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   

Práctica 0 a 6

Matemática

2012





CONTENIDO PRÁCTICA 0 PRELIMINARES

1

ALGUNAS RESPUESTAS

5

PRÁCTICA 1 NÚMEROS REALES

6

EJERCICIOS SURTIDOS

9

PRÁCTICA 2 FUNCIONES

11

FUNCIONES LINEALES

12

FUNCIONES CUADRÁTICAS

14

FUNCIONES POLINÓMICAS

17

EJERCICIOS SURTIDOS

19

PRÁCTICA 3 LÍMITE DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS

22

FUNCIONES HOMOGRÁFICAS

26

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

27

FUNCIÓN INVERSA

28

EJERCICIOS SURTIDOS

30



PRÁCTICA 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

32

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

33

EJERCICIOS SURTIDOS

36

PRÁCTICA 5 DERIVADAS

38

EJERCICIOS SURTIDOS

44

PRÁCTICA 6 INTEGRALES

46

EJERCICIOS SURTIDOS

52

EVALUACIONES PRIMER PARCIAL

54

SEGUNDO PARCIAL

55

EXAMEN FINAL

56

RESPUESTAS DEL EXAMEN FINAL

58



LIBROS DE CONSULTA ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C. Matemáticas Universitarias. McGraw – Hill. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 1. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 2. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 3. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel y COLERA J. Matemática II. C.O.U. ANAYA. PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC Matemática Teórica. CCC Educando. PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall. SPIEGEL, Murray R. Cálculo Superior. McGraw – Hill. ZILL, Dennis G. Álgebra y Trigonometría. McGraw – Hill.

PRÁCTICA0 PRELIMINARES Ejercicio 1.- Calcular. a.

5 2 ⎛3 1 ⎞ + − + 6 3 ⎜⎝ 4 6 ⎟⎠ −1

⎛4 2⎞ ⎛5 1⎞ c. ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝3 9⎠ ⎝6 2⎠

⎛ 2 1⎞ 5 5 b. ⎜ + ⎟ + ⎝3 5⎠2 6 2

d.

1 2 5 1⎞ e. ⎛⎜ + ⎞⎛ ⎟⎜ : ⎟ ⎝ 8 5 ⎠⎝ 2 4 ⎠

⎛ 9 + 16 2 ⎞ g. ⎜⎜ + ⎟⎟ 3⎠ ⎝ 15

1

f.

2

⎛ 1 ⎞ 3 27 ⎜− ⎟ + − 8 ⎝ 5⎠

⎡ ⎛ 2 ⎞6 ⎛ 2 ⎞ 4 ⎤ k. ⎢ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

3

− 9 ) : (102 − 70 )

32 (5 + 1, 2) − 5,8 ⎛ 1 + 2⎞ 5 ⎟ : (3 + 2,1) ⎜ ⎝2 ⎠

⎛4⎞ h. ⎜ ⎟ ⎝9⎠

0

i.

(4 + 5

−1

2

⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠

j.

⎡⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

l.

(8 )

−1

4

9

2

3

4

7

−3 2

Ejercicio 2.- Reducir a una sola fracción. a. 4 −

5 x

b. 2 −

2x x − c.

x2 2 x

x

e. 2 x + 5 −

25 1 − 2x

⎛ 5x 2 + 15x ⎞ ⎛ 5⎞ g. ⎜ ⎟ : ⎜ 1+ ⎟ ⎝ 2x + 6 ⎠ ⎝ 2x ⎠

3 2 x +1

d.

x −3 + x −4 4 − x

f.

2 + 3x x2

h.

x + 2 2 x −1 + 3 x −12 4 − x

Ejercicio 3.- Resolver. a. 2 x + 5 = 9 x = −1 2

d.

5 + 2 = −3 x

6x 2 −12 = 2x 3x −4

f.

3+ x = x − 2

c. 3 − e.

b. 4 x −11 = −5x + 7

1

PRÁCTICA0 g.

10 =5 x+2

h.

4 − x = 7 x − 2 2x − 4 3x − 6

i.

3x − 7 = −2 x+6

j.

x+

k.

3x − 2 =0 7x

l.

x 2 − 3 x = x2 + 5 x − 2

m.

x+1 x x 1 + = + 2 3 2 6

n.

5 5 + x = 3+ x −3 x−3

x+ 3 5 = x −2 x − 2

Ejercicio 4.a. Desarrollar. i.

(x − 5 )

2

ii.

iii. ( x − 3)( x + 1)

( x + 7)

2

iv. ( x − y)( x + y)

b. Escribir como producto de dos factores. i. x 2 − 81

ii. x 3 − 11x

iii. x 4 − 16

iv. x 4 + 3 x3 + 5 x2

v. x 2 − 10 x + 25

vi. 4 x2 − 9

Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales. a.

ab

y

a b

(a, b ≥ 0)

b.

a+b

y

a+ b

(a, b ≥ 0)

c.

1 a

y

a a

d.

( a + b )2

y

a2 + 2ab + b2

e.

( a + b)2

y

a2 + b2

f.

a +b a

y

1+

g.

a +b c

y

a b + c c

h.

1 a +b

y

i.

a

5

3

y

( a > 0)

b a

( a ≠ 0) ( c ≠ 0)

1 1 + a b 3

(a ≠ 0, b ≠ 0, a + b ≠ 0)

a5 2

PRÁCTICA0 j.

a 2 − b2

y

(a − b)( a + b)

k. a −1

y

1 a

(a ≠ 0)

a −1

y

−a

(a ≠ 0)

⎛a⎞ m. ⎜ ⎟ ⎝b⎠

y

b a

( a ≠ 0, b ≠ 0)

a c : b d

y

ad bc

(b ≠ 0, c ≠ 0 , d ≠ 0)

l.

−1

n.

Ejercicio 6.- Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la

base b y a la altura h de un rectángulo. a. La base excede en 2 unidades a la altura. b. El perímetro del rectángulo es de 50 cm. c. La base es el doble de la altura. d. El área del rectángulo es 200 cm2. e. La diagonal del rectángulo mide 5 cm. f. El rectángulo es un cuadrado. g. La altura es igual a

2 de la base. 5

Ejercicio 7.- El Gran Mago me dijo:

-

Piensa un número.

-

Súmale 7.

-

Multiplica por 3 el resultado.

-

A lo que salga réstale 15.

-

Divide por 3.

-

Súmale 2.

-

Dime el resultado.

Le dije: 53 y el Gran Mago dijo: pensaste en el 49. ¿Por qué pudo responder el Gran Mago?

3

PRÁCTICA0 Ejercicio 8.- Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente. I.

El área de un triángulo es base

A. 7 − 3a

por altura dividido por 2 II.

7 menos el triple de un número

B.

a −b 3

III.

La diferencia de dos cuadrados

C.

( a − b)

IV.

El triple de un número menos 7

D. A =

V.

El cuadrado de la diferencia de

E. 3a − 7

2

bh 2

dos números VI.

La diferencia de dos números

F. a 2 − b 2

dividida por 3 VII.

La tercera parte de un número menos otro

Ejercicio 9.- ¿Cuántos minutos hay en

G.

a −b 3

3 de día? 8

Ejercicio 10.- ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes

de la mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero? Ejercicio 11.- Un automóvil 0Km cuesta $ 38000. Si cada año pierde el 10% de su

valor, hallar cuánto valdrá dentro de 2 años. Ejercicio 12.- Una pastilla que pesa 2 gramos, contiene 25% de aspirina, 35% de

vitamina C y el resto es excipiente. ¿Cuántos gramos de cada sustancia contiene? Ejercicio 13.- Un patio rectangular mide 24 metros de perímetro; si el largo es tres

veces el ancho, ¿cuánto miden ambos? Ejercicio 14.- María tiene 36 años y Juan, 8; ¿dentro de cuántos años la edad de María

será el triple de la edad de Juan?

4

PRÁCTICA0 ALGUNAS RESPUESTAS 1.

a.

7 12

b. 3

c.

e.

21 4

f. 10

g. 1

i. −

2.

3.

1 2

8 5

d. 4

j.

1 25

k.

25 4

h.

13 8

l.

1 4

a.

4x − 5 x

b.

4x − 1 2x + 1

c.

3 x 2

d.

x +3 x− 4

e.

− 4 x 2 − 8 x − 20 1− 2 x

f.

2 + 3x3 x2

g.

5x 2 2x + 5

h.

5 −5 x 3( x − 4)

a. x = 2

b. x = 2

d. x = − 1

e. x =

3 2

f. ningún x

g. x = 0

h. x =

10 3

i. x = − 1

j. x = 1

k. x =

2 3

l. x =

m. x = − 1

n. ningún x

7. La cuenta que hace el Mago es

c. x = 8

1 4

3( x + 7) −15 + 2 = x + 4 . Es decir, debe restarle 4 3

al número que le dije. 9. 540 minutos. 10. El primero come

5 7 de la pizza, el segundo de la pizza, que resulta ser una 12 16

porción mayor que la del primero. 11. $ 30780. 12. 0,5 gramos de aspirina, 0,7 gramos de vitamina C y 0,8 gramos de excipiente. 13. 9 metros de largo y 3 metros de ancho. 14. Dentro de 6 años.

5

PRÁCTICA1 NÚMEROS REALES Ejercicio 1.- Representar en la recta real. a. Todos los números reales x tales que x( x −1) = 0 b. Todos los números reales x tales que x 2 −16 = 0 c.

{x ∈ \ / ( x − 2)( x + 5) = 0}

d.

{x ∈ \ / (5 − x )(x

e.

{x ∈ \ / (3 − x)(x

f.

{x ∈ \ / ( x − 2)( x + 1)( x − 5) = 0}

g.

{x ∈ \ / (2 − 3x)

h. i.

{x ∈ \ / x {x ∈ \ / x

j.

{x ∈ \ / x

2

2

− 9) = 0}

2

+ 15) = 0}

= 0}

2

+ 6 x + 9 = 0}

3

+ 6 x + 9 x = 0}

3

− 4 x = 0}

2

Ejercicio 2.a. Decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C. i. C = {x ∈ \ / 3 x − 2 < 4 }

a =5

b =0

ii. C = {x ∈ \ / −2 < x ≤ 8 }

a = −3

b =4

iii. C = {x ∈ \ / x 2 − 25 > 0}

a =0

b =5

iv. C = {x ∈ \ / x − x > 10}

a =5

b = −1

3

v. vi.

1 ⎧ ⎫ C = ⎨ x∈ \ / 5 x − 3 > − x⎬ 2 ⎭ ⎩

a = −2

b =1

1−x ⎫ x −1 ⎧ C = ⎨ x∈ \ / − x≤ − 3⎬ 2 4 ⎩ ⎭

a =9

b= 4

b. Dar dos números que pertenezcan al conjunto A y dos que no

pertenezcan. i. A = {x ∈ \ / −2 < x ≤ 4 } ii. A = {x ∈ \ / x > 5} 2

6

PRÁCTICA1 Ejercicio 3.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la

recta real. a. Todos los números reales menores que 2. b. Todos los números reales mayores o iguales que −1 . c. Todos los números reales mayores que −3 y menores o iguales que 7. d.

{ x ∈ \ / x ≥ −3}

e.

{ x ∈ \ / x < 6}

f.

{ x ∈ \ / −1 ≤ x < 4}

g.

{ x ∈ \ / x < −1 ó x > 5}

Ejercicio 4.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la

recta real. a.

{ x ∈ \ / 2 x − 1 < 0}

1 ⎧ ⎫ b. ⎨x ∈ \ / 5 x − 3 > − x ⎬ 2 ⎩ ⎭

c.

{ x ∈ \ / 3x + 2 ≤ − x − 5}

d.

{x ∈ \ / 5 − x < −x + 3}

e.

{ x ∈ \ / 3x − 2 ≤ 3x + 5}

f.

{

g.

{ x ∈ \ / 3 < 2 x − 1 ≤ 7}

h.

{x ∈\ / − 11≤ 1− 3x < − 2}

x ∈\ /

}

1− x x −1 −x< −3 2 4

Ejercicio 5.- Juan salió de su casa con $ 120. Gastó $ 5 en llegar a la Facultad y $ 25 en

el almuerzo. En la librería hay una oferta de cuadernos a $ 15. Si debe reservar $ 5 para regresar, ¿cuántos cuadernos puede comprar? Ejercicio 6.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la

recta real. a.

{ x ∈ \ / x ( x − 1) > 0}

b.

{x ∈ \ / ( x −1)( x + 4) < 0}

c.

{ x∈ \ / x

d.

{x ∈ \ / x

2

≥ x}

2

− 4 ≤ 0}

Ejercicio 7.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la

recta real. a.

{

x∈ \ /

}

2x + 4 >0 x− 5

b.

7

{

x∈\ /

}

3− x >0 5 x −4

PRÁCTICA1 d.

{

11 ⎧ ⎫ e. ⎨x ∈ \ / < 2 ⎬ x ⎩ ⎭

f.

15 ⎧ ⎫ >3⎬ ⎨x ∈ \ / x ⎩ ⎭

25 ⎧ ⎫ + 3 > −2 ⎬ g. ⎨x ∈ \ / x ⎩ ⎭

4 1⎫ ⎧ h. ⎨x ∈ \ / ≤ ⎬ x x⎭ ⎩

c.

i.

{

x∈ \ /

x 3⎬ 2 x+ ⎩ ⎭

x∈\ /

}

x−1 1⎬ c. A = ⎨ x ∈ \ / + x 1 ⎭ ⎩

d. A = {x ∈ \ / 2 x ≥ 3 x 2 }

e.

A = {x ∈ \ / (1 − 2 x )(2 − x) ≥ 0}

f.

9

⎧ ⎫ 6x 2 A = ⎨x ∈ \ / > 3x ⎬ 2x − 5 ⎩ ⎭

PRÁCTICA1 4 ⎧ ⎫ Ejercicio 2.- Hallar todos los x < 0 que pertenecen al conjunto A = ⎨ x ∈ \ / + 11 < 1⎬ . x ⎩ ⎭ Ejercicio 3.- Dados los puntos A = ( −2,1) ; B = ( a,1) ; C = (1, −1) y D = (−3, 2) , hallar

los valores de a para que la distancia entre C y D sea igual a la distancia entre A y B . Ejercicio 4.- Hallar todos los puntos P = (a , 7) que están a distancia 5 del punto

Q = (−1, 4) . Ejercicio 5.- Hallar todos los puntos P = (a, 3a ) que están a distancia 3 del punto

Q = (1, 0) . Ejercicio 6.- Hallar todos los k ∈ \ para los cuales la distancia entre A = (k , −1) y

B = (4, − k ) es igual a 3. Ejercicio 7.- Hallar todos los puntos del eje y que están a distancia 5 del punto

A = (4, −2) .

10

PRÁCTICA2 FUNCIONES Ejercicio 1.- Un avión, desde que sale de la terminal de Buenos Aires, hasta que llega a la terminal de Bahía Blanca tarda 60 minutos. El siguiente gráfico describe la altura del avión durante el viaje.

h(m ) 5000 4000 3000 2000 1000 60

Observando el gráfico, responder: a. ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó el avión? ¿Cuánto tiempo voló a esa altura? b. ¿Cuánto tardó en llegar a la altura máxima? c. ¿A qué altura se encontraba a los 30 minutos de partir? d. ¿Cuántas veces estuvo a 3000 metros de altura? e. ¿En qué momentos subió? ¿En qué momentos bajó? f. ¿Cuántas veces voló a altura constante? Ejercicio 2.a. Sea f ( x) = − x2 + 4 x − 5 . Calcular f (0) , f ( 1) , f (6 ) y f ( −1) . 3

b. Sea f ( x ) = 4 x ( x + 1) . Completar la tabla

2

x

4

−2 − 3

f ( x) Ejercicio 3.- Hallar el dominio de f y decidir si −3 ∈Im f . a.

f ( x) =

x− 4 6 + 2x

b.

f ( x) = x + 2

c.

f ( x) =

5x x −4

d.

f ( x) = x +

2

11

12

x

PRÁCTICA2 FUNCIONES LINEALES Ejercicio 4.- Graficar la función f. a.

f (x ) = 2x + 5

c.

f (x ) = x + 2

3

b.

f ( x) = −x + 4

d.

f ( x) = 4x

2

Ejercicio 5.a. Encontrar la función lineal f que satisface: (i) f (1 )= 0 , f ( 2) = 5 (ii) f ( −1) = 1 , f ( 3) = −5 (iii) f (1 )= 3 , f ( 4) = 3 b. Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos

P y Q. (i) P = (1, 2) , Q = ( 3, 6 ) (ii) P = ( −2, 2 ) , Q = ( 4, 5 ) (iii) P = ( 2, −5 ) , Q = ( −4, 5) c. Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las rectas del inciso

b). Ejercicio 6.- Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P . a. P = (2, 3 ) , m = 4

b. P = ( −1,3) , m = −1

c. P = (2,5 ) , m = 0

d. P = ( 2,5) , m = −

e. P = (0, 2 ) , m = 3

f.

12

3 2

P = ( 2,0 ) , m = −3

PRÁCTICA2 Ejercicio 7.- Hallar las ecuaciones de las rectas graficadas. a.

b.

c.

Ejercicio 8.- Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g . a.

f ( x ) = x + 2 , g ( x ) = −2 x + 8 .

b.

f ( x) = x − 3 , g ( x ) = 4 .

c.

f ( x ) = 2 x + 1 , g la función lineal cuyo gráfico tiene pendiente 4 y

1

2

ordenada al origen 5. d.

f ( x ) = − x − 6 , g la función lineal cuyo gráfico pasa por el origen de

coordenadas y tiene pendiente 2 . Ejercicio 9.a. Determinar el conjunto A = { x ∈ \ / f ( x ) ≤ g ( x )} . (i) f ( x ) = x + 10 , g ( x) = 3 x + 2 (ii) f ( x ) = 3 x + 2 , g (x ) = −4 (iii) f ( x ) = − x + 1 , g la función lineal tal que g (1) = 2, g ( −2) = 8

13

PRÁCTICA2 b. Representar gráficamente las funciones f y g y el conjunto A . Ejercicio 10.- Sea f ( x) = mx + 5 . Encontrar el valor de m ∈ \ tal que f (2) = − 3 . Para

el valor hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes coordenados. Ejercicio 11.- Encontrar la función lineal f cuyo conjunto de negatividad es ( 7;+∞ ) y f ( 4 ) = 9 . Calcular el valor de f (10 ) .

Ejercicio 12.- La boleta mensual de luz tiene un cargo fijo de $ 25 y $ 0, 02 por cada

KWH consumido. a. Dar la función lineal que dice cuánto se debe pagar (en $) en función de

los KWH consumidos. Representar gráficamente. b. Si Pedro consume en un mes 300 KWH, ¿cuánto debe pagar? c. Si Pedro debe pagar $ 40 , ¿cuánto consumió? Ejercicio 13.- Una empresa de celulares tiene dos planes. El plan TUNGO tiene un

abono mensual fijo de $30 y además cobran $1 por cada minuto de llamada (sin minutos libres). El plan TONGO no tiene abono pero cobran $2 por cada minuto de llamada. a. ¿Cuánto se debe pagar con cada plan si se realizan en el mes 20 minutos

de llamadas? ¿Y si se realizan 60 minutos? b. Dos personas, una abonada al plan TUNGO y la otra al plan TONGO

pagaron $ 100 cada una. ¿Cuál de las dos habló más minutos? c. ¿Cuántos minutos se deben utilizar para que en ambos planes cobren lo

mismo? ¿Cuándo conviene más cada plan?

FUNCIONES CUADRÁTICAS Ejercicio 14.- Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función f. Dar la

imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Graficar f. a.

f ( x ) = x2 − 9

b.

f ( x) = ( x + 2)

c.

f ( x ) = −x2 − 2

d.

f ( x ) = 3 x2 + 12 x − 9

14

2

PRÁCTICA2 1

e.

f ( x ) = 4 x ( x − 1) + 1

f.

f ( x ) = x 2 − 3x − 2

g.

f (x ) = −x2 + x

h....