PRÁ Ctica 1 resuelta Conjuntos, Relaciones y Funciones PDF

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MATEMÁTICA II – FCE – UNLP

CURSO 2020

PRÁCTICA I: Conjuntos, Relaciones y Funciones Un conjunto se dice que está definido por extensión si se hace una lista de los elementos que componen el conjunto. Resulta al enumerar todos y cada uno de sus elementos. Un conjunto se dice que esta definido por comprensión si se da una propiedad común a todos los elementos que permita distinguir cuales pertenecen y cuales no pertenecen al conjunto. Si P es la propiedad común, se escribirá: A = {x/x tiene la propiedad P}.

1. (a) Definir los siguientes conjuntos por extensión: i. {x: x es un mes de 30 días} {abril, junio, septiembre, noviembre} ii. {k : k ∈Z ∧ k ≥ -10} {-10, -9, -8, -7,….} (b) Definir los siguientes conjuntos por comprensión: i. El conjunto de los enteros pares. {n : n ∈Z ∧ n = 2k con k ∈Z } ii. El conjunto que tiene como elementos las siguientes letras: u, i, o, e, a. {x: x es una vocal}

2. Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales? Justificar. A=E

y TP nº 1 - 1

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B=G

3. Sean: A = {1,3,√5}; B = {1,3,4,b}; C = {0,b,2,3}. Hallar A ∪ B; A ∩ C; (A∪B)∩C; B∩C; (A∪B)∪C.

Definición. Producto cartesiano A×B entre dos conjuntos A y B es el conjunto de los pares de elementos (a,b), denominados pares ordenados, tal que a ∈ A y b ∈ B. Definición. R es una relación de A en B si R es un subconjunto de A×B. Como caso particular, se dice que R es una relación definida sobre A si R es una relación de A en A, es decir, un subconjunto de A×A. Si R es una relación de A en B, los elementos que forman la relación se escriben: aRb ó que (a,b) ∈R.

4. Considerar los conjuntos A = {x ∈N : 1 ≤ x ≤ 4} y B = {1,2,3}. (a) Escribir 5 pares pertenecientes a A×B. (b) Escribir por extensión la relación R ⊂ A×B definida por: xRy si y solo si x + y ≤ 7. (c) Representar R en un diagrama de ejes cartesianos ortogonales. TP nº 1 - 2

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a) AxB = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} b) R es una relación de A en B si R es un subconjunto de A×B que cumple determinada propiedad o característica, en este caso: R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

Propiedades de las Relaciones entre conjuntos. Propiedades de una relación R definida sobre A. Reflexiva: para todo a ∈ A se cumple aRa Simétrica: para todo a, b ∈ A, aRb ⇒ bRa Antisimétrica: para todo a, b ∈ A, aRb y bRa ⇒ a = b Transitiva: para todo a, b, c ∈ A, aRb y bRc ⇒ aRc Definición. R definida sobre A es una relación de equivalencia si y sólo si R cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Definición R definida sobre A es una relación de orden si y solo si R cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación de orden se dice que es un orden total si para todo a ∈ A y para todo b ∈ B se verifica aRb ó bRa. Una relación de orden se dice que es un orden total si existe a, b ∈ A tal que a R b y b R a. Si no es orden total, es orden parcial. 5. (a) Sea A = {1,2,3,4}. Considerar las siguientes relaciones definidas sobre A: TP nº 1 - 3

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R3= {(1,1);(1,2);(1,4);(2,1);(2,2);(3,3);(4,1); (4,4)} Reflexiva: para todo a ∈ A se cumple aRa Se cumple 1R1, 2R2, 3R3, 4R4 Por lo tanto, es Reflexiva Simétrica: para todo a, b ∈ A, aRb ⇒ bRa Se cumple si 1R2 2R1 si 2R1 1R2 si 1R4 4R1 si 4R1 1R4 Por lo tanto, es Simétrica Antisimétrica: para todo a, b ∈ A, aRb y bRa ⇒ a = b No se cumple. Contraejemplo: 1R4 y 4R1, pero 1 ¿ 4 (aplicando lógica: antecedente V y consecuente F, toda la implicación es F). No es antisimétrica. Transitiva: para todo a, b, c ∈ A, aRb y bRc ⇒ aRc cumple

1R2 y 2R1 1R1 1R4 y 4R1 1R1 2R1 y 1R2 2R2 4R1 y 1R4 4R4 Por lo tanto, es Antisimétrica

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6. Sea A = {1,2,3,4}. Considere la relación R definida sobre A : aRb si y sólo si a = b o´ a + b = 3. a) R ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2),(2,1)} b) R es de equivalencia? R cumple propiedades Reflexiva, Simétrica y Transitiva? Reflexiva: para todo a ∈ A se cumple aRa TP nº 1 - 5

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Se cumple pues (1,1) ∈R, (2,2) ∈R, (3,3) ∈R, (4,4) ∈R. Por lo tanto es reflexiva Simétrica: para todo a, b ∈ A, aRb ⇒ bRa Se cumple pues (1,2) ∈R ⇒ (2,1) ∈R y (2,1) ∈R ⇒ (1,2) ∈R. Por lo tanto es simétrica Transitiva: para todo a, b, c ∈ A, aRb y bRc ⇒ aRc (1,2) ∈R y (2,2) ∈R ⇒ (1,2) ∈R (2,1) ∈R y (1,1) ∈R ⇒ (2,1) ∈R. Definición. Para cada a ∈ A consideremos el subconjunto de todos los elementos de A que son equivalentes a a, Ca = {x ∈ A/xRa}, al que llamaremos clase de equivalencia de a. En este caso, C1 = {x ∈ A/xR1} = {1,2} C2 = {x ∈ A/xR2} = {1,2} = C1 C3 = {x ∈ A/xR3} = {3} C4 = {x ∈ A/xR4} = {4} Encontramos 4 clases de equivalencia: A/R = { C1 ,C2, C3 ,C4}. A/R se denomina Conjunto Cociente. El conjunto Cociente origina una partición en A Dado un conjunto A

¿∅ , se llama

Partición a: C = { C1 ,C2, C3

Cn} si

……….

cumple:

n

1)

¿ Ci= A 1

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2) Ci ∩C j =∅,∀ i, j ,....,n 3) Ci ≠∅,∀ i

7) Demuestre que la divisibilidad es una relación de orden en N: ∀x, y ε N , x R y ↔ x/y Decir que x /y ( x divide a y ) es equivalente a decir que existe k ε N tal que y = k x ∀x, y ε N , x R y ↔ y = kx , k ε N a) Reflexividad : ∀x ε N , x R x ∀x ε N , x R x ↔ x = kx , se cumple para k=1 ε N b) Antisimetría : ∀x, y ε N , x R y ^ y R x → x = y ∀x, y ε N , x R y ↔ y = kx , k ε N

(1)

y R x ↔ x = k’y , k´ ε N

(2)

Reemplazando (2) en (1) nos queda: y = k.k´y → k.k´=1 por lo tanto k= k´=1 (pues k,k´ ε N) Reemplazando k´ en (2) se llega a x =y c) Transitividad : ∀x, y , z ε N , x R y ^ y R z → x R z ∀x, y , z ε Z, x R y ↔ y = kx , k ε N (1) y R z ↔ z = q.y , q ε N (2) Reemplazando (1) en (2) : z= (q.k).x , l= q.k ε N Por lo tanto z= l.x ↔ x Rz La divisibilidad en N es de orden parcial pues por ejemplo:3, 5 ε N , 3 R 5^5R3

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8) (a) xRy sii y = x−2 se puede observar gráficamente que esta relación es FUNCIÓN. ∀ x∈ R ,∃ y ∈ R : y =x−2 Ese valor y real es único.

b) xRy sii y2 = x NO es función. No hay un único valor y, tal que xRy. Contraejemplo: x= 4. Existe y=2 e y=-2 tal que: 4R2 y también 4R-2

(c) xR y sii y = x2

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Se puede observar gráficamente que esta relación es FUNCIÓN.

∀ x∈R ,∃ y ∈R : y =x2 Ese valor y real es único. (d) xRy sii y = √x

Es FUNCIÓN

9) Recordar: Suryectividad: f es suryectiva si Imgf = Codf Iinyectividad  x1 ,x2  Df si x1 ≠x2  f(x1) ≠f(x2)

(a) f1(x) = 3x−2 Dom f=R Img f =R Esta función es biyectiva (Inyectiva y suryectiva)

(b) f2(x) = (x + 1)2 Dom f=R Img f =R+ Esta función no es Inyectiva

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Operaciones f1 + f2 = 3x−2 + (x + 1)2= 3x -2 +x2+2x+1 = x2+5x -1 f1 ° f2 = 3(x + 1)2-2 f2 ° f1 = (3x -2+ 1)2 = (3x - 1)2

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Demuestre que la relación R definida en Z : x R y si y solo si x-y es múltiplo de 4 es una relación de equivalencia en Z Esta relación se llama “ relación de congruencia módulo 4 “ Decir que x – y es múltiplo de 4 es equivalente a decir que existe k ε Z tal que x-y = 4 k Demostración a) Reflexividad : ∀ x ε Z , x R x ∀ x ε Z , x – x = 0 y 0 es múltiplo de 4 ( 0 = 4.0) → x –x es múltiplo de 4 ↔xRx b) Simetría : ∀ x, y ε Z , x R y → y R x ∀ x, y ε Z , x R y ↔ x-y = 4k , k ε Z Multiplicando ambos miembros por -1 , -x + y = - 4 k o sea y-x = 4.(k) , -k ε Z (k número entero, opuesto de k número entero) Por lo tanto y –x es múltiplo de 4 ↔ y R x c) Transitividad : ∀ x, y , z ε Z , x R y ^ y R z → x R z ∀ x, y , z ε Z, x R y ↔ x-y = 4k , k ε Z y R z ↔ y-z = 4q , q ε Z sumando miembro a miembro las 2 igualdades x - z = 4 ( k + q) La suma de enteros es un numero entero k+q = l ε Z Por lo tanto x – z = 4 l ↔ x R z

Clases de equivalencia Sea a ε Z , Clase del a : Ca = { x / x ε Z ^ x R a } x R a ↔ x-a = 4k , k ε Z → x = a + 4k Sea a= 0 C0 = { ….,-8,-4.0, 4,8,12,….. } Sea a= 1 C1 = { ….,-7,-3.1, 5,9,13,….. } Sea a= 0 C2 = { ….,-6,-2.2, 6,10,14,….. } Sea a= 0 C3 = { ….,-5,-1.3, 7,11,15,….. } No es posible obtener otras clases distintas de estas . Los subíndices de las clases de equivalencia son los posibles restos de la división de un entero por 4 , es decir : 0, 1 , 2 , 3 C11 = { x / x ε Z ^ x R 11 } x - 11 = 4 k → x = 4k +11 = 4k + 8 +3 = 4(k+2)+3 = 4 k’ +3 k´= k+2 ε Z por lo tanto C11 = C3 TP nº 1 - 11

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C-10 = { x / x ε Z ^ x R -10 } x – (-10) = 4 k → x = 4k - 10 = 4k -10 -2 +2 = 4 (k- 3) +2 = 4 k’ +2 k´= k- 3 ε Z por lo tanto C-10 = C2

Demuestre que la divisibilidad es una relación de orden en N: ∀ x, y ε N , x R y ↔ x/y Decir que x /y ( x divide a y ) es equivalente a decir que existe k ε N tal que y =kx ∀ x, y ε N , x R y ↔ y = kx , k ε N a) Reflexividad : ∀ x ε N , x R x ∀ x ε N , x R x ↔ x = kx , se cumple para k=1 ε N b) Antisimetría : ∀ x, y ε N , x R y ^ y R x → x = y ∀ x, y ε N , x R y ↔ y = kx , k ε N (1) y R x ↔ x = k’y , k´ ε N (2) Reemplazando (2) en (1) nos queda : y = k.k´y → k.k´=1 por lo tanto k= k´=1 (pues k,k´ ε N) Reemplazando k´ en (2) se llega a x = y ( Pensar que ocurre si trabajamos en Z) c) Transitividad : ∀ x, y , z ε N , x R y ^ y R z → x R z ∀ x, y , z ε Z, x R y ↔ y = kx , k ε N (1) y R z ↔ z = q.y , q ε N (2) Reemplazando (1) en (2) : z= (q.k).x , l= q.k ε N Por lo tanto z= l.x ↔ x R z Orden Total y Parcial Una relación de orden en un conjunto A es de orden total si : ∀ x, y ε A , x R y o y R x Una relación de orden en un conjunto A es de orden parcial si : ∃ x , y ε A, x R y ^ y R x La divisibilidad es de orden parcial pues por ejemplo: 3 y 5 ε N , 3 R 5 ^ 5 R 3

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