´on, siempre haremos menci´on expl´ıcita de lo que represente una letra salvo que en el contexto sea posible determinar su significado. minuscula, ´ 6.4. Axioma: el postulado de la regla. La proposici´on Toda recta tiene un sistema de coordenadas es un axioma. Dada una recta m, sea σ el sistema de coordenadas para m dado por el postulado de la regla. El siguiente dibujo

indica que las coordenadas de A, B, X y Z en el sistema m son −1, 0, 2 y 114 , respectivamente. Adem´as, la siguiente informaci´on se puede colegir del postulado de la regla: i. Las proposiciones σ(A) = −1,

σ(B) = 0,

σ(X) = 2

y

σ(Z) =

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son verdaderas. ii. La distancia entre A y B es igual a 1 porque AB = | σ(A) − σ(B)| = | − 1 − 0| = | − 1| = 1. J. C. Trujillo O.

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iii. La distancia entre Z y X se determina de la siguiente manera:     11 3 ZX = | σ(Z) − σ(X)| =  − 2 = . 4 4 iv. Si λ es una funcion ´ biyectiva de m en R tal que λ(A) = 0 y λ(B) = 2, entonces λ no puede ser un sistema de coordenadas para m. En efecto, si lo fuera, necesariamente la distancia entre A y B deber´ıa ser igual a 1. ´ Por el postulado de la regla, esto significar´ıa que el numero

| λ(A) − λ(B)| deber´ıa ser igual a 1. Sin embargo, vemos f´acilmente que

| λ(A) − λ(B)| = |0 − 2| = 2, que es diferente de 1. 6.5. Otros sistemas de coordenadas para una recta. Dada una recta m, el postulado de la regla asegura la existencia de un sistema de coordenadas para m; llam´emosle σ. A partir de este sistema de coordenadas, podemos obtener una infinidad de sistemas de coordenadas para esta recta distintos. Tenemos al menos dos formas de hacerlo: (a) Por reflexi´on: la funci´on definida por λ : m −→ R P 7 −→ −σ(P); es decir, λ( P) = −σ( P) para todo punto P de la recta m, tambi´en es un sistema de coordenadas para m. El sistema de coordenadas λ es la reflexi´on del sistema σ. En estas notas de clase, omitiremos la demostraci´on de este teorema. No obstante, en la bibliograf´ıa se podr a´ encontrar una demostraci´on. Por ejemplo, si σ es el sistema de coordenadas para m ilustrado en el siguiente dibujo

tenemos que las coordenadas de los puntos indicados son: σ(Z) = 6,

σ(H) = 4,

σ(X) = 0,

σ(T) = −4,

σ(B) = −6

y

σ(A) = −10.

Por tanto, en el sistema λ (es decir, −σ), las coordenadas correspondientes son: λ(Z) = −σ(Z) = −6,

λ(H) = −σ(H) = −4,

λ(X) = −σ(X) = −0 = 0,

λ(T) = −σ(T) = −(−4) = 4,

λ(B) = −σ(B) = −(−6) = 6,

λ(A) = −σ(A) = −(−10) = 10.

Un dibujo de la nueva “recta num´erica” de m es el siguiente:

Obs´ervese que los puntos no cambian de “posici´on”; los puntos de la recta no son otros en el nuevo sistema de coordenadas; lo ´unico que cambia es el n u ´ mero que se asigna a cada punto. J. C. Trujillo O.

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real. La funci´on definida por (b) Por traslaci´on: Sea a un numero ´ µ : m −→ R P 7 −→ σ(P) + a; es decir, µ(P) = σ(P) + a para todo punto P de la recta m, tambi´en es un sistema de coordenadas para m (tambi´en omitiremos su demostraci´on). µ es la traslaci´on a unidades del sistema σ. Por ejemplo, si tomamos como σ el sistema de coordenadas para m del literal 3, tenemos que anterior y, como a el n umero ´ µ(Z) = σ(Z) + 3 = 9,

µ(H) = σ(H) + 3 = 7,

µ(X) = σ(X) + 3 = 3,

µ(T) = σ(T) + 3 = −1,

µ(B) = σ(B) + 3 = −3,

µ(A) = σ(A) + 3 = −7.

El siguiente dibujo ilustra el sistema de coordenadas µ:

El siguiente dibujo ilustra la traslaci´on −1 unidades de σ:

Y el siguiente ilustra el sistema θ que es la traslaci ´on 2 unidades de la reflexi´on de σ; es decir, del sistema definido por: θ : m −→ R P 7 −→ −σ(P) + 2 Su ilustraci´on:

Debe observarse que, en todos los ejemplos anteriores, la distancia entre dos puntos de la recta m siempre es la misma. El modo de calcular esta distancia siempre es el mismo: el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de los puntos. Por ejemplo, tenemos: XB = | λ(X) − λ(B)| = |0 − (−6)| = 6, XB = | µ(X) − µ(B)| = |3 − (−3)| = 6 XB = | θ(X) − θ(B)| = |2 − 8| = 6.

No puede ser de otra manera, ya que as´ı lo estipula el postulado de la distancia, pues la distancia entre dos puntos no dependen del sistema de coordenadas elegido para una recta. 6.6. Teorema: colocaci´on de la regla. Dada una recta m y dos puntos distintos P y Q en m, existe un sistema de coordenadas tal que la coordenada de P es el n ´umero real 0 y la coordenada de Q es mayor que 0. J. C. Trujillo O.

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Demostraci´on. i. Sean P y Q puntos distintos en la recta m. ii. Por el postulado de la regla, existe un sistema de coordenadas σ para m. iii. Sean p y q las coordenadas de P y Q en σ, respectivamente; es decir, p = σ(P) y

Q = σ(Q) = q.

iv. Sea λ el sistema de coordenadas traslacio´ n − p unidades de σ; es decir: λ : m −→ R X 7−→ σ(X) − p. v. Por tanto, las coordenadas de P y Q en λ son 0 y q − p, respectivamente, puesto que λ(P) = σ(P) − p = p − p = 0

y

λ(Q) = σ(Q) − p = q − p.

vi. Dado que P y Q son puntos diferentes, sus coordenadas (en cualquier sistema) son diferentes; por tanto, p 6= q. Luego, p − q 6= 0. As´ı, por la tricotom´ıa de los numeros reales, hay dos ´ posibilidades: p − q > 0 y p − q < 0.

vii. Si p − q > 0, el sistema de coordenadas buscado es λ porque en este la coordenada de P es 0 y la de Q es p − q, un n umero ´ mayor que 0.

viii. Si p − q < 0, el sistema de coordenadas buscado es la reflexion ´ de λ. En efecto, si µ : m −→ R X 7−→ − λ(X), µ es un sistema de coordenadas para m y µ(P) = −λ(P) = −0 = 0

y

µ(Q) = −λ(Q) = −(q − p) = p − q > 0,

ya que q − p < 0; es decir, la coordenada de P es 0 y la de Q es un numero ´ positivo.

6.7. El orden de los puntos en una recta. Recordemos que en el conjunto de los n ´umeros reales est´a definida una relaci´on de orden. A trav´es del postulado de la regla, ese orden de los numeros ´ reales permite tambi´en ordenar los puntos de una recta. Con este fin, se define el concepto entre, tema de la siguiente secci´on.

J. C. Trujillo O.

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Relacion ´ “entre”

7.1. Definici´on: relaci´on entre. Sean A, B y C tres puntos. Se dice que el punto A est´a entre los puntos B y C si A, B y C son colineales y BA + AC = BC; es decir, si la distancia entre B y C es la suma de las distancias entre B y A, y entre A y C. Escribiremos B − A −C para indicar que A est´a entre B y C. Gr a´ ficamente, cualesquiera de los dibujos siguientes representa la proposici´on B − A − C:

Esto quiere decir que, si se sabe ´unicamente que A − B − C, habra´ que considerar esas dos situaciones cuando se haga una representaci´on gr a´ fica, sin privilegiar a una sobre la otra. 7.2. Teorema E1 : la relaci´on “entre” es sim´etrica. Si A est´a entre B y C, entonces A est´a entre C y B. Dicho de otra manera, Si B − A − C, entonces C − A − B. Demostraci´on. Si B− A −C, por la definicion ´ de la relaci´on “entre”, se tiene que BC = BA + AC. Por el postulado de la distancia, se tiene que BC = CB,

BA = AB

y

AC = CA,

de donde, se obtiene que CB = BC

= BA + AC = AB + CA = C A + AB; por tanto, C − A − B.

7.3. Teorema E2 : equivalencia del orden geom ´etrico y aritm´etico. Supongamos que: i. m una recta y σ un sistema de coordenadas para m; ii. A, B y C tres puntos de m; y iii. a, b y c las coordenadas en σ de A, B y C, respectivamente. Se tiene que A − B − C si y solo si o bien a < b < c, o bien c < b < a. Omitiremos la demostraci´on de este teorema. En su lugar, lo ilustraremos con el siguiente ejemplo. J. C. Trujillo O.

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Ejemplo. Supongamos que X, Y y Z son tres puntos tales que X −Y − Z. Si las coordenadas de X, Y y Z son x, 3 y z, entonces necesariamente, o bien x < 3 < z, o bien z < 3 < x. Por otra parte, si las coordenadas de los puntos A, B y C de una misma recta son 1, 2 y −3, respectivamente, puesto que −3 < 1 < 2, entonces podemos concluir que el punto A est´ a entre B y C .

En la representaci´on grafica, ´ este teorema tiene algunas consecuencias importantes: I. Supongamos que: 1) A y B son puntos distintos de una recta; 2) σ es un sistema de ←→ coordenadas para la recta AB ; 3) las coordenadas de A y B son 0 y b, respectivamente; y, 4) b > 0. Supongamos tambi´en que la representaci´on gr a´ fica de los puntos en la recta es:

Sean C y D dos puntos de la recta cuyas coordenadas son c y d, respectivamente. Si c > 0 y d < 0, el punto D deber a´ ser dibujado necesariamente a la derecha de A; en cambio, el punto C debera´ dibujarse a la izquierda; cualquiera de las dos representaciones es posible:

Sin embargo, si adem´as de saber que c > 0, se supiera que c > b, entonces el dibujo que representar´ıa los cuatro puntos es el primero:

Y si sucediera que b > c > 0, el dibujo correspondiente ser´ıa el segundo:

En resumen, si un punto cuya coordenada es un n ´umero positivo se dibuja a la izquierda del punto cuya coordenada es 0, entonces: 1) todo punto cuya coordenada sea un n u ´ mero positivo se dibujar´a tambi´en a la izquierda del punto de coordenada 0; y 2) todo punto cuya coordenada sea un n ´umero negativo se dibujar´a a la derecha del punto cuya coordenada es 0. II. Bajo los mismos supuestos que en el caso anterior, salvo que el punto B est´a “ubicado” a la derecha de A: si un punto cuya coordenada es un n ´umero positivo se dibuja a la derecha del punto cuya coordenada es 0, entonces: J. C. Trujillo O.

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1) todo punto cuya coordenada sea un n u ´ mero positivo se dibujar´a tambi´en a la derecha del punto de coordenada 0; y a a la izquierda del 2) todo punto cuya coordenada sea un n ´umero negativo se dibujar´ punto cuya co...